- Идея линеаризации заключается в том, что в системах регулирования (поддержания заданных значений величин) сигналы мало отклоняются от рабочей точки – некоторого положения равновесия, в котором все сигналы имеют «правильные» значения и их производные равны нулю.
- Поэтому для решения задач управления часто достаточно использовать линейную модель в отклонениях от этой рабочей точки.
- Модель, только что построенная для бака с водой, не совсем правильная, потому что не учитывает, что уровень в баке изменяется – уменьшается по мере вытекания воды. Кроме того, предположим, что для поддержания уровня используется насос, который подкачивает воду в бак, его расход обозначим через Q. Для такого объекта входом является расход Q, а выходом –изменение уровня h.
2.5. Линеаризация уравнений - Предположим, что в течение маленького интервала Δt расходы Q и q можно считать постоянным. За это время объем воды, добавленной в бак насосом, равен Q⋅Δt , а объем «ушедшей» воды – q ⋅ Δt . Учитывая, что площадь сечения бака равна S, получаем изменение уровня:
- Переходя к пределу при Δt →0 , получаем дифференциальное уравнение
2.5. Линеаризация уравнений - Эта модель учитывает, что уровень воды и расходы изменяются во времени. Вспомним, что расход вытекающей жидкости q(t) зависит от уровня воды в баке h(t) и связан с ним нелинейной зависимостью q(t) =α ⋅√ h(t) . Поэтому уравнение можно записать в виде
- Здесь остались только две изменяющиеся величины: расход насоса Q(t) (вход объекта) и уровень воды h(t) (выход). Далее для упрощения записи мы не будем явно указывать зависимость этих сигналов от времени.
Достарыңызбен бөлісу: |
