- Касательная – это прямая с наклоном k, проходящая через точку (0,5; √2/2) , ее уравнение имеет вид q = kh + b . Свободный член b определим из равенства
- так что получаем модель
- Это линейное уравнение, однако модель (3) – нелинейная, поскольку для нее не выполняется,например, свойство умножения на константу. Это легко проверить, сравнив U[2⋅h] и 2⋅U[h] :
- Это линейное уравнение, однако модель (3) – нелинейная, поскольку для нее не выполняется,например, свойство умножения на константу. Это легко проверить, сравнив U[2⋅h] и 2⋅U[h] :
- Принцип суперпозиции также не выполняется.
2.5. Линеаризация уравнений - Для того, чтобы получить из (3) линейную модель, нужно записать уравнения в отклонениях от рабочей точки ( 0 0 h , в которой мы определяли наклон касательной. Из (3) следует, что
- Поскольку график зависимости (3) проходит через точку ( ; ) 0 q , можно применить равенство
- Тогда из (4) находим
2.5. Линеаризация уравнений - Полученное таким образом уравнение – это линейная модель объекта, записанная в отклонениях входа и выхода от номинальной (рабочей) точки ( ; ) 0 0 . Приближенная модель (5) точнее всего соответствует объекту вблизи этой точки, а при больших отклонениях от нее ошибка может значительно возрастать.
- На этом простом примере мы познакомились с основными принципами линеаризации нелинейных алгебраических уравнений. Далее те же самые идеи используются для более сложной модели, которая описывает динамику системы (изменение во времени).
2.5. Линеаризация уравнений - 2.5.2. Дифференциальные уравнения
- Реальные объекты не могут мгновенно изменять свое состояние, поэтому вместо статических моделей типа (2) для их исследования используют динамические модели, которые описываются дифференциальными уравнениями, содержащими производные (скорости изменения сигналов).
- Как мы видели в разделе 2.3, такие модели могут быть получены из физических законов. Во многих случаях более или менее точные модели представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения, поэтому для того, чтобы применить теорию линейных систем, требуется линеаризация.
- При этом применяется почти та же методика, что и для алгебраических уравнений.
Достарыңызбен бөлісу: |
