Исходные данные банка аналогичны случаю построения «пирамидальной» бабочки

Исходные данные банка аналогичны случаю построения «пирамидальной» бабочки.

1. Инвестор ожидает значительного роста волатильности относительно текущего уровня, при котором цена фьючерса на РАО «ЕЭС» M_now= 8204 рублей через период T_expiry упадет до первой прогнозной цены 6000 рублей или ниже, или вырастет до второй прогнозной цены 10000 рублей или выше.

На ожидаемых прогнозных ценах фьючерса на РАО «ЕЭС» 6000 рублей и 10000 рублей инвестор желает получить одинаковую максимальную денежную выплату;

2. Защита от падения или роста цены основного актива на различных уровнях:

а). Уровень максимальных потерь будет, когда цена фьючерса останется на уровне 8000 рублей. Максимальные ограничения должны быть ограничены величиной - 40000 рублей;

б). Уровень потерь при росте цены фьючерса до 8500 рублей или падении до 7500 рублей на промежутках цен фьючерса [6500;7000] и [8500;9500] должен быть ограничен величиной -10000 рублей;

3. Инвестиционный продукт, который хочет получить клиент, должен иметь отрицательную стоимость;

4. Инвестор желает получить наличными 3000 рублей в результате приобретения данного продукта.

Принципы построения структурированной бабочки-покупки волатильности и задача структурирования описаны в пункте 3.7.:

Укажем конкретный вид условий 3- 6:

для промежутка 0 - 6000: Y₁ +… + Y₆ = 0;

для промежутка 6000 - 6500: − (Y₂ +… + Y₆) ≤ 0;

для промежутка 6500 - 7000: − (Y₃ +… + Y₆) = 0;

для промежутка 7000 - 7500: − (Y₄ +… + Y₆) = 0;

для промежутка 7500 - 8000: X₁ − (Y₅ + Y₆) ≤ 0;

для промежутка 8000 - 8500: X₁ + X₂ − Y₆ ≥ 0;

для промежутка 8500 - 9000: X₁ + X₂ + X₃ = 0;

для промежутка 9000 - 9500: X₁ + X₂ + X₃ + X₄ = 0;

для промежутка 9500 - 10000: X₁ + X₂ + X₃ + X₄ + X₅ ≥ 0;

для промежутка 10000 - +∞: X₁ + X₂ + X₃ + X₄ + X₅ + X₆ = 0,

Возможность монетизации продукта записывается как:

X₁ ∙(784,8 или 959,2) + X₂ ∙(468 или 572) + X₃ ∙(279 или 341) + X₄ ∙(139,5 или 170,5) + X₅ ∙(76,5 или 93,5) + X₆ ∙(45 или 55) + Y₁ ∙(10,8 или 13,2) + Y₂ ∙(23,4 или 28,6) + Y₃ ∙(69,3 или 84,7) + Y₄ ∙(151,2 или 184,8) + Y₅ ∙(293,4 или  358,6)+ Y₆ ∙(520,2 или 635,8) = -3000.

В результате трейдер рассчитывает оптимальные доли (X,Y), необходимые для построения структурированной бабочки - покупка волатильности, удовлетворяющие всем запросам клиента. Покупает и продает нужное количество опционов с учетом BID - ASK спрэда, заложенного в модель. Оптимальные доли коллов и путов представлены в табл. 4.11. и 4.12.:

Таблица 4.11. Оптимальные доли коллов опционного продукта-структурированная бабочка-покупка волатильности

Таблица 4.12. Оптимальные доли путов опционного продукта структурированная бабочка-покупка волатильности

Характеристики продукта будут следующими:

1. Суммарная нетто - премия = 3000 рублей;

2. Cложная форма продукта с двумя промежутками ограничения убытков для клиента и бимодальной прибыльной зоной;

3. Максимальная выплата достигается при двух прогнозных ценах фьючерса на РАО «ЕЭС» (0; 6000) рублей и (10000; + ∞) рублей.

