Столбцов. Если
жүктеу/скачать 174.12 Kb.
|
| A ⋅ X = B или X ⋅ A = B, где A и B - известные матрицы, X - неизвестная матрица, которую требуется найти.
Для того, чтобы решить матричное уравнение вида A ⋅ X = B, обе его части следует умножить на обратную к A матрицу слева: . По определению обратной матрицы, произведение обратной матрицы на данную исходную матрицу равно единичной матрице: , поэтому . Так как E - единичная матрица, то E ⋅ X = X. В результате получим, что неизвестная матрица X равна произведению матрицы, обратной к матрице A, слева, на матрицу B: . Если дано уравнение X ⋅ A = B, то есть такое, в котором в произведении неизвестной матрицы X и известной матрицы A матрица A находится справа, то нужно действовать аналогично, но меняя направление умножения на матрицу, обратную матрице A, и умножать матрицу B на неё справа: , , . Очень важно, с какой стороны умножать на обратную матрицу, так как . Обратная к A матрица умножается на матрицу B с той стороны, с которой матрица A умножается на неизвестную матрицу X. То есть с той стороны, где в произведении с неизвестной матрицей находится матрица A. Встречаются случаи, когда в левой части уравнения неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Тогда известную матрицу из правой части уравнения следует умножить слева на матрицу, обратную той, которая в упомянутом выше произведении трёх матриц была слева, и справа на матрицу, обратную той матрице, которая располагалась справа. Таким образом, решением матричного уравнения A ⋅ X ⋅ B = C, является . Ранг матрицы. Линейная зависимость (независимость) строк и столбцов Любую строку матрицы A можно рассматривать как матрицу из одной строки, а любой столбец - как матрицу из одного столбца. Следовательно, для строк и столбцов матрицы применимы правила сложения матриц и умножения матрицы на число. Определение Пусть λ1, λ2, ..., λr - действительные числа, P1, P2, ..., Pr, - строки (столбцы) матрицы A. Выражение λ1P1 + λ2P2 + ... + λrPr называют линейной комбинацией строк (столбцов) P1, P2, ..., Pr, с числами λ1, λ2, ..., λr. Определение Будем говорить, что строки (столбцы) P1, P2, ..., Pr, матрицы A линейно зависимы, если существуют числа λ1, λ2, ..., λr, не все равные нулю, такие, что линейная комбинация строк (столбцов) с этими числами является нулевой строкой (столбцом), то есть λ1P1 + λ2P2 + ... + λrPr = (0 0 ... 0) = 0. Если же последнее равенство возможно лишь при λ1 = λ2 = ... = λr = 0, то строки (столбцы) P1, P2, ..., Pr, называются линейно независимыми. Примером линейной независимости строк являются строки единичной матрицы, а примером линейной зависимости – две одинаковые строки матрицы. Теоремы (о линейной зависимости строк матрицы) 1. Если среди строк матрицы есть нулевая, то эти строки линейно зависимы. 2. Если строки матрицы линейно зависимы, то одна из них есть линейная комбинация остальных. Аналогичные рассуждения можно провести и для столбцов матрицы A. Определение Минором порядка k матрицы A называют определитель, который составлен из элементов этой матрицы, стоящих на пересечении произвольно выбранных k строк и k столбцов с сохранением их порядков. Определение Минор M матрицы A называют базисным, если он отличен от нуля, а все миноры большего порядка равны нулю или не существуют. Замечание Матрица может иметь несколько базисных миноров одного порядка. Определение Строки и столбцы матрицы, в которых расположен выбранный базисный минор, называют базисными. Теорема (о базисном миноре) Базисные строки (столбцы) матрицы A, соответствующие ее базисному минору M, линейно независимы. Любые строки (столбцы) матрицы A, не входящие в M, являются линейными комбинациями базисных строк (столбцов). Следствие Для того, чтобы квадратная матрица была невырожденной необходимо и достаточно, чтобы ее строки (столбцы) были линейно независимы. Определение Рангом матрицы A называется порядок ее базисного минора. Обозначение: r, r(A), rang A. Свойства ранга матрицы: 1. r(A + B) ≤ r(A) + r(B). 2. r(A · B) ≤ min {r(A), r(B)} . 3. r(AT ) = r(A). Теорема (о ранге матрицы) Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк (столбцов), через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы). Следствие Для любой матрицы максимальное число линейно независимых строк равно максимальному числу линейно независимых столбцов. 2.1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида: Упорядоченный набор значений называется решением системы, если при подстановке в уравнения все уравнения превращаются в тождество. СЛАУ называется совместной, если она имеет, хотя бы одно решение. В противном случае система называется несовместной. Система называется определённой, если она совместна и имеет единственное решение. В противном случае (т.е. если система совместна и имеет более одного решения) система называется неопределённой. Система называется однородной, если все правые части уравнений, входящих в нее, равны нулю одновременно. Система называется квадратной, если количество уравнений равно количеству неизвестных. 2.2. Матричный метод решения СЛАУ СЛАУ можно записать в матричном виде: A∙X=B, где матрица называется матрицей системы, это матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных; - вектором-столбцом неизвестных, вектором-столбцом правых частей или свободных коэффициентов. Умножим это матричное уравнение слева на A-1 — матрицу, обратную к матрице A: A-1 (AX) = A-1 B Так как A-1A = E, получаем X = A-1B. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A: detA≠ 0. Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор B = 0, действительно обратное правило: система AX = 0 имеет нетривиальное (то есть не нулевое) решение только если detA = 0. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма. 2.3. Формулы Крамера Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которых число неизвестных переменных равно числу уравнений и определитель основной матрицы отличен от нуля. Пусть дана система линейных уравнений , где - основная матрица системы, в которой ее элементы — это коэффициенты при неизвестных переменных; - матрица-столбец свободных членов; - матрица-столбец неизвестных переменных. жүктеу/скачать 174.12 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|