Кернеулік күй. Координатаның қисықсызықты жүйесі

- үдеу векторының компоненті;

- массалық күштердің қалындық векторының компоненттері;

- сәйкес координатаға ковариантты туынды.

мұндағы - кернеу векторының физикалық компоненті және ол осіндегі нормальды ауданның кернеу векторының прекциясына тең.

Есеп:

1. цилиндрлік координата жүйесіндегі нүктесінің ,, координаттарымен

Сілтеу және шешімі:

Физикалық компоненттер (9.6) өрнекпен анықталынады. цилиндрлік координата жүйесіндегідей, мысалы , мұндағы - аудандағы нормальмен бағыттағы кернеу векторның прекциясы. Көп жағдайда физикалық компоненттер осіне сәйкес келетін индексімен белгіленеді.

2. Нүктенің , , координаттары бар сфералық координатасында орналасқан (9.7) тензорының физикалық мағынасын анықтау қажет.

3. Цилиндрлік координата жүйесіндегі тепе-теңдік теңсіздігін жазу. Массалық күштерді ескермеу керек.

Шешімге сілтеме: тепе-теңдік теңдеуі массалық күштердің болмау себебінен келесі түрде болады

немесе
(9.8)

4. (9.8) өрнегін физикалық компонентпен цилиндрлік координата жүйесінде жазу қажет.

5. Тепе-теңдік теңсіздігін тензорлы және физикалық компонентпен сфералық координата жүйесінде жазу қажет.

10 Кернеудің қарапайым түрлері
Тұтас орта мехникасының тапсырмаларын орындаған уақытта кернеу тензорының компоненттері координатаның белгісіз функциялары болып табылады және олар математикалық тұрғыдан күрделі болып табылатын шектік есептермен анықталынады. Физикалық ойлардың нәтижесінен кең тараған және көптеген практикалық шешімі бар тапсырмаларды көрсетуге болады, оларды шешуде тәуелсіз айнымалылар санын және ізделінетін функциялар санын азайтуға болады. Көптеген жағдайларда бұл соңғы нәтижені табуға мүмкіндік береді. цилиндрлік координата жүйесін енгіземіз. Егер тензор компоненттері бұрышына тәуелсіз кернеуленген болса, онда тензор келесі түрге ие болады
(10.1)
осындай кернеулік күй осесимметрикалық деп аталады. бұрышынан тәуелсіз ішкі жүктің әсерінен айналатын денелерде пайда болады.

, , ортогональді декартты жүйе болсын. Егер тензордың компоненттері кернеуленген және координатасынан тәуелсіз болса, тензор келесі түрге ие болады

(10.2)

Осындай кернеуленген күй жазық деп аталынып, ішкі жүктемелерінің векторлары бір жазықтықта орналасқан пластиналарда пайда болады.

Жазық кернеуленген күйдің көп кездесетін жағдайы, басты осьтердегі тензор кернеуі төмендегі күйде болатын болса
(10.3)
таза жылжу деп аталынады.

Егер кернеулік тензор басты осьте орналасқан болса

Осындай кернеулік күй созылмалы (қысылумен) деп аталынады. Ол ішкі күштер өзек бойымен әсер еткен уақытта өзекті конструкцияларда қалыптасады.

1. Осесимметрикалық кернеуленген күйдегі физикалық компоненттердегі тепе-теңдіктің дифференциалды теңсіздігін жазу қажет. Массалық күштерді ескермеу қажет.

2 жазық кернеуленген күйдегі тепе-теңдік теңсіздігін жазу қажет.

3. Бас кернеуді және жазық кернеуленген күйдегі бас бағытты табудағы қолданылатын өрнекті алу қажет.

