«Сандық әдістер» пәнінің оқу-әдістемелік кешені
жүктеу/скачать 1.3 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Релаксация әдісі
- Ньютон әдісі
- Қиюшылар әдісі
- Қақ бөлу әдісі
- Анықталған интегралды жуықтап есептеу
| Итерациялық әдістер.
Бұл параграфта теңдеуін теңдеуімен алмастыру жолдарын қарастырамыз. Айталық, кесіндісінде үзіліссіз және бір ғана түбірі бар болсын, яғни . Енді берілген теңдеуін түрінде жазсақ, онда (3.1) теңдеуінің шешуі теңдеуінің шешуімен бірдей. Ал итерациялық процесті былай жазуға болады . (3.2) Енді функциясын таңдап алу арқылы әр түрлі итерациялық әдістерді қарастырайық. 1.Релаксация әдісі. Айталық, болсын. Онда (3.1) теңдеуін былай жазуға болады: (3.3) Осыдан . Енді , (3.4) итерациясы жинақты болуы үшін (3.5) шарты орындалуы тиіс. Мұндағы теңдеуінің шешімі. Егер -ның маңайында , (3.6) шарттары орындалса, онда аралығында итерациялық процесс жинақталады. Енді тиімді итерациялық параметр -ды табу үшін қатесін (3.4) теңдеуіне қойып теңдеуін аламыз. Орта мән туралы теореманы қолдансақ , мұнда . Сондықтан теңдігін бағалау арқылы теңсіздігін аламыз. Егер (3.6) шарты орындалса, онда . Сонымен тиімді параметрін функциясы ең аз мән қабылдайтын етіп алуымыз керек. функциясының минимумы шартын қанағаттандыратындықтан . (3.7) Сондықтан , болғандықтан 2.Ньютон әдісі. (Жанама әдісі) Айталық, функциясы кесіндісінде төмендегі шарт- тарды қанағаттандырсын: функциялары үзіліссіз. таңбаларын өзгертпейді. . болғанда теңсіздігі орындалады. . Енді берілген теңдеуінің шешуі, ал теңдеудің жуық шешуі болса, онда жеткілікті аз шама. Осыдан . Егер (3.8) теңдеуінің сол жағын нүктесінде Тэйлор қатарына жіктесек теңдігін аламыз. Осыдан өте аз шама десек, онда жуықтау теңдігінен -ды табамыз: , (3.9) Сондықтан . Немесе деп аламыз. Яғни дәлдігі жоғары келесі жуық шешу былайша табылады: . (3.10) Бұл формуланы Ньютон әдісі деп атайды. Енді Ньютон әдісінің жинақтылығын бағалайық. Тэйлор формуласын қолдану арқылы формуласын аламыз. Мұнда Осыдан . (3.11) (3.10) формуласынан (3.11) формуласын ескере отырып, мына формуланы аламыз: . Егер деп белгілесек, онда , ( 3.12) Осыдан Ньютон әдісінің жинақталу жылдамдығы шығады. 3.Қиюшылар әдісі. (Хорда әдісі) Берілген теңдеуі (3.13) түріндегі теңдеумен алмастырайық және функциясы Ньютон әдісіндегі бірінші төрт шартты қанағаттандырсын. Бұл әдісті Ньютон әдісіндегі функциясын бөлінген айырымдармен алмастыру арқылы алуға болады. Мысалы нүктесі мен нүктесі өте жақын орналасқан десек, онда деуге болады. Сондықтан десек, онда теңдеуін былай жазуға болады: (3.14) Ал итерациялық процесс былайша жазылады : . (3.15) Мұнда нүктесін шарты міндетті түрде орындалатындай етіп аламыз. Егер (3.10) формуладағы -ді былайша жуықтасақ: онда мынандай итерациялық формулаға келеміз: , (3.16) Бұл әдіспен теңдеуді шешу үшін теңсіздігін қанағат- тандыратын -бастапқы мәндер белгілі болуы керек. Енді осы әдістің геометриялық мағынасына тоқталайық (2-сурет). нүктелері арқылы түзу жүргізсек, онда оның теңдеуін былай жазуға болады: . (3.17) Енді осы түзу осін нүктелерінде қиып өтсе, онда қиылысу нүктесінде болғандықтан (3.17) теңдеуін былай жазуға болады: Сондықтан (3.15), (3.16) формулалар қиюшылар әдісі деп аталады. Немесе (3.17) формуласын нүктелері арқылы тұрғызылған бір дәрежелі интерполяциялық көпмүше деп қарап, ал -ді осы көпмүшенің түбірі деп қарауға болады. 2 -сурет Енді осы әдістің жинақтылығын қарастырайық. , болғандықтан теңдігін аламыз. Егер болса, онда . (3.18) Осы формуладан -нің мәнін бақылау арқылы алдын ала берілген дәлдікпен теңдеуді шешуге болады. 4.Қақ бөлу әдісі. (биссекция әдісі) Айталық, (3.19) теңдеуі берілсін және сонымен қоса функциясы кесіндісінде үзіліссіз және болсын. Теңдеудің алдын ала дәлдікпен берілген түбірін табу үшін кесіндісін қақ бөлеміз, яғни . Егер болса, онда теңдеудің шешуін тапқанымыз, ал олай болмаған жағдайда немесе кесінділерін қарастырамыз, егер болса, онда деп аламыз, олай болмаса , деп аламыз. Осыдан кейін кесіндісін қақ бөлу арқылы табамыз. Егер болса, онда теңдеуді жуық түбірі табылды деп есептейміз, ал олай болмаған жағдайда кесіндісін тағы қақ бөлеміз. Осы процестерді қайталау арқылы , ,…, кесінділер тізбегін аламыз. Бұл кесіндіде болғандықтан және теңдігі орындалатындықтан тізбектерінің ортақ шегі бар, яғни үзіліссіз болғандықтан Осы теңсіздіктен , яғни -теңдеудің түбірі. Сонымен қоса . (3.20) Бұл әдісті көп жағдайларда, теңдеудің түбірлерінің бастапқы жуық мәнін табуға қолдануға болады. Әдісте функцияның туындыларына ешқандай шек қойылмайтын- дықтан және алгоритмі қарапайым болу себепті, әдіс ЭВМ-де теңдеуді шешуге өте қолайлы. Лекция 16-17. Анықталған интегралды жуықтап есептеу. жүктеу/скачать 1.3 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|