Секция: алгебра Жетекшісі



жүктеу 1.07 Mb.
Дата24.02.2016
өлшемі1.07 Mb.
СЩтбаев ›аласы

№ 1 мектеп-гимназиясы

Ибраева ГЇлжазира Зейнулла›ызы

8 cынып


«Математикада“ы дифференциалды› есептеулер элементтері»

Секция:алгебра

Жетекшісі:Бектепбергенова З.Д.

2010 жыл


Ма›саты: Жо“ар“ы математикада ›арастырылатын белгілі дифференциалды› есептеулер элементтері бойынша мектеп матиматикасында“ы туындыларды табу Їшін ›олдану“а болатынын кйрсету.

Кіріспе


Туындылар жЩне оларды функцияларды зерттеуде ›олданылуы ›арастырылатын математиканыЈ бйлімі дифференциялды› есептеу деп аталады.Айырманы кйрсететін Δѓ тЇріндегі йсімше туындыларымен ж±мыс істегенде елеулі орын алады.Сонды›тан да жаЈа есептеу calculis differentialis ( ›аза›ша айырмаларды есептеу деп аударылады)атауында латынша differentia (айырма) тЇріде кйрініс табуы орынды,б±л атау XVII “асырдыЈ ая“ында,я“ни жаЈа Щдіс дЇниеге келгенде пайда болды. «Туынды» термині derivee деген француз сйзініЈ ›аза›ша сйзбе-сйз аудармасы,жЩне оны 1797 жылы француз математигі Ж.Лагранж (1736-1813) енгізген,›азіргі кездегі э',ѓ' белгілеулерін де сол енгізген.Б±л атау мынадай ±“ымныЈ ма“ынасын ашады:ѓ'(x)функциясы ѓ(x)-тен шы“ады, ѓ(x)-тіЈ туындысы болып табылады.А“ылшын математигі И.Ньютон ( 1643-1727) функцияныЈ туындысын флюксия деп атайды,ал функцияныЈ йзін флюксия деп ата“ан.Неміс математигі Г.Лейбниц (1646-1716) дифференциялды› ›атынас туралы айт›ан жЩне туындыны тЇрінде белгілеген.Б±л белгілеу ›азіргі Щдебиетте де жиi кездеседі.Неміс математигі Г.Лейбниц (1646-1716) df символын f функциясыныЈ дифференциалын белгілеу Їшін таЈдап ал“ан. f функциясыныЈ дифференциалын – ѓ'(х )туындысыны Δх йсімшесіне кйбейтіндісі,я“ни df= ѓ'(х ). Δх; Δх белгілеуін dx -пен алмастырып,оны былай да жазу“а болады:

df= ѓ'(х )dx

осыдан


ѓ'(х )=

ДифференциялдыЈ геометриялы› ма“ынасын 1-суреттен аны› кйрінеді: м±нда df=AB ,1тЇзуі-графикке жЇргізілген жанама.



3

Дифференциялды› есептеуде ›абылдан“ан терминология туралы ЩЈгімені шек жЩне шексіз аз ±“ымдары толы›тыра тЇседі.Шек туралы тйменде айтылады.Шзірге мынаны ескертеміз,мысалы,туынды барлы› н±с›ауларда шек ретінде аны›талады.Жо“арыда ›абылдан“ан Δх→() жа“дайда ѓ'(х )



деп жазудыЈ орнына ѓ'(х )= тЇрінде жазады. Lim белгілеуі – латыннныЈ limes(меже,шекара)деген сйзінЈі ›ысйар“ан тЇрі: мысалы, Δх -ті кеміте келіп, біз мЩнін ѓ'(х ) «шекарасына» ±мтыламыз. «Шек» терминін а“ылшын математигі И.Ньютон(1643-1727) енгізген. Δх-тен (Δх) квадрат функциясы шексіз аз шаманыЈ мысалы бола олады,ййткені Δх→() жа“дайда (Δх) →() .Жалпы егер limά(x)=0 болмаса, ά(x)-шексіз аз деп атайды. Математикалы› анализде шексіз аздар маЈызды орын“а ие,сонды›тан да оны кйбінесе шексіз аздар анализі деп атайды. љаза›ша maximum–еЈ Їлкен,ал minimum–еЈ кіші деп аударылады. Дифференциялды› есептеуді а“ылшын математигі И.Ньютон(1643-1727) мен неміс математигі Г.Лейбниц (1646-1716) біршама беріректе,“асырдыЈ соЈыЈда ›±рды.ТаЈ›аларлы› бір нЩрсе,б±дан кйп жыл б±рын грек математигі Архимед ( б.з.д.287-212)аса кЇрделі спираль сия›ты ›исы››а жанама жЇргізу есебін шы“ар“ан ( ол м±нда шекке кйшуді ›олдан“ан),сонымен бірге ѓ(x)= х (a-x) функциясыныЈ максимумын таба білген. Жанама ±“ымы итальян математигі Н.Тартальи(1499-1557)еЈбектерінде ауы›-ауы› ±шырасын ›алады, м±нда жанама зеЈбіректіЈ о›ты барынша алыс›а ату“а кймектесетін кйлбеулік б±рышы жйніндегі мЩселені о›ып – Їйрену барысында айтылады.австрия алымы И.Кеплер(1571-1630) радиусы берілген шар“а іштей сызыл“ан параллелипипедтіЈ еЈ Їлкен кйлемі туралы есепті шы“ару барысында жанаманы ›арастыр“ан. XVII “асырда итальян “алымы Г.ГалилейдіЈ(1564-1642) ›оз“алыс туралы ілімі негізінде туындыныЈ кинематикалы› концепсиясы ›арштап йркендеді.Шр тЇрлі есептерді шы“ару“а ›олданыл“ан алуан тЇрлі варианттардыЈ баяндалуы француз математигі Р.Декарт(1596-1650),француз атематигіРобервальде (1602-1675),а“ылшын “алымы И.Барроу (1630-1677) мен И.Ньютон еЈбектерінде кездеседі. Жанама мен нормалды(жанама перпендикуляр жЩне жанасу нЇктесінде жЇргізілген тЇзу осылай аталады)›арастыру“а француз математигі Р.Декарт (1596-1650) линзалардыЈ оптикалы› ›асиеттерін зерттеу барысында келді.Ол аналитикалы› геометрия ЩдістерініЈ жЩне йзі ойлап тап›ан аны›талма“ан коэфициенттер ЩдісініЈ