4. және - нормалі бар жазық кернеуленген күйдегі ауданның жанама және нормаль кернеулері болсын (;;). Нүктенің -дан тәуелділігі және координаттары және жазықтығында шеңберді сипаттайтынын көрсету қажет. Бұл шеңбер Мор шеңбері деп аталынады. Мор шеңбері нүктедегі жанама және нормаль кернеулердің орналасуын көрсетуге мүмкіндік береді.

Шешімге сілтеу. ; екені белгілі, мұндағы --ге перпендикуляр бірлік векторының компоненті. Осы жағдайда ; ;.

5. Максимал жанама кернеулер (10.3) таза жылжуда -ға тең екенін көрсету.

Егер шешілетін аймақтың шеткі шектері болатын болса, онда нәтижені алу үшін алғашқы шарттармен қоса дене шегіндегі шарттарды ескеру қажет. Бұл шарттар қырлы немесе шектік шарттар деп аталынады.

Шектік шарттардың кейбір жағдайларын қарастырайық.

Берілген типті ілдірікке деформацияланаған денені бекіткен уақытта, деформацияланған ортаға немесе берілген формадағы қатты денеден сұйықтың ағуы кезінде ішкі денелерді енгізу уақытында және де көптеген жағдайларда жылдамдық пен орын ауыстыру шектерінде жабысу шарттары жазылады. бетінде келесі шарттар орындалады: ,. Серпімді дене үшін газ және сұйықтағы жылдамдық қозғалыс теориясы басты орын алады. Көптеген тапсырмаларда шегі немесе оның бір бөлігі қатты денелермен шектелменген, сондықтан беттік аудандарда беттік күштердің тығыздығы пайда болуы мүмкін. Осындай шарттар инженерлік есептерде көптеп кездеседі. Осы типті шарттар -гі кернеуімен жазылуы мүмкін. Көптеген жағдайларда тапсырмаларды аралас шектік шарттарымен шешу қажеттілігі туады, онда орта берілген шарттармен бекітілген ішкі қозғалмайтын қабаттармен шектелген, ал бөліктер - бос беттермен. Егер қарастырылынатын аймақ шексіздікті құраса, онда қосымша шарттарды енгізу қажет. Көптеген жағдайларда осындай шарттарды орындағанда, зерттелінетін құбылыс ауытқуларды сипаттайды және оны шексіздікке көшірген уақытта ортаның қозғалысы мен күйі беріледі.

Тапсырма.

1. 
   Судың қысымына ұшыраған үшбұрышты плотина үшін
   

Берілген беттегі шартқа негізделініп , , , тұрақты шамаларын анықтау қажет.

2. 
   Пластинаға ені және тұрақты жылдамдығы болатын штамп басылады. Жазық кернеулік күйдің шартына негізделінген штамптың бекітілінген жылдамдығындағы шектік шаттарды жазу қажет.
   

1. 
   Ершин Ш. А., Шерьязданов Г. Б. Введение в механику сплошной среды: Учебное пособие. – Алматы. : Қазақ университеті, 2003. – 109 с.
   
2. 
   Жермен П. Курс механики сплошных сред. - М. Мир, 1974. – 318 с.
   
3. 
   Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. – М. : Изд-во Моск. ун-та, 1978. – 287 с.
   
4. 
   Ильюшин А. А., Ломакин В. А., Шмаков А. П. Задачи и упражнения по механике сплошной среды. – М. : Изд-во Моск. ун-та, 1979. – 200 с.
   
5. 
   Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. - М. : Мир, 1974. – 318 с.
   
6. 
   Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т.1. - М. : Наука, 1976. – 576 с.
   
7. 
   Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т.2. - М. : Наука, 1976. – 536 с.
   
8. 
   Седов Л. И. Введение в механику сплошной среды. – М. : Физматгиз, 1962. – 284 с.
   
9. 
   Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Физика сплошных сред. Т.7. - М. :Мир», 1977. – 308 с.
   
10. 
    Чертов А. Г., Воробьев А. А. Задачник по физике. - М. : Высшая школа, 1981. – 526 с.