Столбцов. Если
жүктеу/скачать 174.12 Kb.
|
| Определение . Множество R элементов x, y, z, ... любой природы называется линейным (или векторным) пространством, если выполнены следующие три требования:
Существует правило, посредством которого любым двум элементам x и y множества R ставится в соответствие третий элемент z этого множества, называемый суммой элементов x и y и обозначаемый z=x+y. Существует правило, посредством которого любому элементу x множества R и любому вещественному числу α ставится в соответствие элемент w этого множества, называемый произведением элемента x на число α и обозначаемый w=αx или w=xα. Представленные два правила подчинены следующим восьми аксиомам: x+y=y+x (переместительное свойство суммы); (x+y)+z=x+(y+z) (сочетательное свойство суммы); существует нулевой элемент 0 такой, что x+0=x для любого элемента x. для любого элемента x существует противоположный элемент элемент x' такой, что x+x'=0; 1·x=x для любого x; λ(μx)=(λμ)x (сочетательное свойство относительно числового множителя); (λ+μ)x=λx+μx (распределительное свойство относительно числовых множителей); λ(x+y)=λx+λy (распределительное свойство относительно суммы элементов). Элементы линейного (векторного) пространства называются векторами 3.2. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов Пусть – произвольное вещественное векторное пространство, , .Линейной комбинацией векторов с коэффициентами называется вектор , получаемый по правилу . Линейная комбинация называется нетривиальной, если в ней хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Линейная комбинация вида называется тривиальной; она, очевидно, равна нулевому вектору . Система векторов называется линейно зависимой, если существует хотя бы одна нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору. В противном случае, т.е. если только тривиальная линейная комбинация данных векторов равна нулевому вектору, векторы называются линейно независимыми. ТЕОРЕМА (критерий линейной зависимости). Для того чтобы система векторов линейного пространства была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы, по крайней мере, один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных. 1) Если среди векторов имеется хотя бы один нулевой вектор, то вся система векторов линейно зависима. 2) Если среди векторов некоторые образуют линейно зависимую систему, то и вся система линейно зависима. 3.3. Размеренность линейных пространств. Базис и координаты. Фундаментальным вопросом теории линейных пространств является вопрос о том, можно ли, а если можно, то как, произвольный вектор пространства представить в виде линейной комбинации фиксированного набора векторов из этого пространства. Система линейно независимых векторов векторного пространства называется базисом этого пространства, если любой вектор из может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этой системы, т.е. для каждого вектора существуют вещественные числа такие, что имеет место равенство . Это равенство называется разложением вектора по базису , а числа называются координатами вектора относительно базиса (или в базисе) . жүктеу/скачать 174.12 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|