4

кймегімен бір›атар ›исы›тар“а,соныЈ ішінде элипске нормалдар салу туралы есепті шы“ара білді. 1629 жылы француз математигі П.Ферма(1601-1665) кйпмЇшелердіЈ экстремумдарын табу ережелерін ±сынды.Айта кететін елеулі нЩрсе,Ферма осы ережелерді ›орытып шы“ар“анда,мавксимум мен минимумдардыЈ ›арапайым дифференциялды› шартын біле отырып,шекке кйшуді ›ауырт ›олданды. Туындылар туралы “ылымды жЇйелі тЇрде дамыт›ан неміс математигі Г.Лейбниц (1646-1716)пен а“ылшын математигі И.Ньютон (1643-1727) жылы болды,олар анализдіЈ негізгі екі проблемасын т±жырымдады. 1.«ЖЇретін жолдыЈ т±ра›ты ±зынды“ы берілген,кйрсетілген уа›ыт ішіндегі ›оз“алыс жылдамды“ын табу керек. 2.љоз“алыс жылдамды“ы т±ра›ты,кйрсетілген уа›ыт ішінде жЇрілген жолдыЈ ±зынды“ын табу керек». Бірінші проблема дифференциялды› есептеудіЈ даму ба“дарламасын береді,екіншісі интегралды› есептеуге жатады. Ньютон механика есептерін негізге алса (ньютонды› анализ ньютонды› классикалы› механикамен ›атар жасал“ан-ды),ЛейбництіЈ арты›шылы“ы ол геометрия есептеріни негіз етіп алды. Француз математигі А.Лопиталь ( 1661-1704),швейцария математигі И.Бернуллиден (1667-1748) дЩріс ал“ан,ол жылдыЈ йзінде дифференциялды› есептеудіЈ ал“аш›ы курсы «љисы› сызы›тарды зерттеуге арнал“ан шексіз аздар анализін» баспадан шы“арып Їлгерді,б±л жаЈа ЩдістердіЈ таралуына септігін тигізді. Математикалы› анализдіЈ дамуына швейцария математигі Л.Эйлер(1707-1783) мен неміс математигі К.Ф.Гаусс(1777-1855) теЈдесі жо› Їлес ›осты. Функцияларды дЩрежелік ›атарлар“а жіктеу,я“ни функцияларды ›осыл“ыштарыныЈ саны шектеусіз кйпмЇшелер тЇрінде кйрсету жйнінде болып отыр.Шектусіз ›осындылардыЈ (сан ›атары)мысалы бізге таныс,мЩселен шексіз периодты бйлшектерді ›осыл“ыштарыныЈ саны шектеусіз ›осынды тЇрінде кйрсету.Санды› жЩне функциялы› ›атарлармен Ньютон “ана емес,одан б±рын“ылар да ш±“ылдан“ан болатын,сонды›тан да мынадай тамаша ›атыс Їшін f(х + Δх)= ѓ'(х )+ .Δх+ .( Δх)+...+ .( Δх) +... (м±нда“ы: функциясын х нЇктесінде n- рет дифференциялаудан шы››ан мЩн,ал n!=1 2…n ) љабылдан“ан Тейлор формуласын атамай кету д±рыс болмас еді.((Б.Тейлор (1685-1731)-а“ылшын математигі,формуласы 1715 жылы жары› кйрген). Туындылар формулаларын біле отырып,мысалы пен функциялары Їшін,оларды йзіміз Тейлор ›атарына жіктей аламыз. Кейбір жа“дайларда,›осыл“ыштардыЈ шектеусіз санын ескермей тастап кетіп,кйпмЇшелермен берілген функциялар жап-жа›сы жуы›тау беретін формула шы“арып алу“а болады екен. Шы“арылатын есептер шеЈберін кеЈейтуге мЇмкіндік беретін ›уатты жаЈа Щдістерін пайда болуынан ту“ан сезім XVIII “асырда анализдіЈ ›ара›ынды дамуына себепші болды. Алайда осы “асырдыЈ соЈында дифференциялды› жЩне интегралды› есептеулерді жасаушыларда аса йткір проблемалар пайда болды. Негізгі ›иыншылы› мынада еді:шек,Їзіліссіз,на›ты сан сия›ты негізгі терминдердіЈ дЩл аны›тамалары болмады(осы“ан сЩйкес пайымдауларда логикалы› жа“ынан ол›ылы›ты кейде ›ателіктер болды).Б±“ан тЩн мысал – Їзіліссіздік аны›тамасы.Л.Эйлер,Лагранж сия›ты математиктер,тіпті, аны›талу облысында бір “ана йрнекпен белгілейтін функцияны Їзіліссіз деп атайды. АнализдіЈ берік ірге тасын ›алау“а шешуші ›адамды йткен “асырдыЈ 20 –жылдарында француз “алымы О.Коши (1789-1857)жаса“ан еді,ол функциямен тізбектіЈ шектерініЈ дЩл аны›тамаларын ±сынды жЩне соларды негіз ете отырып,анализдіЈ кйптеген іргелі теоремаларын дЩлелдеді.Б±дан біршама б±рын (1821) математик Б.Больцано (1781-1848)шек пен ЇзіліссіздіктіЈ аны›тамаларын,бас›а да бір ›атар тамаша нЩтижелерге (соныЈ ішінде аралы›та Їзіліссіз,біра› оныЈ ешбір нЇктесінде туындысы болмайтын функцияныЈ мысалы бар)›ол жеткізген еді,біра› оныЈ ж±мыстары кйптен кейін белгілі болды. Функция шегініЈ Коши берген аны›тамасы былай т±жырымдалады: «егер кез келген έ>0 саны Їшін δ>0 саны табылып,0<│x-a│< δ теЈсіздігін,›ана“аттандыратын барлы› x Їшін│f(x)-A│<ε орындалатын болса,онда А саны f(x) функциясыныЈ х а-“а ±мтыл“анда“ы шегі деп аталады(я“ни f(x)=A )». Осы аны›тама“а сЇйеніп,функцияныЈ нЇктедегі Їзіліссіздігіне аны›тама беру ›иын емес:егер f(x)= ѓ(х ). болса,онда f функциясы нЇктесінде Їзіліс болады. Тізбек шегініЈ (интегралдыЈ аны›тамасы дЩл осы ±“ыммен байланысты)аны›тамасы былай т±жырымдалады: «Егер кез-келген έ>0 Їшін N нймірі табылып,барлы› n>N бол“анда“ы│ -A│< έ теЈсіздігі тура болса,онда А саны тізбегініЈ шегі болады». Коши шектер туралы мынадай теоремаларды дЩлелдеген,оларды біз туындыларды есептеген кезде пайдалан“анбыз:,егер f(x)=A жЩне g(x)=B болса,онда ›осынды мен айырманыЈ,кйбейтіндініЈ,бйліндініЈ шектері бар

