Тема Векторная алгебра
жүктеу/скачать 2.16 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Теорема 3.9.
- Доказательство.
- Определение 1.13.
- Решение.
- Формулы преобразования координат вектора.
| Утверждение 1. При сложении двух векторов их координаты (в одном и том же базисе) складываются, т. е.
(1.8) Доказательство. или Утверждение 2. При умножении вектора на число все координаты данного вектора умножаются на это число. Доказтельство. что равносильно равенству (1.9) Теорема 3.9. Для того чтобы ненулевые векторы заданные своими координатами в базисе были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были про0порциональны, т. е. (1.10) Доказательство. Необходимость. Пусть векторы и коллинеарны, т. е. по теореме 1.4 Докажем, что из равенства следуют равенства (1.10). Имеем Отсюда: или (1.11) Необходимость условия (3.10) доказана. Достаточность этого и равносильного ему условия (3.11) очевидна. Действительно, с учетом (3.11) имеем Согласно теореме 3.4 из равенства следует коллинеарность векторов и Определение 1.13. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала. Пусть тогда Тогда (1.12) Примеры решения задач Пример 1. Найти значения параметров и при которых векторы коллинеарны. Решение. Так как то тогда и только тогда, когда выполняются равенства Отсюда Пример 2. Найти координаты вектора и его орт. Решение. Найдем длину вектора Орт вектора равен Формулы преобразования координат вектора. Пусть – «старый» базис, а – «новый» базис. Возникает общая задача преобразования координат: по координатам произвольной точки в одной из двух систем координат найти координаты той же точки в другой системе. Предположим, что оба базиса имеют одно и то же начало Тогда новый базис вполне определен, если заданы векторы своими координатами, т. е. если даны коэффициенты в равенствах жүктеу/скачать 2.16 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|