F (P,Q,X_optimal1,Y_optimal1, M₁= 6000) = 29043 руб.,

F (P,Q,X_optimal2,Y_optimal2, M₉= 10000) = 29043 руб.,

4. Ограничение потерь:

min _M F(P,Q,X_opt.,Y_opt., M) = F(P,Q,X_opt.,Y_opt., M_3-4= 6500 - 7500) = − 10000 руб.,

min _M F(P,Q,X_opt.,Y_optimal, M) = F(P,Q,X_opt.,Y_opt., M₅ = 8000) = − 40000 руб.,

min _M F(P,Q,X_opt.,Y_opt., M) = F(P,Q,X_opt.,Y_opt., M_6-7 = 8500-9500) = −10000 руб.

Графически выплаты продукта в зависимости от цены основного актива можно представить следующим образом (см. рис. 4.5.):

Рис. 4.5. Структурированная бабочка-покупка волатильности на основе котировок биржевых опционов на фьючерсы  РАО «ЕЭС», торгуемых на FORTS: конечная денежная выплата по стратегии (ось Y) в зависимости от цены основного актива на момент исполнения опционов (ось X) с учетом полученной суммарной опционной нетто – премией

M=8204 рублей - текущая рыночная цена на фьючерс РАО «ЕЭС»;

S – «плавающий» страйк внебиржевого опциона на фьючерс РАО «ЕЭС» заранее неизвестен и определяется в результате решения задачи линейной оптимизации;

R - безрисковая ставка процента, нахождение ставки см. в пункте 4.2.1.;

V(S)- значение функции волатильности V(S) при определенном страйке опциона S, моделирование самой функции уклона волатильности V(S) можно найти в п. 4.2.2..

Сравним страйки биржевых опционов колл и пут на фьючерс РАО «ЕЭС» по состоянию на 01.04.05 с целью нахождения одинаковых страйков.

Страйки биржевых опционов колл на фьючерс РАО «ЕЭС» представлены множеством S_C:

S_C = (7500, 8000, 8500, 9000, 9500, 10000),

Страйки биржевых опционов пут на фьючерс РАО «ЕЭС» представлены множеством S_P:

S_P = (6000, 6500, 7000, 7500, 8000, 8500),

На 01 апреля 2005 г. существуют три пары опционов колл и пут с одинаковыми страйками:

S_C1 = S_P4 = 7500 руб.,

S_C2 = S_P5 = 8000 руб.,

S_C3 = S_P6 = 8500 руб.,

Используя обозначения и символы, применяемые в диссертационном исследовании запишем формулу колл - пут паритета (26) в следующем виде:

, (176)

где:

P_i - текущая рыночная стоимость опциона колл cо страйком S_i;

Q_i - текущая рыночная стоимость опциона колл cо страйком S_i;

S_i - одинаковый страйк биржевых опционов на фьючерс РАО «ЕЭС»;

T - время жизни опциона выраженное в доле от 1 года (кол-во дней жизни опциона/365 дней в году);

M - текущая цена фьючерса на РАО «ЕЭС»;

R - безрисковая ставка, используемая при дисконтировании страйка S_i.

Средневзвешенные котировки премий биржевых опционов колл и пут с учетом одинаковых страйков запишем в виде таблицы:

Зная одинаковые страйки биржевых опционов колл и пут S_i , величины их текущих котировочных премий P_i и Q_i , время жизни опционов T и текущую цену фьючерса M нетрудно записать выражения пут-колл паритетов для трех пар биржевых опционов с одинаковыми страйками.