болады( g(x0)жЩне ( f(x)± g(x)=A+B



( f(x) g(x)=AB

= «Кошише» (кйбінесе «энсилон –дельта тілінде»деп атайды)дЩлелдеуге мысал келтірейік.љосындыныЈ шегі туралы теореманы дЩлелдейік. Кез келген έ>0 оЈ санын аламыз .Сонда болады да,сонды›тан (Коши аны›тамасы бойынша) 1) f(x)=A шартынан δ >0 саны табылып, │x-a│< δ теЈсіздігін ›ана“аттандыратын барлы› х Їшін │f(x)-A│< (1) болатынды“ы шы“ады. 2) g(x)=B шартынан δ >0 саны табылып, │x-a│< δ теЈсіздігін ›ана“аттандыратын барлы› х Їшін │ g(x)-B│< (2) болатынды“ы шы“ады. δ мен δ сандарыныЈ еЈ кішісін δ ар›ылы белгілейміз.Сонда 0<│x-a│< δ теЈсіздігін ›ана“аттандыратын кез келген х Їшін (1) мен (2) теЈсіздіктер орындалады;осындай х-тер Їшін былай болады: │f(x)+ g(x)-(A+B)=(f(x)-A)+ (g(x)-B)│≤│f(x)-A+ g(x)-B││< + =ε Осымен ( f(x)+ g(x)=A+B болатыны дЩлелденді. Бас›а ережелер де (кйбейтінді мен бйлінді Їшін)осылайша дЩлелденді. XVII “асырда математикада бол“ан тйЈкерістердіЈ тереЈдігініЈ ай›ын сипаттамаларын Карл Маркс (1818-1883) пен Фридрих Энгельс (1820-1895) берген болатын.Алайда математиканыЈ Франция,шектеусіз аз шамалар,мектер мен туындыла𠱓ымдарымен байланысты жаЈа тарма›тарыныЈ дамуыныЈ бастап›ы кезеЈіне Маркс «мистикалы›» деген сипаттама берген-ді.

7

XVII “асыр математиктерініЈ Їраны мынадай бол“ан: «Ал“а ›арай ›оз“ала беріЈдер,ал нЩтижелердіЈ д±рысты“ына сенім йзінен-йзі келеді». Шынында да,КошидіЈ “ылыми еЈбектерінен кейін XIX “асырда анализ бастамаларына логикалы› негіздеме берді,бас›а математиктер одан Щрі дамытты.



ТуындыныЈ аны›тамасы Туынды ±“ымы йзара байланысты екені алдын ала екі есепті пайда болды – ол ›исы››а жанама жЇргізу жЩне ›оз“алып бара жат›ан дененіЈ жылдамды“ын табу есептері. Осы екі есеп бір-біріне йзге білім салалары – геометрия мен механика“а да жатса да,олар тек ›ана бір математикалы› амал“а -тЇріндегі шектітабу есебіне Щкелді. Шрине,б±л амалдыЈ арнаулы атауы болуы керек.Ол амалдыЈ йзін функцияны дифференциалдау,ал оныЈ нЩтижесін,я“ни шектіЈ мЩнін функцияныЈ туындысы дейді.

Сййтіп,функциясы І аралы“ында аны›талсын.Егер Є I Їшін



на›ты мЩнді шегі бар болса,онда f функциясын нЇктесінде дифференциалданады , ал шектіЈ мЩнін f функциясыныЈ нЇктесіндегі туындысы дейді де, f``( )символымен белгілейді. Осы аны›тама“а сЇйене отырып,жо“арыда тал›ылан“ан есептерді былай т±жырымдау“а болады. .Егер f функциясыныЈ нЇктесінде туындысы бар болса,онда сол нЇктеде y=f(x) ›исы“ыныЈ жанамасы бар болып,оныЈ теЈдеуі: y=f( ).(х- )+f( ) болады.(2)тЇзуін а функциясыныЈ графигініЈ ( ,f( )) нЇктесіндегі жанамасы деп те атайды.(*) теЈдеуінен жанаманыЈ б±рышты› коэффиценті сол нЇктедегі туындыныЈ мЩніне теЈ екенін кйреміз.Бас›аша айт›анда,жанама мен х-тер осініЈ арасында“ы б±рыш а болса,онда f``( )=tgά теЈдігі орындалады.Б±л туындыныЈ геометриялы› ма“ынасы болады.

8

.Материялды› нЇктеніЈ ›оз“алысы жо“арыда айтыл“андай f(t)функциясы ар›ылы бейнеленген болсын.Егер f( ) туындысы бар болса,онда сол туынды материялды› нЇктеніЈ мезгіліндегі жыдамды“ы деп аталады. ТуындыныЈ аны›тамасын шекті белгілейтін символдарды ›олданып,былай жазу“а болады:



. .

. .

СоЈ“ы екі аны›тамада Δx =x- ,Δy=f(x)- f( )немесе Δx =( +Δх)- ,Δf( )=Δy f( +Δх)- f( ) белгілеулері ›олданыл“ан. Δx x- = h сандары функцияныЈ аргументініЈ немесе тЩуелсіз айнымалыныЈ йсімшесі деп аталады. ТуындыныЈ аны›тамасында“ы ›атынас ма“ынасыныЈ жо“алтпауы Їшін,» йсімшесі (аны›ты› Їшін »-ты алды›)нйлден йзге болуы ›ажет.Біра› б±л жа“дайдыЈ аны›тамада“ы шекке зияны болмайды,ййткені шектіЈ таЈбасынан кейін т±р“ан

φ(h)= йрнегі сол йсімшеніЈ функциясы ретінде ›арастырылып, φ(h) шегініЈ йзі йсімше нйлге ±мтыл“анда алынады. Шрине,» йсімшесі оЈ да,теріс те бола алады,тек ›ана +h саны функциясыныЈ аны›талу жиынынан шы“ып кетпеуі керек. f(x)- f( )= f( +h)- f( )f( +Δх)- f( )=Δy cандарын функцияныЈ йсімшесі дейді. Сйзбен - аны›тамалары былай айтылады:егер функцияныЈ йсімшесініЈ йзініЈ пайда болуына себепші бол“ан тЩуелсіз айнымалыныЈ йсімшесіне ›атынасыныЈ соЈ“ы йсімше нйлге ±мтыл“анда на›ты мЩнді шегі бар болса,онда функция дифференциалданады деп,сол шектіЈ мЩні функцияныЈ туындысы деп аталады. Біз кйбінесе туындыныЈ аны›тамасыныЈ ал“аш›ы екі тЇрін пайдаланамыз.

