Тема Векторная алгебра
жүктеу/скачать 2.16 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Теорема 1.6.
- Доказательство.
| Определение 1.11. Максимальная линейно независимая система векторов называется базисом пространства
Любой вектор единственным образом может быть разложен по базису (1.5) Справедливы следующие теоремы. Теорема 1.6. Любой ненулевой вектор образует базис в пространстве Теорема 1.7. Любые два неколлинеарных вектора образуют базис в пространстве Доказательство. Во-первых, отметим, что упорядоченная пара неколлинеарных векторов на плоскости линейно независима: в противном случае ( линейно зависимы) согласно теореме 1.4 они были бы коллинеарны. Докажем теперь, что любой вектор может быть разложен по векторам и что это разложение единственно. Тройка векторов пространства согласно следствию 2 из теоремы 1.3 линейно зависима, т. е. существуют числа такие, что хотя бы одно из них отлично от нуля и (1.6) В (1.6) Действительно, в противном случае мы получили бы равенство из которого следовало бы, что векторы линейно зависимы. Но это противоречит условию теоремы: векторы неколлинеарны. Разделим обе части равенства (1.6) на и преобразуем его к виду Введем обозначения В итоге получим линейную комбинацию (1.7) которая называется разложением вектора по базису а коэффициенты разложения – координатами вектора в этом базисе. Докажем теперь, что разложение вектора по базису определяется однозначно. Допустим, что существует еще одно, отличное от (1.7), разложение вектора по базису причем или Вычитая из равенства (1.7) последнее равенство, получаем откуда, ввиду линейной независимости векторов следует, что т. е. жүктеу/скачать 2.16 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|