Становление теории множеств

Лекция № 2

Возникновение теории множеств (Г. Кантор). Множества конечные и бесконечные. Потенциальная и актуальная бесконечности. Парадоксы "наивной" теории множеств. Способы устранения антиномий.

Основные понятия теории множеств. Мощность множеств. Проблема континуума. Способы упорядочения элементов множеств. Аксиома выбора Цермело.

Способы задания множеств. Операции над множествами (пересечение, объединение, разность). Диаграммы Эйлера-Венна.

* * *

Становление теории множеств.

Во 2-ой половине XIX-го века усилиями Георга Кантора (1845-1918) быстрыми темпами начала развиваться теория множеств¹. Понятие множества использовалось в математике и до Кантора, однако, использовалось на интуитивном уровне, теории множеств, как таковой, не существовало. На интуитивном уровне до Кантора и при Канторе под множеством понимали произвольную совокупность элементов, мыслимую как единое целое.

Исследование проблем, связанных со сходящимися и расходящимися рядами привело Кантора к рассмотрению теории числовых множеств. Внимание Кантора привлекли бесконечные множества. Понятие бесконечности попало в поле зрения математиков в эпоху античности. Начиная с Аристотеля, математики проводили чёткое различие между актуальной и потенциальной бесконечностями (возраст Вселенной, которая существовала всегда, и возраст Вселенной, которая возникла в какой-то момент времени). Аристотелевская традиция заключалась в том, что актуальной бесконечности нет, эта бесконечность не нужна математике. Аристотелевская традиция доминировала в математике до появления в 1870-х годах фундаментальных работ Кантора.

В 1973 г. Кантор приступил к изучению актуально бесконечных множеств (например: множество десятичных знаков числа , множество точек отрезка), поставив задачу их классификации. Идея Кантора сводилась к установлению взаимно-однозначного соответствия между множествами (равномощные множества). Кантор определил бесконечное множество, как такое множество, которое можно поставить во взаимно-однозначное соответствие со своим собственным подмножеством.

Кантор показал, что для любого заданного множества, всегда найдётся множество, которое больше исходного, то есть имеет бóльшую мощность. В частности, множество всех подмножеств исходного множества всегда больше исходного множества. В 1895 году Кантор попробовал рассмотреть множество всех множеств и пришёл к противоречию (ведь множество всех подмножеств этого супер-множества окажется больше самого супер-множества). У данного парадокса существует множество формулировок:

• 
  может ли всемогущее существо создать неразрушимый предмет?
  
• 
  должен ли брить себя брадобрей, обязанный брить лишь не умеющих бриться?
  
• 
  к какому классу относится класс предметов, не содержащих себя (в отличие от класса предметов себя содержащих)?
  

В 1883 году Кантор высказал гипотезу, что каждое множество можно вполне упорядочить. Доказать эту гипотезу Кантору не удалось. В 1904 году Эрнст Цермело (1871-1953) опубликовал работу, в которой излагалось доказательство гипотезы Кантора. При этом Цермело воспользовался утверждением, впоследствии названным аксиомой выбора, которое гласило: "Если имеется любой набор множеств, то всегда можно, выбрав из каждого множества по одному элементу, составить из этих элементов новое множество".

Применение аксиомы выбора вызвало споры в математическом сообществе. Критики утверждали: если не указано правило, по которому производится выбор, то фактически выбор отсутствует и новое множество не образуется. Выбор без правил представляет собою акт веры, поэтому аксиома выбора лежит за пределами математики.

По мнению сторонников аксиомы акт выбора определён уже тем, что его считают определённым. Цермело утверждал: до тех пор пока эта аксиома не приводит к противоречиям, её применение можно считать оправданным.

В конечном счёте дискуссия относительно теории множеств и аксиомы выбора свелась к фундаментальному вопросу:

В каком смысле существуют математические понятия, когда мы доказываем, что они существуют? Должны ли они иметь референтов в реальном физическом мире?

Вторым фундаментальным вопросом стал смысл доказательства существования. Должно ли доказательство существования объекта завершаться конструирова­нием этого объекта?

Понятие множества в математике является одним из первичных, общих, основополагающих. По этой причине понятию множества не может быть дано точного, строгого определения. Попытки привлечь для определения множества такие слова как "набор", "совокупность", "коллекция", "собрание", "семейство", "ансамбль", "класс", "система" выводят нас за пределы математики.

Вместо обречённых на неуспех попыток поиска общего, универсального определения множества, поставим перед собою более простую задачу: попробуем проиллюстрировать понятие множества разнообразными примерами.

Георг Кантор определял множество как "многое, мыслимое как единое". Множество состоит из элементов. Что объединяет эти элементы? Очевидно, то, что эти элементы входят в состав множества. По какой причине элементы включены в состав множества? Очевидно, их объединяет что-то общее, какой-то общий признак.

• 
  множество, состоящее из элементов "veni", "vidi", "vici": {"veni", "vidi", "vici"};
  
• 
  множество предлогов русского языка;
  
• 
  множество людей в этой аудитории;
  
• 
  множество политических партий, зарегистрированных Центризбиркомом;
  
• 
  множество планет Солнечной системы;
  
• 
  множество дней недели;
  
• 
  множество декад месяца;
  
• 
  множество времён года;
  
• 
  множество сторон света;
  
• 
  множество направлений движения;
  
• 
  множество натуральных чисел;
  
• 
  множество чётных чисел;
  
• 
  множество точек окружности;
  
• 
  множество арифметических действий;
  
• 
  множество корней уравнения x²+x+1=0.
  

• 
  задание множества перечислением всех его элементов: {Оля, Элла, Лена} (мои подруги);
  
• 
  задание множества списком входящих в его состав элементов (чемпионы мира по шахматам разных лет):
  

"Смыслов",

"Петросян",

"Спасский"

• 
  задание множества указанием какого-либо характерного признака, объединяющего все элементы, входящие в его состав (составляющие спектра белого цвета):
  

• 
  задание множества указанием его границ (множество кирпичиков, ограниченных красной линией):
  
• 
  задание множества ссылкой на какую-либо проблему: (простые числа n , для которых 2ⁿ-2 делится на n² без остатка).
  

Основные операции над множествами иллюстрируются данными таблицы №1:

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ	ОБЪЕДИНЕНИЕ	ВЫЧИТАНИЕ

1. 
   Жолков С.Ю. Математика и информатика для гуманитариев: Учебник.- М.: Гардарики, 2002.- 531.
   
2. 
   Клайн М. Математика. Утрата неопределённости. - М.: Мир, 1984.- 434.
   
3. 
   Клайн М. Математика. Поиск истины. - М.: Мир, 1988.- 295.
   
4. 
   Гильберт Д. Основания геометрии. - М.-Ленинград: ОГИЗ, 1948.- 491.
   
5. 
   Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. - М.: Наука, 1990.- 256.
   
6. 
   Виленкин Н.Я. Рассказы о множествах. - М.: Наука, 1969.- 159.
   
7. 
   Гегель. Философия религии. В 2-х томах. Т. 1. Жизнь Иисуса. М., «Мысль», 1976.- 532.