9

ТуындыныЈ мынадай белгілері бар: Г.Лейбниц: , немесе (1675ж. берілген), Ж.Лагранж: f( ) немесе у (1770ж. берілген), О.Коши: Df( )немесе Dy (1800ж. берілген).



Негізгі бйлім

2.1.ФункцияныЈ туындысы Жалпы білім беретін о›у ба“дарламасы бойынша о›ытылатын еЈ бірінші «ФункцияныЈ йсімшесі» та›ырыбы беріледі.М±нда «аргумент йсімшесі» жЩне «функция йсімшесі» деген ±“ымдар пайдаланылады.ОлардыЈ ма“ынасы былай тЇсіндіріледі: х ›андай да бір белгіленіп алын“ан нЇктесініЈ маЈайында жат›ан еркін алын“ан нЇкте.x- айырмасын тЩуелсіз айнымалыныЈ нЇктесідегі йсімшесі (немесе аргументтік йсімшесі)деп атайды да,Δx деп белгілейді. м±нда“ы: Δx =x- б±дан: x= +Δx АргументтіЈ бастап›ы мЩні Δx йсімше алды деп те атайды. ОсыныЈ салдарынан функциясыныЈ мЩні f(x)- f( )= f( +Δx)- f( ) шамасына йзгереді. Б±л айырма нЇктесіндегі Δx йсімшесіне сЩйкес f функциясыныЈ йсімшесі деп аталады жЩне Δf символымен белгіленеді,я“ни аны›тама бойынша Δf= f( +Δx)- f( ) (1.1) Б±дан f(x)= f( +Δx)= f( )+Δf М±нда“ы Δf йсімшесі Δx–тіЈ функциясы Мысал: 1

Егер f(x)= , =2 жЩне x=1.9 бол“анда нЇктесіндегі Δx жЩне Δf йсімшелерін табайы›. Δx= x- =1.9-2=-0.1, Δf=f(1.9)-f(2)= - =-0.39 ФункцияныЈ йсімшесінен кейін, «Туынды туралы ±“ым»та›ырыбы йтіледі.

10

М±нда 1.Функция графигіне жЇргізілген жанама туралы ±“ым 2.љоз“алыстыЈ лездік жылдамды“ы туралы есептер беріледі. Содан кейін туынды“а аны›тама беріледі.Ол мына т±рде беріледі: Δx нйлге ±мтыл“анда (1.2) айырмалы› ›атынас ±мтылатын сан f функциясыныЈ нЇктесіндегі туындысы деп аталады. f функциясыныЈ нЇктесіндегі туындысы ( ) деп белгіленеді. Мысал.2. f(x)= функциясыныЈ нЇктесіндегі і туындысын табайы›. Жо“арыда айтыл“ан схема бойынша ж±мыс істейміз. 1)Δf=( +Δx) - = Δx+3 (Δx) + (Δx) 2) Δx+3 (Δx) (Δx≠0) 3) ›осыл“ыштары т±ра›ты екенін бай›аймыз,ал Δx→0 жа“дайда 3 Δx→0 жЩне (Δx) →0,дeмек, 3 Δx+ (Δx) →0.Сонда Δx→0 жа“дайда . Сонымен,туынды та›ырыбын йткенде б±л сыныптарда «±мтылады» деген ±“ым пайдаланылады,біра› шек ±“ымы ᱓ан дейін ›арастырылма“ан.Б±л та›ырыптардан кейін «ФункцияныЈ Їзіліссіздігі мен шекке кйшу туралы ±“ым» та›ырыбы беріледі.М±нда ›оз“алыстыЈ лездік жылдамды“ы турады есеп ›арастырылады. ν (Δt)=ν -gt -g функциясы Δt=0 бол“анда аны›талма“ан.Біра› L= ν -gt саны Їшін│Δt│ азай“анда ν (Δt)-L айырмасы нйлге жуы›тайды. Сол себепті де біз Δt→0 жа“дайда ν (Δt)=ν -gt деп жазды›. Жалпы былай айтады:егер│Δx│ кемігенде f(x)-L айырмасы мейлінше аз,я“ни │ f(x)-L │кез келген белгілеп кйрсетілген h φ 0 санынан кем болып шы›са,онда х 11

саны –ге ±мтыл“анда,f функциясы L санына ±мтылады. x- oрнына,Щрине Δx→0 деп жазу“а болады. f функциясы L функциясы бойынша L санын табу шекке кйшу деп аталады. Тймендегі негізгі екі жа“дайда шекке кйшумен кездесеміз. 1-жа“дай,б±л айырмалы› ›атынасында шекке кйш,я“ни туындыны табу.Б±л жа“даймен біз таныспыз. 2-жа“дай,функцияныЈ Їзіліссіздігі ±“ымымен байланысты.Егер x→x жа“дайда f(x)f(x ) болса, онда б±л функцияны x нЇктесінде Їзіліссіз деп атайды.М±нда f(x)-L=f(x)-f(x )=Δx.│Δx│аз бол“андa│Δf│те аз болатын,я“ни x нЇктесіндегі аргументтіЈ аз йзгерулеріне функция мЩндерініЈ де аз йзгерулері сЩйкес келетіні шы“ады. ®зіліссіздік пен шекке кйшудіЈ аны›тамаларынан 3 ереже беріледі: 1-ереже:Егер f функциясы x нЇктесінде Їзіліссіз болса,онда Δx→0 кезде Δf→0 2-ереже:Егер f функциясы x нЇктесінде туындысы бар болса,онда Δx→0 кезде f''(x ) 3-ереже: x→x кезде f(x)A g(x)B болсын A) f(x)+ g(x)A+B Б) f(x) g(x)AB В) ®зіліссіз функциялар f жЩне g Їшін

