Санкт-Петербург 2013



бет1/7
Дата19.07.2016
өлшемі0.83 Mb.
#210562
  1   2   3   4   5   6   7
Министерство образования и науки Российской Федерации

Санкт-Петербургский национальный исследовательский

университет информационных технологий,

механики и оптики

Региональная студенческая

математическая олимпиада

Санкт-Петербурга

2013 г.




Санкт-Петербург
2013

В 2000-2013 гг. студенческая олимпиада г. Санкт-Петербурга по математике проводилась Санкт-Петербургским национальным исследовательским университетом информационных технологий, механики и оптики (до 2011 года носившем название Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, СПбГУ ИТМО). В 2013 году каждый вуз мог выставить на олимпиаду одну или две команды по 3 человека (в командный зачет входили все участники команды) и студентов в личный зачет. В личном зачете участвовали все заявленные студенты. Результат вуза в командном зачете определялся по результату лучшей из его команд (если их две).

Олимпиада проводилась в воскресенье 20 октября 2013 года. На решение задач отводилось 4 часа. Пользоваться справочной литературой не разрешалось. Студентам всех групп было предложено 12 задач. Каждая задача оценивалась в 10 баллов.

Председателем жюри был профессор СПбГУ Н.А. Широков. В оргкомитет олимпиады входили: ректор НИУ ИТМО чл.-корр. РАН Васильев В.Н., проф., д.ф.-м.н Попов И.Ю., доц., к.ф.-м.н. Фролов В.М., доц., к.т.н. Блинова И.В.

Составители: проф., д.ф.-м.н. Н.А. Широков, проф., д.ф.-м.н. Попов И.Ю., доц.: к.ф.-м.н. Фролов В.М., к.ф.-м.н. Рыжков А.Е., к.ф.-м.н. Трифанова Е.С., к.т.н. Блинова И.В., ст. преп. Родина Т.В., асс., к.ф.-м.н.: Трифанов А.И., ст. преп. Петтай П.П., асс. Попов А.И.

Задачи студенческой математической олимпиады Санкт-Петербурга

20 октября 2013 года

1. Существует ли непрерывная функция , график которой пересекает каждую невертикальную прямую бесконечное число раз?

2. Дифференцируемые функции линейно независимы. Доказать, что среди производных по крайней мере 2012 линейно независимых функций.

3. - вещественная функция, определенная при всех , кроме и , и удовлетворяющая функциональному уравнению .

Найти все такие .



4. Определить радиус наибольшей окружности, которая может лежать на эллипсоиде



5. Найти



6. Установить, при каких , , существует решение следующей задачи, и найти это решение:

, ,

7. - непрерывная функция на . Доказать:



8. , , - строго убывающая последовательность положительных вещественных чисел такая, что . Найти наименьшую константу такую, что неравенство выполнено для всех .

9. Функция определена на положительных целых числах и принимает неотрицательные целые значения. Известно, что , , и для любых , : , где . Найти .

10. Найти все полиномы , удовлетворяющие для всех x: .

11. Найти .

12. Матрица имеет размер , а матрица - . Известно, что . Найти .

Решения задач

1. Да. Например, . С одной стороны, у нее бесконечное число нулей, а с другой стороны, для любой невертикальной прямой бесконечное число значений в точках по модулю превосходят значение ординаты на прямой.

2. Возьмем максимальное множество линейно независимых производных. Не умаляя общности, можно считать, что это , где . Если , то и могут быть представлены как линейные комбинации , то есть существуют вещественные числа такие, что:

Значит


Исключая и из этой системы, получим линейную комбинацию , которая обнуляется. Противоречие. Значит



3. В заданном уравнении

(1)

подставим вместо и получим



(2)

В (1) подставим вместо и получим:



(3)

Складывая (1) и (3) и вычитая (2), находим





, (4)

то есть если решение есть, оно дается формулой (4). Подставляя функцию (4) в (1), проверяем, что она удовлетворяет уравнению.

Ответ: .

4. Так как параллельные сечения эллипсоида – всегда подобные эллипсы, круговое сечение увеличивается в размере при переходе к параллельному ему, проходящему через центр эллипсоида. Всякая плоскость, проходящая через , дающая круговое сечение, пересекается с плоскостью . Поэтому диаметр кругового сечения должен быть одним из диаметров эллипса (т.е. отрезков, соединяющих точки эллипса и проходящих через его центр) . Значит, радиус круга . Аналогичное рассуждение для плоскости дает: . Значит, . Это и есть искомый радиус. Чтобы показать, что круговое сечение радиуса существует, достаточно взять плоскость : .

5. Замена переменных дает:



.

Но сумма этих интегралов есть . Поэтому каждый из них равен . Предел также равен .



6. Пусть . Тогда задача сводится к задаче Коши:

Ее решение:



Подставим в формулу для и получим Решение есть при :



Ответ:



7. По неравенству Коши-Буняковского:

.

Участником олимпиады Бабушкиным М.В. (НИУ ИТМО) было замечено, что при другом порядке применения неравенства Коши-Буняковского оценка получается лучше:

8. Учитывая свойства , имеем:

для любого . Значит,



.

То есть подходит, обеспечивая даже строгое неравенство для любого . Покажем, что константу нельзя уменьшить. Возьмем семейство последовательностей с , определенную следующим образом: , , Очевидно, эта последовательность строго монотонно убывающая для любого такого и сумма ее равна 1. Заметим, что:



Поэтому для любого найдется такое, что требуемое неравенство нарушается для Значит, минимальное значение есть 1.



9. Так как , имеем для любого , то есть неубывающая. Так как , должно быть . Имеем , то есть

Для любого

Так как , должно быть выполнено: для всех Следовательно, . Поскольку , имеем:

10. Если , то или . Пусть - непостоянный полином. Тогда . Действительно, , допустим, Тогда , где и Из данного условия получаем:

или что невозможно, так как

С другой стороны, если для некоторого , то , что влечет .

Действительно, если , то , то есть мы можем последовательно получить бесконечное число различных корней полинома , что невозможно.

Заметим, что старший коэффициент полинома равен 1, что следует из заданного соотношения. Так как по теореме Виета ( - все корни ), то имеем: . Из и получаем . Это значит, что . Ясно, что Легко проверить, что:



.

Значит Ответ:

11. Пусть . Тогда при :









Значит .



12. Прямым вычислением находим Также вычисляем квадрат матрицы и получаем . Заметим, что Но имеет размер , поэтому Значит, невырожденная и существует . Отметим, что . Умножаем это равенство дважды слева на и получаем:


Количество участников, решивших задачи (определено по формуле: полная сумма набранных всеми участниками баллов за задачу, деленная на 10 (стоимость задачи)).

задачи

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Кол-во решивших

38,1

24,8

15,2

10,4

15,7

22,3

12,7

5,5

39,2

5,9

8

6,3


Достарыңызбен бөлісу:
  1   2   3   4   5   6   7




©dereksiz.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет