Теңсіздіктерге Коши-Буняковский әдісін қолданып дәлелдеу
Бұл бөлімде Коши-Буняковский әдісін қолданып дәлелденген теңсіздіктер қаралады.
Коши Буняковский теңсіздігімен таныстыру:
Коши Буняковский теңсіздігі
Бұл теңсіздік арқылы көптеген теңсіздіктерді дәлелдеуде пайдалануға болады.
Мысалдар:
№1. Дәлелдеу керек а²+b²+с²≥14,егер а+2b+3с≥14
Дәлелдеуі: сандар үшін жалпы теңсіздік Коши-Буняковский теңсіздігі деп аталады.Бұл теңсіздік ≥ Бұдан
(а²+b²+с²)(1²+2²+3²)≥(а+2b+3с)²≥14²,бұдан а²+b²+с²≥14.
№2. Дәлелдеу керек ≤ ,бұл жерде а,б,с-кез келген үшбұрыштың қабырғалары.
Дәлелдеуі:
= .
№3. Дәлелдеу керек sinαsinβ+cosα+cosβ≤2.
Дәлелдеуі: sinαsinβ+1*cosα+1*cosβ≤
№4. Кез келген а , b ,с > 0 үшін дәлелде:
(a²+2)(b²+ 2)(c²+2) ≥ 9(ab + bc + ac)
Дәлелдеуі: Векторлар қарастырайық:
А = (a , , 0) , B = (b, – 1/ , ) ,C = (c , – 1/ , ) .
Осыдан ׀А׀ = , ׀B׀ = , ׀C׀ = екені шығады. Әрі қарай осы векторлардан құралған параллелепипедтің көлемі
ең үлкен мәнге ие болады.Бір жағынан алып қарасақ үшеуінің скаляр көбейтіндісіне тең: А*( B*C) = (a , , 0)*
* =(a, ,0)( ,(b + c) )=
= a + (b + c) = (a + b + c) . Солай (a²+2)(b²+ 2)(c²+2) ≥
≥ 3(a + b + c)² = 3(a² + b² + c²) + 6(ab + bc + ac).
(a – b) ² + (b – c) ² + ( c – a) ² ≥ 0 теңсіздігінен a² + b² + c² ≥ ab + bc + ac (a²+2)(b²+ 2)(c²+2) ≥ 3(ab + bc + ac) + 6(ab + bc + ac) =9(ab + bc + ac).
Жаңадан құрастырылған есептерді геометриялық әдістермен дәлелдеу.
№1. Дәлелдеу керек:
(a – b)2 ≥ (a – c)( c – b)
Достарыңызбен бөлісу: |