A= f( ),B=g( ) ЖЩне б±л ережелер нЇктесінде Їзіліссіз функциялардыЈ ›осындысы,кйбейтіндісі жЩне бйліндісі де нЇктесінде Їзіліссіз болады(дербес жа“дайда g( )0 )дегенді білдіреді. Шекке кйшу ережелері функциялардыЈ Їзіліссіздігін дЩлелдегенде жЩне дифференциалдау формулаларын ›орытып шы“ар“ан кезде кеЈ пайдаланылады,біра› шек ±“ымы берілмеген. Туындыларды есептеу ережелері былай беріледі: 1-ереже:Егер u жЩне ν функциялары нЇктесінде дифференциалданатын болса,онда 12

олардыЈ ›осындысы да сол нЇктеде дифференциалданады жЩне (u+ν)'=u'+ν' 2-ереже:Егер u жЩне ν функциялары нЇктесінде дифференциалданатын болса,онда олардыЈ кйбейтіндісі де сол нЇктеде дифференциалданады жЩне (uν)'=u'ν+uν'̀ (1.3) Салдар:Егер u(x) функциясы нЇктесінде дифференциалданатын, ал С т±ра›ты болса,oнда Cu функциясы дда сол нЇктеде дифференциалданады жЩне (Cu)'=Cu ̀ (1.4) љыс›аша былай делінеді:т±ра›ты кйбейткішті туынды таЈбасыныЈ алдына шы“ару“а болады. 3-ереже: Егер u жЩне ν функциялары нЇктесінде дифференциалданатын болса жЩне ν функциясы сол нЇктеде нйлге теЈ болмаса,онда бйліндісі де сол нЇктеде дифференциалданады жЩне '= (1.5) ДЩрежелік функцияныЈ туындысы.ДЩрежелік x функциясыныЈ,м±нда“ы n– еркін алын“ан 1–ден арты› натурал сан,туындысын есептеуге арнал“ан формула мынадай: (x )'=nx (1.6) Б±л ережелер дЩлелдеулермен беріледі.Осы ережелерді ›олдану ар›ылы функциялардыЈ туындылары табылады.

«КЇрделі функцияныЈ туындысы»та›ырыбын йткен кезде,алдымен кЇрделі функция туралы тЇсінік мысал ар›ылы беріліп тЇсіндіріледі. Мысал z=h(x)= формуласымен берілген.h функциясыныЈ х-тіЈ берілген мЩні бойынша сЩйкес z мЩнін есептеп шы“ару ›ажет болсын. Ол Їшін біз еЈ алдымен х-тіЈ берілген мЩні бойынша y=f(x)=1-x мЩнін,сонан соЈ у бойынша z=g(y)= мЩнін есептеп шы“арамыз. Сййтіп f функциясы х-ті у–ке ауыстырады,ал g функциясы y–ті z–ке ауыстырады. h-g мен f функцияларынан ›±рал“ан кЇрделі функция делінеді жЩне былай жазылады:



h(x)=g(f(x)) (1.7)

13


h(x)=g(f(x)) кЇрделі функцияныЈ еркін алын“ан нЇктесіндегі мЩнін есептеу Їшін,еЈ алдымен сол нЇктедегі «ішкі» f функциясыныЈ у мЩнін,сонан соЈ g(y) мЩнін есептейді. КЇрделі функциясыныЈ туындысыныЈ формуласы. Егер f функциясыныЈ нЇктесінде,g функциясыныЈ y =f(x )нЇктесінде туындысы бар болса,онда кЇрделі h(x)=g(f(x)) функциясыныЈ да нЇктесінде,туындысы бар болады жЩне h(x )=g(f(x)). f( ) (1.8) Мысал h(x)= функциясыныЈ туындысын табу керек. h(x)=g(f(x)),м±нда“ы y=f(x)=3x +1, g(y) = бол“анды›тан, g(y) = жЩне y= f(x)=6x б±дан h(x)= .y= КЇрделі функцияныЈ туындысынан кейін «тригонометриялы› функциялардыЈ туындылары»та›ырыбы йтілді.М±нда синус функциясыныЈ туындысы бар жЩне(sinx)'=cosx (1.9) екені дЩлелдеуімен беріледі. Б±л формуланы ›орытып шы“ару Їшін а)Δx→0 жа“дайда sin 1 б) Δx→0 жа“дайда cos(x + )→cosx кйрсету жеткілікті. (cosx)'= - sinx дЩлелдеумен беріледі Сондай-а› tgx,ctgx, функцияларыныЈ туындылары ›атынастыЈ туындысы бойынша дЩлелденеді. 2.2.®зіліссіздік пен туындыныЈ ›олдануы Б±л тарауда еЈ алдымен «ЇзіліссіздіктіЈ ›олданылуы»та›ырыбы беріледі.М±нда функцияныЈ Їзіліссіздігі,интервалдар тЩсілдері, Їзіліссіз емес функцияныЈ мысалы, Їзіліссіз біра› берілген нЇктеде дифференциалданбайтын функцияныЈ мысалы, мысалдар ар›ылы беріледі. «ФункцияныЈ графигіне жЇргізілген жанама» та›ырыбынйткен кезде,жанама туралы тЇсінік беріледі.Функция графигіне жЇргізілген жанама туындыныЈ геометриялы› ма“ынасы болады.Туынды ар›ылы жанаманыЈ теЈдеуі шы“ады.

14


ЖанаманыЈ теЈдеуі мына формула ар›ылы береді: y= f( )+f''( )(x- ) Мысал: f(x)= -2x +1 функцияныЈ графигіне абсциссасы 2 болатын нЇктеде жЇргізілген жанаманыЈ теЈдеуін табайы›. Б±л мысалда =2 f( )=f(2)=2 -2‡2 +1=1 f``(x)=3x -4x f``( )=f``(2)=32 -42=4 Осы сандарды формула“а ›ойса› жанаманыЈ теЈдеуі шы“ады. y=1+4(x-2) я“ни y=4x-7 Б±дан кейін Лагранж формуласы беріледі,ол былай айтылады: Егер f(x) функциясы дифференциалданатын болса,онда (а,в) интервалында f``(c)= Болатындай c (a,b) нЇктесі табылады.(2-сурет)Б±л формула Лагранж формуласы деп аталады. Жуы›тап есептеулер та›ырыбы мысал ар›ылы тЇсіндіріледі.ЖЩне жуы›тау формуласы f(x) f( )+ f``( ).Δx беріледі. Мысал: f(x)= -2x +3x -x+3 функциясыныЈ х=2.02 нЇктесінде жуы› мЩнін есептеу ›ажет делік.f-тіЈ 2.02 жа›ын =2 мЩнін табу оЈай: f(2)=13 2 нЇктеніЈ маЈайында f-тіЈ графигі y=f( )+f``( )‡(x- )тЇзуіне –о“ан абсциссасы 2 нЇктеде жЇргізілген жанама“а жа›ын жатады.Сонды›тан f(2.02) y(2.02). Сонда f``[x]=7x -12x +6x-1, f``( )=f``(2)=75 жЩне f(x) y( )=13+75‡0.02=14.5 Физика мен техникада“ы туынды. ТуындыныЈ механикалы› ма“ынасы.Физика курсында ›оз“алыс жылдамды“ы ›алай аны›талатынды“ын еске тЇсірейік.ЕЈ ›арапайым жа“дайды ›арастырайы›:материалы› нЇкте координаталы› тЇзудіЈ бойымен ›оз“алып барады жЩне оныЈ ›оз“алыс заЈы берілген,я“ни сол нЇктеніЈ х координаты t уа›ыттыЈ белгілі бір x(t) функциясы t –ден (t +t)ге дейінгі уа›ыт аралы“ында“ы нЇктеніЈ орын ауыстыруы мына“ан теЈ: x(t + Δt)-x(t )= Δx,ал оныЈ орташа жылдамды“ы

15

ν (Δt)= (1.12) Δt π 0 бол“анда да (1) формула тура:орын ауыстыру x(t )-x(t + Δt)=-Δx ,ал уа›ыт аралы“ыныЈ ±за›ты“ы - Δt–“а теЈ. Шдетте ›оз“алыстыЈ сипаты мынадай болып келеді.Δt аз бол“анда орташа жылдамды› іс жЇзінде йзгермейді,я“ни ›оз“алысты бір ›алыпты ›оз“алыс деп сеніммен айту“а болады.Бас›аша айт›анда, Δt→0 жа“дайда орташа жылдамды›тыЈ мЩні ›андай да бір толы› аны›тал“ан мЩнге ±мтылады,ол мЩнді сол нЇктеніЈ t уа›ыт мезетіндегі лездік жылдамды“ы ν(t ) деп атайды.Сййтіп, Δt→0 бол“анда, ν (Δt)= →ν(t ) Ал туындыныЈ аны›тамасы бойынша Δt→0 бол“анда x`(t ) Сонды›тан лездік жылдамды› ν(t) кез келген дифференциалданатын функция x(t) Їшін “ана аны›тал“ан жЩне ν(t)=x`(t) (1.13) љыс›аша былай делінеді:координаттыЈ уа›ыт бойынша алын“ан туындысы - жылдамды›. Лездік жылдамды› оЈ да, теріс те мЩндерді,Щрине,0 мЩнін де ›абылдай алады.Егер жылдамды› ›андай да бір (t ; t ) уа›ыт аралы“ында оЈ болса,онда нЇкте оЈ ба“ытпен ›оз“алады,я“ни уа›ыт йтумен байланысты координат артады,ал егер ν(t) теріс болса,онда x(t) координаты кемиді. љоз“алыс Їдеуін де осылайша аны›тайды.НЇктеніЈ ›оз“алыс жылдамды“ы дегеніміз – t уа›ыттыЈ функциясы. Ал б±л функцияныЈ туындысы ›оз“алыс Їдеуі деп аталады: a=ν`(t) љыс›аша былай делінеді:жылдамды›тыЈ уа›ыт бойынша алын“ан туындысы –Їдеу. 2.3.Функцияларды зерттеуге туындыны ›олдану. Б±л тарауда «ФункцияныЈ йсуініЈ (кемуініЈ)белгісі»,«ФункцияныЈ кризистік нЇктелері,максимумдары мен минимумдары», «Функцияларды зерттеуге туындыны ›олдану мысалдары», «ФункцияныЈ еЈ Їлкен жЩне еЈ кіші мЩндері»та›ырыптары ›арастырылады.



16

Енді осы та›ырыптар“а жеке-жеке то›талайы›. 1. ФункцияныЈ йсуініЈ (кемуініЈ)белгісі. Функцияны зерттеудіЈ негізгі міндеттерініЈ бірі оныЈ йсетінін жЩне кемитін аралы›тарын табу.М±ндай зерттеуді туындыныЈ кймегімен жЇргізу оЈай. Б±л жерде функцияныЈ йсуініЈ жеткілікті белгісі жЩне кемуініЈ жеткілікті белгісі беріледі. ФункцияныЈ йсуініЈ жеткілікті белгісі.Егер І интервалыныЈ Щрбір нЇктесінде f``(x)>0 болса,онда f функциясы І интервалында йседі. ФункцияныЈ кемуініЈ жеткілікті белгісі. Егер І интервалыныЈ Щрбір нЇктесінде f``(x)<0 болса,онда f функциясы І интервалында кемиді. ФункцияныЈ кризистік нЇктелері, максимумдары мен минимумдары. Біз f``(x)>0 жЩне f``(x)<0 бол“анда функцияныЈ ›алай йзгеретініЈ ›арастырамыз. ФункцияныЈ туындысы нйлге теЈ немесе туындысы жо› болатын аны›талу облысыныЈ ішкі нЇктелері сол функцияныЈ кризистік нЇктелері деп аталады. ФункцияныЈ графигін сал“анда б±л нЇктелер маЈызды рйл ат›арады,ййткені тек сол нЇктелерт “ана функцияныЈ экстремум нЇктелері бола алады. (3-4 - суреттер).СЩйкес пікірді т±жырымдаймыз – оны Ферма теоремасы(француз математигі Пьер ФерманыЈ ›±рметіне)деп атайды. ЭкстремумныЈ ›ажетті белгісі.Егер нЇктесі f функциясыныЈ экстремум нЇктесі болса жЩне осы нЇктеде f`` туындысы бар болса ,ол нйлге теЈ болады: Кейде 4–суреттегідей болмайтын х,х нЇктелерде де функцияныЈ экстремумы болуы мЇмкін. ФункцияныЈ максимумыныЈ белгісі.Егер f функциясы нЇктесінде Їзіліссіз болса жЩне (a; )интервалында f``(x)>0 ал( ;В ) интервалында f``(x)<0 болса ,онда нЇктесі f функциясыныЈ максимум нЇктесі болып табылады.Б±л белгініЈ ы›шам тЇрдегі т±жырымдамасын пайдалан“ан ыЈ“айлы:егер нЇктесінде туынды таЈбасын плюстен минус›а йзгертетін болса,онда максимум нЇктесі болады. ФункцияныЈ минимумыныЈ белгісі.Егер f функциясы x нЇктесінде Їзіліссіз болса жЩне (a; )интервалында f``(x)<0 ал ( ;В) интервалында f``(x)>0 онда нЇктесі f функциясыныЈ минимум нЇктесі болып табылады. Б±л белгініЈ ы›шам тЇрдегі т±жырымдамасын пайдалан“ан ыЈ“айлы:егер нЇктесінде туынды таЈбасын минустан плюс›а йзгертетін болса,онда минимум нЇктесі болады. Функцияларды зерттеуге туындыны ›олдану мысалдары. ФункцияныЈ графигін салуды оны зерттеуден баста“ан д±рыс,берілген функцияны зерттеу Їшін:

