Компьютерная Исследовательская модель

Компьютерная Исследовательская модель

В данной работе мы представили три проекта: «Анализ графиков элементарных функций», «Приложения производных», «Расчет критического пути в графе».

Применение компьютерной модели «Анализ графиков элементарных функций» позволяет наглядно и доступно осмыслить закономерности изменения графиков функций в зависимости от параметров заданной функции. Первая демонстрационная модель может быть использована на обобщающем занятии по теме «Преобразование графиков функции».

Применение компьютерной модели «Приложения производных» позволяет проследить процесс и результат разложения заданной аналитической функции в ряд Тейлора и наглядно увидеть значимость формулы Тейлора и область её применения. Мы предлагаем использовать эту модель на вводном занятии по теме «Ряд Тейлора».

Вторая часть проекта позволяет в автоматическом и наглядном режиме определять области монотонности графика функции, точки экстремума, области выпуклости-вогнутости, точки перегиба. Данная модель могла бы быть применена на обобщающем занятии по теме «Исследование графиков функции».

Разработанные нами модели могут быть использованы как демонстрационный материал на лекционных занятиях по высшей математике. При решении подобных задач на практических занятиях модель может послужить инструментом для проверки правильности решения.

Любая исследовательская модель должна удовлетворять следующим основным требованиям:

1. Модель является некоторым упрощённым заменителем реального объекта с сохранением важных, с точки зрения исследователя, свойств;

2. Она позволяет проще и эффективней исследовать реальный объект.

Наши модели удовлетворяют этим основным требованиям.

Для разработки проекта нам потребовалось не только в совершенстве овладеть традиционными методами решения соответствующей задачи (их мы изучаем в учебной дисциплине «Дискретная математика»), не только грамотно владеть вычислительными возможностями среды программирования VBA-Excel (её основы мы изучали в цикле компьютерных дисциплин), но и подключить свой творческий потенциал и большую настойчивость. Поставленные в начале нашей работы задачи успешно решены, цель работы достигнута.

Разработанные нами проекты могут быть использованы как демонстрационный материал на лекционных занятиях. При решении подобных задач на практических занятиях они могут служить инструментом, упрощающим громоздкие расчёты, и, наконец, просто для проверки правильности решения.

Мы считаем, что наши работы могут стать началом серии работ по разработке и применению компьютерных проектов в учебных и практических целях.

Н.Е. Ярмолинский

Разработка и исследование алгоритмов
построения квазиразверток поверхностей

Задачи построения развертки сложных поверхностей возникают в системах конструкторско-технологической подготовки производства различных корпусных изделий из листового материала, таких как одежда, обувь, корпуса турбо-, гидрогенераторов, электрических машин, автомобилей, судов, вентиляционных систем и пр.

Существует достаточно большое число работ, посвященных исследованию как чисто геометрических аспектов рассматриваемой задачи, так и физических свойств деформируемых материалов в рамках теории упругости. Однако потребности практики удовлетворены до настоящего времени не в полной мере. Наиболее целесообразным при решении прикладных задач представляется сочетание геометрических методов с учетом физических характеристик деформируемых при развертке материалов и возникающих при этом энергетических зависимостей.

Конструктивно этот подход можно представить в виде декомпозиционной схемы, состоящей из нескольких этапов.

На первом этапе исходная поверхность задается набором трехмерных точек, на основе которых строится триангуляционная сеть. Триангуляционная сеть представляет собой упругую систему масс, где вершины треугольников – локальные скопления масс, ребра треугольников – упругие связи между узлами. Физические параметры поверхности, такие как масса узла, силы и энергия упругой деформации, приходящиеся на данный узел, определяются из соответствующих геометрических параметров поверхности, через взаимное перемещение между соседними узлами и площадь треугольников, содержащих этот узел. Функция энергии упругой деформации, приходящейся на узел , определяется как [1]:

, (1)

где С – коэффициент упругости; – текущее расстояние между узлами и в плоской развертке; – расстояние между узлами и (в исходной поверхности); – единичный вектор; направленный из узла в ; n – количество узлов, соединенных с узлом .

Процедура развертки поверхности это  деформационный процесс, определяемый энергетической функцией введенной системы. Ставится задача получить плоскую триангуляционную сеть, при минимальных затратах энергии на деформацию поверхности. На втором этапе производится поэтапное построение локальных квазиразверток. Треугольники последовательно один за другим разворачиваются и добавляются к уже построенной квазиразвертке так, чтобы энергия, затрачиваемая на деформацию поверхности, была минимальной. В итоге, получим глобальную квазиразвертку, требующую минимальных затрат энергии.

Позиции узлов, обеспечивающие минимум энергетической функции, находятся из уравнения Лагранжа, описывающего движение системы материальных точек в пространстве. В нашем случае уравнение Лагранжа имеет вид:

где M – матрица масс; K – матрица жесткости.

На рис. 1 показан вариант использования описанного выше алгоритма получения плоской развертки ј части сферы и распределение энергии упругой деформации. Здесь красный цвет обозначает области, требующие максимальных затрат энергии, синий – минимальных.

Рис. 1. Результат получения плоской развертки части сферы

М.Ю. Кузнецов