Для страйка S_C1 = S_P4 = 7500 рублей: 872+7500∙e^-R∙0,19=168+8204

Для страйка S_C2 = S_P5 = 8000 рублей: 520+8000∙e^-R∙0,19=326+8204

Для страйка S_C3 = S_P6 = 8500 рублей: 310+8500∙e^-R∙0,19=578+8204

Решением этих уравнений будут три различные безрисковые процентные ставки. Запишем их в виде множества R:

R = (0%; -0,7%; 1,74%)

Безрисковая процентная ставка не может быть различной для одного срока инвестирования, поэтому на биржевом рынке опционов наблюдается диспаритет цен опционов колл и пут.

В целях оценки внебиржевых опционов и нахождения функции уклона волатильности будем использовать среднее значение трех найденных процентных ставок:

.

Которая будет в дальнейшем использоваться при моделировании функции уклона волатильности в п. 4.2.2. и оценки выпускаемых внебиржевые опционы при оптимизации новых опционных продуктов в п.4.3..

Котировочные величины премий биржевых опционов колл и пут на фьючерс РАО «ЕЭС» с одной датой экспирации и соответствующие им страйки по состоянию на 01.04.05 таковы:

Для опционов колл на фьючерс РАО «ЕЭС»:

P = (872, 520, 310, 155, 85, 50),

S_C = (7500, 8000, 8500, 9000, 9500, 10000),

Для опционов пут на фьючерс РАО «ЕЭС»:

Q = (12, 26, 77, 168, 326, 578),

S_P = (6000, 6500, 7000, 7500, 8000, 8500).

Исходные данные для нахождения внутренних волатильностей биржевых опционов представлены следующим образом:

«с» – в случае нахождения внутренней волатильности для биржевых опционов колл на фьючерс РАО «ЕЭС»;

«p» – в случае нахождения внутренней волатильности для биржевых опционов пут на фьючерс РАО «ЕЭС»;

M = 8204 рублей;

S –страйк из множества страйков биржевых опционов колл S_C;

S= или

T = 0,19 (69 дней/365 дней в году);

R = 0,347%;

P_i - котировочная премия биржевого опциона колл;

СM=

Q_i- котировочная премия биржевого опциона пут;

Для биржевых опционов колл на фьючерс РАО «ЕЭС»:

V_C1= Newton RaphsonCollectorVol («с»;8204;7500;0,19; 0,00347;872) = 31,42%;

V_C2= Newton RaphsonCollectorVol («с»; 8204;8000;0,19;0,00347;520) = 28,98%;

V_C3= Newton RaphsonCollectorVol («с»; 8204;8500;0,19;0,00347;310) = 30,41%;

V_C4= Newton RaphsonCollectorVol («с»; 8204;9000;0,19;0,00347;155)= 26,69%;

V_C5= Newton RaphsonCollectorVol («с»; 8204; 9500;0,19;0,00347;85) = 31,09%;

V_C6= Newton RaphsonCollectorVol («с»; 8204;10000;0,19;0,00347;50) = 32,96%.

Для биржевых опционов пут на фьючерс РАО «ЕЭС»:

V_P1= Newton RaphsonCollectorVol («p»;8204;6000;0,19;0,00347;12) = 37,56%;

V_P2= Newton RaphsonCollectorVol («p»;8204;6500;0,19;0,00347;26) = 33,92%;

V_P3= Newton RaphsonCollectorVol («p»;8204;7000;0,19;0,00347;77) = 33,57%;

V_P4= Newton RaphsonCollectorVol («p»;8204;7500;0,19;0,00347; 168) = 31,87%;

V_P5= Newton RaphsonCollectorVol («p»;8204;8000;0,19;0,00347;326) = 30,09%;

V_P6= Newton RaphsonCollectorVol («p»;8204;8500;0,19;0,00347;578) = 28,8%.

В результате запишем множество внутренних волатильностей V_C для биржевых опционов колл на фьючерс РАО «ЕЭС»:

V_C = (31,42%, 29,98%, 30,41%, 26,69%, 31,09%, 32,96%),

И множество внутренних волатильностей V_P для биржевых опционов пут на фьючерс РАО «ЕЭС»:

V_P = (37,56%, 33,92%, 33,57%, 31,87%, 30,09%, 28,8%).