1.ОныЈ аны›талу облысын табады;

2.f функциясы ж±п па,Щлде та› па,периодты ма,соны аны›тайды;

3.ГрафиктіЈ координат осьтерімен ›иылысу нЇктелерін;

4.ТаЈба т±ра›тылы› аралы›тарын;

5.исетін жЩне кемитін аралы›тарын;

6.Экстремум нЇктелерін жЩне f функциясыныЈ сол нЇктелердегі мЩндерін табады

7. «ерекше» нЇктелердіЈ жЩне модулі бойынша Їлкени х-тіЈ маЈайында функцияныЈ ›алай йзгеретінін зерттейді.Осындай зерттеуге сЇйеніп,функцияныЈ графигін салады. ФункциялардыЈ йсетінін(кемитінін)жЩне экстремум бар-жо“ын зерттеуді туындыныЈ кймегімен жЇргізген ыЈ“айлы.Ол Їшін еЈ алдымен f функциясыныЈ туындысын оныЈ кризистік нЇктелерін тауып алып,сонан соЈ олардыЈ ›айсысы экстремум нЇктелері болып табылатынын ай›ындайды. ФункциялардыЈ еЈ Їлкен жЩне еЈ кіші мЩндері. Кйптеген практикалы› есептерді шешу кйбінесе кесінді де Їзіліссіз функцияныЈ еЈ Їлкен жЩне еЈ кіші мЩндерін табу“а келтіреді.Анализ курстарында [a;В] кесіндісінде Їзіліссіз f функциясыныЈ сол кесіндіде еЈ Їлкен жЩне еЈ кіші мЩндерін ›абылдайтын нЇктелері бар бол“анды“ын та“айындайтын Вейерштрасс теоремасы дЩлелденеді. Кесіндіде саны шектеулі кризистік нЇктелері жЩне кесіндініЈ ±штарында“ы мЩндерін есептеп,шы››ан сандардыЈ ішінен еЈ Їлкен жЩне еЈ кішісін таЈдап алу керек. 2.4.Кйрсеткіштік жЩне логарифмдік функцияныЈ туындысы «Кйрсеткіштік функцияныЈ туындысы»та›ырыбы йтіледі.М±нда алдымен е саны туралы тЇсінік беріледі. y=e кйрсеткіштік функцияныЈ 0 нЇктесіндегі туындысы бірден теЈ болатындай бір сан табылады,ол сан 2–ден арты› та,3-тен кем(б±л санды е Щрпімен белгілейді),я“ни

x→0 жа“дайда 1 e=2.718281284459045… e функциясыныЈ экспонента деп жиі атайды. Теорема 1.(│2│). Кйрсеткіштік е-функциясы аны›талу облысы Щрбір нЇктесінде дифференциалданады жЩне (e )`=e (1.15) б±л теорема дЩлелдеуімен беріледі. Мысал:1. y=e функциясыныЈ туындысын табайы›. (e )`= e (5x)`=5e Oсы теоремадан кейін мынандай аны›тама беріледі.

Аны›тама.(│2│).е негізі бойынша алын“ан логарифмді натурал логарифм деп атайды. In x=log x (1.16) Логарифмдік негізгі тепе-теЈдік бойынша кез келген оЈ а саны Їшін e =a сонды›тан кез келген кйрсеткіштік функцияны мына тЇрде жазу“а болады a =(e )= e Теорема2.(│2│). a - функциясы йзініЈ аны›талу облысыныЈ Щрбір х нЇктесінде дифференциалданады жЩне (a )`= a In a (1.17) Салдар. Кйрсеткіштік a –функциясы йзініЈ аны›талу облысыныЈ Щрбір нЇктесінде Їзіліссіз болады: x жа“дайда a a Мысал 2. y=2 жЩне y=5 функциясыныЈ туындысын табайы› (4)формула бойынша (2 )`=2 In 2 (5 )`=-3‡5 In5 Логарифмдік функцияныЈ туындысы Аны›талу облысынан алын“ан кез келген х Їшін логарифмдік функцияныЈ туындысы In`x= (1.18) Формуласынана табылып дЩлелденеді.Б±л формула x= e теЈдігін дифферциалдау ар›ылы дЩлелденеді. Мысал 3. y=log 2x функциясыныЈ тyындысын табайы› (log 2x)`= ( )`= = ДЩрежелік функция. ДЩрежелік функция жЩне оныЈ туындысы. Аны›тама.(│2│).f(x)=x формуласымен кйрсетілген функция дЩрежелік функция деп аталады.ЖЩне оныЈ туындысы мына тЇрде болады: (x )`=ax (1.19) Б±л формула x= e бол“анды›тан, x =e кЇрделі функциясыныЈ туындысын есептеу ережесі бойынша дЩлелденеді. ДЩрежелік функцияныЈ мЩндерін есептеу Їшін мынандай жуы› формула ›орытып шы“арыл“ан:

