Структура корневого подпространства. Жорданова нормальная форма матрицы



жүктеу 58.41 Kb.
Дата04.07.2016
өлшемі58.41 Kb.

Структура корневого подпространства. Жорданова нормальная форма матрицы.



Ранее была доказано разложении пространства на прямую сумму корневых подпространств: Каков бы ни был линейный оператор комплексного пространства V, это пространство раскладывается в прямую сумму инвариантных относительно оператора корневых подпространств.

Выделим одно корневое подпространство , соответствующее собственному значению и рассмотрим на нём ограничения операторов и . В дальнейшее индексы опустим.

Таким образом имеется линейный оператор , причём - нильпотентный оператор, имеющий показатель нильпотентности . Разложим корневое пространство в прямую сумму циклических подпространств:

, где - циклические относительно оператора подпространства; и построем циклические базисы, объединение которых даёт базис пространства .

Пусть для некоторого и . Обозначим . Совокупность векторов - циклический базис, причём - собственный вектор оператора , т.к. .


Def. Пусть - собственный вектор нильпотентного оператора , а векторы удовлетворяют условиям:

. Тогда они называются 1-ым, 2-ым, …, к-ым присоединёнными к векторами. Векторы образуют жорданову цепочку с началом .
Замечание. Любой циклический базис состоит из собственного вектора и присоединённых к нему. И обратно – жорданова цепочка образует циклический базис.
Лемма 1. (О начальном векторе цепочки). Собственный вектор имеет ровно k присоединённых (т.е. является началом цепочки из k+1 вектора) тогда и только тогда когда и .

Доказательство. Необходимость. Пусть - собственный вектор тогда: и выполняются равенства:

. Кроме того , так как иначе существовал бы (k+1) присоединённый вектор.

Достаточность. - собственный вектор. Так как , то , . Тогда циклический базис даёт нужную цепочку. #

Нахождение начальных векторов цепочки.
Из леммы 1 следует, что подпространства при i=1,…,(l-1) (l-показатель нильпотентности оператора ) должны играть существенную роль в построении цепочки Жордана. Очевидно, что - подпространство .
Лемма 2. (О вложенных подпространствах). Справедливы вложения:

  1. и

2) , (*)

l-показатель нильпотентности оператора

Доказательство. Так как то . Если l-показатель нильпотентности оператора, то очевидно т.е. , поэтому .

Пояснение: пусть - некоторые множества, тогда #



Строим базис в подпространстве , связанный с (*) :

  1. В выбираем какой-нибудь базис.

  2. Добавим все линейно независимые с предыдущими и между собой векторы из

Затем также из и т.д. до включительно. Таким образом, вектор из может быть включён в базис только если в базис уже дополнен на предыдущем шаге. Получим вектор раскладывается по векторам базиса лежащим в .

  1. Последними если потребуется , добавим те линейно независимые векторы из , которые не лежат в .

Тогда получим : - базис в (из собственных векторов ) построенный по алгоритму 1-3.
Каждому вектору базиса добавим цепочку присоединенных векторов. Получим в систему векторов:
(**)
Лемма 3.(О линейной независимости системы (**)). Система (**) линейно независима если собственные векторы линейно независимы.

Доказательство. Индукцией по числу векторов в системе.

  1. При N=1 очевидно

  2. Пусть справедливо при N-1 и докажем для N.

Составим линейную комбинацию из векторов (**) и приравняем её нулевому вектору. Подействуем на неё оператором . При этом

Получаем линейную комбинацию из меньшего числа векторов, по предположению индукции она тривиальная, тогда и , так кА собственные векторы линейно независимы.#



Таким образом, построен базис в корневом пространстве как объединение циклических базисов.
Def. Базис, построенный в лемме 3 называется жордановым базисом корневого подпространства .

Def. Объединение жордановых базисов всех корневых подпространств называется жордановым базисом в V.

Лемма 4. Если - нильпотентный оператор пространства , то распадается в прямую сумму = Ц1 Цd циклических относительно подпространств. Их число равно размерности d собственного подпространства .

Доказательство. Жорданов базис корневого подпространства – объединение базисов циклических подпространств.#

Лемма 5. Если в комплексном пространстве V задан линейный оператор , то V - прямая сумма инвариантных относительно циклических подпространств. Их число равно общему числу всех цепочек в жордановом базисе пространства V , т.е. , где .

Доказательство. Следует из Лемм 1,2,3,4.#

Def. Жордановой (верхней) клеткой размера mxm (или порядка m), соответствующей собственному значению называется квадратная матрица вида .

Def. Жордановой матрицей называется матрица, состоящая из диагональных блоков и нулей вне этих блоков:



Теорема (Жордана) о приведении матрицы оператора к жордановой форме. Для любого линейного оператора комплексного линейного пространства существует базис (жорданов базис) , в котором его матрица имеет жорданову нормальную форму.

Теорема Жордана.(Эквивалентная формулировка) Каждая квадратная матрица А порядка n над алгебраически замкнутом поле (в частности над комплексном поле С) приводится к жордановой нормальной форме. Именно, существует невырожденная матрица S, для которой - матрица, состоящая из диагональных блоков , представляющих собой жордановы клетки.

Доказательство. Жорданов базис пространства V - объединение базисов инвариантных относительно оператора подпространств, дающих в качестве прямой суммы само пространство V. Матрица оператора в таком базисе клеточно-диагональная. Диагональные клетки этой матрицы – матрицы сужений оператора на соответствующих подпространствах. Вид матриц ограничений оператора на циклических подпространствах определяется базисом выбранном в каждом из этих циклических подпространств. Если циклическое подпространство принадлежит корневому подпространству с собственным значением и натянуто на векторы жордановой цепочки , то и по формулам (***) имеем: .

Столбцы матрицы оператора – это координатные столбцы образов базисных векторов, поэтому матрица сужения оператора в рассматриваемом базисе будет иметь вид:- жордановой кл. порядка (h+1)#


Замечание. Жорданов базис не единственен: базис в каждом корневом пространстве выбирается с некоторым произволом, и присоединенные векторы определены не однозначно. Жорданова нормальная форма матрицы оператора определена единственным образом с точностью до порядка расположения клеток на главной диагонали.




Утверждение. Размерность корневого подпространства равна кратности его собственного значения в характеристическом многочлене.


Доказательство. Все жордановы клетки с одним и тем же собственным значением объединяются в одну большую клетку, соответствующую корневому подпространству. Поэтому кратность собственного значения равна , если встречается на диагонали раз. #


©dereksiz.org 2016
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет