Арифметикалық, геометриялық прогрессиялардың n-ші мүшелерінің формуласын математикалық индукция әдісімен дәлелдеу
Мысал. Әрбір натурал n ≥5 үшін 2n >n2 теңсіздігінің орындалатынын дәлелдеңіз.
Дәлелдеу.
n=5 болғанда 2n=25=32 және n2=52=25 болады, яғни берілген теңсіздік орындалады.
n=k, k≥5 болғанда 2k>k2 теңсіздігі орындалсын. Онда 2k+1> (k+1)2 теңсіздігі орындалатынын көрсету керек.
Ол үшін 2k>k2 теңсіздігін 2-ге көбейтіп, 2k+1> 2k2теңсіздігін аламыз. Енді k≥5 болғанда 2k2> (k+1)2 немесе 2k2- (k+1)2>0 теңсіздігі орындалатынын дәлелдеп көрсетсек жеткілікті.
Шынында да, 2k2- (k+1)2= k2-2k-1= (k-1)2 -2>0. k≥5 болғандықтан,
(k-1)2≥42 немесе (k-1)2 -2>0 теңсіздігі орындалады, яғни 2k2- (k+1)2>0 теңсіздігінің ақиқат екендігі шығады. Сонымен, берілген теңсіздік кез-келген натурал n ≥5 үшін дәлелденді.
Жалпы орта білім беретін мектептің 9- сыныбына арналған алгебра оқулы- ғында «математикалық индукция әдісі» қарастырылған. Оқулық авторлары: А.Е. Әбілқасымова , Н.П. Майкотов, Қ.И. Қаңлыбаев ,
Ә.С. Кенеш. Осы оқулықтың 162 бетіндегі қиынырақ есептерді мектепішілік олимпиадаларға алуға болады. Сол есептердің шығарылуына тоқталып өтейін.
Мектепішілік олимпиада:
№8 есеп.
қосындысын табыңдар.
Шешуі:
.
Жауабы: .
№9 есеп.
қосындысын табыңдар.
Шешуі:
Жауабы: .
№10 есеп.
қосындысын табу керек.
Шешуі: .
, мұнда
тепе-теңдігі математикалық индукция әдісімен дәлелденген (68 бет 2-мысал), ал .
Сонда
.
Жауабы: .
№11 есеп.
қосындысын табыңдар.
Шешуі:
.
Жауабы: .
№19 есеп.
қосындысын есептеңдер, .
Шешуі:
.
Жауабы: .
Аудандық олимпиадада берілген есептер:
Достарыңызбен бөлісу: |