(1+Δx) 1+ά‡Δx (1.20) АлдыЈ“ы та›ырыпта“ы жуы› формуладан мынау шы“ады f(x)=(1+Δx) 1+άΔх Кйп жа“дайда б±л формуланы тЇбірлерді есептеу Їшін ›олданылады. a= болса, мынадай формула шы“ады. (1+Δx) ≈1+ (1.21) Мысал 4. (2.22)формуланы пайдаланып жуы› мЩнді есептейік (1+0.08) ≈1+ ‡8=1.02 Б±л тарауда“ы соЈ“ы екі та›ырып «Кйрсеткіштік жЩне логарифмдік функциялардыЈ йсуін жЩне кемуін дифферциалды› есептеулер ар›ылы зерттеу» жЩне «Кйрсеткіштік жЩне логарифмдік функциялардыЈ берілген аралы›та еЈ Їлкен жЩне ЩЈ кіші мЩндерін табу»мысал тЇрінде ›арастырылады. Мысал:5 f(x)=x Inx функциясын йсетіні,кемитіні,экстермуммы бар-жо›ты“ын зерттеп жЩне оныЈ графигін салу керек. Функция x φ 0 мЩндерінде аны›тал“ан.Осы функцияныЈ туындысын табайы›. f`` (x)=2xInx+ x =2xIn + x=2x(Inx+ ). Ал x φ 0 бол“анды›тан туынды таЈбасы(Inx+ ) таЈбасымен дЩл келеді.Осыдан ( ;∞) аралы“ында f``(x) φ 0 болатынды“ы шы“ады,сонды›тан [ ;∞) аралы“ында

20

функция йседі (0; ) аралы“ында туынды теріс,сонды›тан f функциясы (0; )



аралы“ында кемиді. нЇктесінде туынды таЈбасын минустан плюске йзгертеді,демек б±л миимум нЇктесі. f( )=-

љорытынды

Осы “ылыми жобаны жазу барысында мен математикада“ы дифферциалды› есептеулер элементтері бойынша функцияларды туынды ар›ылы зерттеуді, негізгі туынды табу формулаларын Їйрендім.Белгілі бір ±“ымдарды жан-жа›ты меЈгеру Їшін кйп іздендім,тиімді Щдістерді ›арастырып,білімді тереЈдетуге йз бетіммен ж±мыс істеуге да“дыланыдым. «МатематиканыЈ йз тілі бар – ол формула»деп С.В.Ковалевская айт›андай жо“арыда келтірілген,пайданыл“ан формулалар,есептер шы“аруда ›иыншылы›тардан мЇдірмей йтуге кймектеседі.

Шдебиеттер.

1.Н.Темір“алиев «Математикалы› анализ».Алматы т. 1 Мектеп 2.А.Н.Колмоногоров ,А.М.Абрамов «Алгебра мен анализ бастамалары».Алматы.Рауан.1992. 3.Н.Я.Виленкин,О.С. Ивашев-Мусатов,С.И.Шварцбурд «Алгебра и математический анализ».Москва.Просвешение.1983. 4. Н.Я.Виленкин,О.С. Ивашев-Мусатов,С.И.Шварцбурд «Алгебра и математический анализ».Москва.Просвешение.2000. 5.Е.С.Кочетков, Е.С.Кочеткова «Алгебра жЩне элементар функциялар».Алматы.Мектеп.1973. 6.Н.Темір“алиев. «Дифферциалданатын элементар функциялардыЈ туындыларын есептеуді Їнемі жЩне тез ЇйретудіЈ Щдістемесі»//И.Ф.М.6.2000.Б.67-40. 7.О.А.ЖЩутіков «Математикалы› анализ курсы».Алматы,љаза›тыЈ мемлекеттік о›у-педагогика баспасы.»1959. 8.Х.И.Ибрашев,Ш.Ерке“±лов «Математикалы› анализ курсы».Алматы.т.1 1963,т.1970. 9.Б.Т.Тйлегенов «Бір айнымалы функциялардыЈ дифферциялды› есептеуі».Алматы.1969. 10.Б.Т.Тйлегенов «Математикалы› анализдер лекциялар курсы».1-бйлім.Алматы.1973.



23

Пікір Ибраева ГЇлжазира 9 сынып о›ушысы .ГЇлжазираныЈ жаз“ан “ылыми жобасы: «Математикада“ы дифферциялды› есептеулер элементтері».’ылыми ж±мыс:кіріспе,негізгі бйлім жЩне ›орытынды бйлімнене т±рады. Кіріспе бйлімінде туынды ±“ымы туралы жЇйелі тЇрде дамыт›ан “алымдар,олардыЈ еЈбектері жйнінде тарихи деректер келтірілген. Негізгі бйлімінде жалпы білім беру ба“дарламасы бойынша математикадан дифферециалды› есептеулері толы› зерттелген. Ибраева ГЇлжазира былтыр“ы 2009 жылдыЈ соЈынанбастап та›ырып аясында ізденіс ж±мыстарын жЇргізді.Б±л ж±мыста о›ушыныЈ ±“ымын тереЈдету де, о›ушыныЈ математика пЩніне деген ›ызы“ушылы“ын арттырып ,йз бетімен ж±мыс істеуге жетеледі. Б±л зерттеу ж±мысы математика пЩнінде кездесетін ›иыншылы›тардан мЇдірмей йтуге жЩне есеп шы“арудыЈ жылдамды“ын арттыру“а кймектеседі. Белгілі бір жаЈа шешу Щдістерін меЈгеру Їшін жан-жа›ты білім керек.Кйп о›ып ізденудіЈ нЩтижесінде есепті жеЈіл,Щрі шаршаЈ шешуге Їйретеді. О›ушы йзініЈ ізденісінде та›ырыпта йзініЈ ›±растыр“ан жоспары бойынша толы› талдан“ан.Б±л “ылыми еЈбек “ылыми жа“ынан да на›ты шы“ар“ан есептермен Їйлесім тап›ан.из ойын на›ты кйрсете білген Ибраева ГЇлжазираныЈ еЈбегі келешек ±рпа››а Щсері кйп деп білемін. Математика “ылыми-“ылымдардыЈ негізі екенін тЇсінген ГЇлжазира о›ушыма ›анаты талмай,биіке сам“ап,жо“арыдан кйріне бер демекпін.


©dereksiz.org 2016
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет