Тема Векторная алгебра
жүктеу/скачать 2.16 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Определение 1.15.
- Определение 1.16
| Определение 1.14. Матрица
(1.13) называется матрицей перехода от базиса к базису а также матрицей перехода от первого репера ко второму. Так как векторы линейно независимы, то детерминант матрицы отличен от нуля – матрица перехода от одного базиса к другому есть всегда невырожденная матрица. Так как векторы образуют базис, то каждый из векторов в свою очередь однозначно представим как линейная комбинация векторов : (1.14) уравнения (1) однозначно разрешимы относительно старых единичных векторов Формулы (15) выражают старые координаты точки через новые. Определение 1.15. Матрица называется матрицей преобразования координат; она является транспонированной по отношению к матрице перехода от базиса к базису Обе матрицы имеют один и тот же определитель, отличный от нуля. Следовательно, уравнения (2) однозначно решаются относительно по правилу Крамера: Разлагая в этих формулах числители по элементам столбца получаем где Определение 1.16. Пусть матрица – невырожденная матрица. Матрица называется матрицей, обратной к матрице Примеры решения задач Пример 1. Дан векторы Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе. Решение. Дан вектор заданный в базисе Составим матрицу перехода: Три трехмерных вектора образуют базис, если они линейно независимы. Чтобы доказать линейную независимость векторов вычислим определитель матрицы: Так как невырожденная матрица, то существует обратная матрица Тогда координаты вектора в новом базисе равны: Обратная матрица имеет вид: Отсюда Имеем Задания для самостоятельного решения 1. Даны три вектора векторов Найти векторы: 1) 2) (ответ ) 2. В треугольнике проведены медианы и Найти сумму векторов (ответ 0) 3. Векторы и являются диагоналями параллелограмма Выразить через векторы и векторы (ответ ) 4. Представить вектор как линейную комбинацию векторов и (ответ ) 5. При каких значениях и векторы и коллинеарны? (Ответ: ) 6. Написать разложение вектора по векторам по векторам 7. В базисе заданы векторы Показать, что векторы образуют базис и выразить вектор в базисе 8. Представить вектор как линейную комбинацию векторов 9. Даны середины сторон треугольника Найти его вершины. жүктеу/скачать 2.16 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|