В табличном виде страйки и соответствующие им волатильности биржевых опционов колл и пут представлены следующим образом:

В графическом представлении множества внутренних волатильностей выглядят следующим образом:

Рис. 4.6. Внутренние волатильности биржевых опционов колл и пут на фьючерс РАО «ЕЭС» в зависимости от страйков биржевых опционов по состоянию на 01.04.05

Используя линейную аппроксимацию через свойство «Формат линии тренда» в программном продукте EXCEL можно найти и построить несколько функции характеризующих общее множество волатильностей. Получаем следующие варианты функций уклона волатильности биржевых опционов в зависимости от страйков опционов колл и пут:

1. Линейная функция уклона волатильности со степенью n = 1 в зависимости от уменьшенных в 10⁴ раз страйков биржевых опционов (рис. 4.7.):

V(S/10⁴) = -0,125∙(S/10⁴) + 0,417 c R² = 0,3508,

Рис. 4.7. Линейная функция уклона волатильности V(S) в зависимости уменьшенных в 10⁴ раз страйков биржевых опционов на фьючерс РАО «ЕЭС»

2. Квадратичная функция внутренней волатильности cо степенью n=2 в зависимости от уменьшенных в 10⁴ раз страйков биржевых опционов (см. рис. 4.8.):

V(S/10⁴) = 1,2713∙(S/10⁴)² – 2,1591∙(S/10⁴) + 1,2142 с R² = 0,9211,

Рис. 4.8. Квадратичная функция уклона волатильности V(S) cо степенью n=2 в зависимости уменьшенных в 10⁴ раз страйков биржевых опционов на фьючерс РАО «ЕЭС»

3. Кубическая функция внутренней волатильности cо степенью n=3 в зависимости от уменьшенных в 10⁴ раз страйков биржевых опционов (рис. 4.9.):

V(S/10⁴) = 0,0018∙(S/10⁴)³ - 0,0311∙(S/10⁴)² +0,1295∙(S/10⁴) + 0,3208

с R² = 0,9336.

Рис. 4.9. Кубическая функция уклона волатильности V(S) cо степенью n=3

Совместив три возможные функции уклона волатильности на одном графике, но, заменив уменьшенный страйки на обычные можно получить более наглядную картину возможных функций уклона волатильности V(S):

Рис. 4.10. Возможные функции уклона волатильности V(S) c различными степенями

Критерием при выборе функции уклона волатильности будет значение «R²». В данном случае следует выбрать функцию уклона волатильности V(S) со степенью n=2, то есть параболу, так как у квадратичной и кубической функции почти одинаковый «R²»: 0,9211 и 0,9336, что намного больше «R²» линейной функции-0,3508. А так как увеличение степени многочлена существенно не улучшает «R²» , то следует выбрать квадратичную функции уклона волатильности (cм. п. 2.8.).

Результат: при оценке выпускаемых внебиржевых опционов на фьючерс РАО «ЕЭС» на 01.04.05 будем использовать следующее уравнение функции уклона волатильности для нахождения внутренней волатильности для различных страйков на промежутке страйков S є [6000;10000]:

V(S/10⁴) = 1,2713∙(S/10⁴)² – 2,1591∙(S/10⁴) + 1,2142
4.3. Оптимизация «бычьего» структурированного коллара
Предположим трейдер банка решает оптимизировать или реструктуризировать еще не реализованный⁵⁰ клиенту и не составленный на ранке FORTS опционный продукт - «бычий» структурированный коллар, составленный из двенадцати биржевых опционов на фьючерс РАО «ЕЭС», исходя из предпосылок оптимизации опционных продуктов (см. раздел 2.9.), путем замены одного вида биржевого опциона с стандартным страйком на внебиржевой опцион с «плавающим страйком». Оптимизация «бычьего» структурированного коллара производиться для получения большей денежной выплаты при прогнозной цене.