Тема Векторная алгебра
Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов
жүктеу/скачать 2.16 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Определение 1.9
- Теорема 1.1.
- Теорема 1.3.
- Следствие 1.
- Теорема 1.4
- Доказательство
| Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.
Пусть – произвольная система геометрических векторов линейного пространства – произвольные действительные числа. Определение 1.9. Вектор называется линейной комбинацией векторов Определение 1.10. Система векторов называется линейно зависимой, если существуют числа не равные нулю одновременно и такие, что Если же это равенство возможно только при то данная система векторов называется линейно независимой. Теорема 1.1. Если в системе геометрических векторов хотя бы один вектор нулевой, то вся система линейно зависима. Теорема 1.2. Если в системе векторов содержится подсистема линейно зависимых векторов, то и вся система векторов линейно зависима. Теорема 1.3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из системы векторов является линейной комбинацией остальных векторов этой системы. Теорема 1.3 позволяет получить условия линейной зависимости векторов в пространствах Следствие 1. Любые два вектора пространства линейно зависимы, или, иначе, любые два коллинеарных вектора линейно зависимы. Доказательство. Если хотя бы один из двух векторов нулевой, то они линейно зависимы согласно теореме 1.1. Если же и то векторы и коллинеарны. Обозначим Тогда если в противном случае имеем а это, согласно теореме 1.3, означает линейную зависимость векторов Верно и обратное утверждение: если два вектора линейно зависимы, то они коллинеарны. Доказательство этого утверждения следует непосредственно из определений линейной зависимости векторов и произведения векторов на число. Теорема 1.4. Два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда существует действительное число такое, что т. е. (1.4) Следствие 2 (из теоремы 1.3). Любые три вектора на плоскости (в пространстве ) линейно зависимы. Иначе, любые три компланарных вектора линейно зависимы. Доказательство. Если хотя бы один из трех векторов нулевой, то в соответствии с теоремой 1.1 они линейно зависимы. Если же все три вектора ненулевые, но два из них коллинеарны и, как следствие, линейно зависимы, то согласно следствию 1 и теореме 1.2 система векторов a, b, c вновь линейно зависима. Рассмотрим теперь случай, когда все векторы ненулевые и среди них нет коллинеарных. Приведем векторы к общему началу – точке плоскости. Проведем через точку прямые, параллельные векторам и а через точку прямые и Получим параллелограмм (рис.10). Тогда Рисунок 1.10 – Параллелограмм Вектор поэтому согласно формуле (3.4) Аналогично: Имеем Последнее равенство означает, что вектор является линейной комбинацией векторов и В соответствии с теоремой 1.3 векторы линейно зависимы. Cправедливо и обратное утверждение: если три вектора линейно зависимы, то они компланарны. жүктеу/скачать 2.16 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|