Microsoft Office Power Point, Excel

Microsoft Office Power Point, Excel.

1. 
   http://www.math.ru
   
2. 
   http://www.edu.ru
   
3. 
   http://www.exponenta.ru
   
4. 
   http://www.problems.ru
   
5. 
   http://www.bymath.net
   
6. 
   http://www.mathem.h1.ru
   
7. 
   http://www.allmath.ru
   

ПК, проектор, экран.

Аудиторная работа включает: лекции, практические занятия, самостоятельную работу.

Материал дисциплины излагается на лекциях, но некоторые вопросы студентами изучаются самостоятельно. Лекция – учебное занятие, составляющее основу теоретического обучения и дающее систематизированные научные знания по дисциплине, раскрывающее состояние и перспективы развития соответствующей области науки и техники, концентрирующее внимание обучающихся на её наиболее значимых (сложных) вопросах.

Лекции имеют проблемный характер, в ходе которых происходит изложение основных математических методов и показывается их применение для обработки и исследования информации. На лекциях преподаватель дает теоретические основы, примеры, показывает основное направления для подготовки к зачету. Посещение лекций, а также ведение конспектов лекций (фиксирование основных положений, свободное изложение и т.п.) и их проверка являются обязательными. Необходимо показывать приемы успешной работы с текстом лекции: использование кратких общепринятых символов, совращений, правильная обработка текста, исправление неточностей и внесение дополнительных сведений.

Темы практических занятий соответствуют теме прочтенной лекции, поэтому в учебном процессе они следуют за лекциями. В начале практических занятий рекомендовано проведение небольшой самостоятельной работы, математического диктанта по знанию основных определений, теоретических фактов, формул, необходимых на данном занятии. Нужно учитывать не только оценочно-контрольную функцию занятия, осуществляя систематический контроль за успеваемостью (рейтингом) студентов, но и воспитательную, требуя от обучающихся дисциплинированности, активности, трудолюбия.

Большое значение имеет и самостоятельная деятельность студентов, формы которой необходимо продумать заранее и нацеливать на ее выполнение с первых занятий.

- самостоятельное изучение части теоретического материала и теоретическая подготовка к практическим занятиям по предложенной в УМК основной и дополнительной учебной литературе. Для помощи студентам рекомендованная литература указана к каждому занятию, как лекционному, так и практическому. Средствами обучения является не только базовый учебник, но и дополнительные пособия для организации самостоятельной работы студентов, демонстрационные материалы, компьютерные обучающие программы, сборники задач;

- домашние работы, для выполнения которых студенты имеют специальные тетради, проверяемые к каждому занятию. Результаты выполнения домашнего задания оцениваются баллами в технологической карте и учитываются при аттестации студентов.

- выполнение других заданий, которые представлены в программе и технологической карте.

Дисциплина завершается контрольной работой.

1. 
   Цели освоения дисциплины (модуля): формирование систематизированных знаний в области теории вероятностей, ее месте и роли в системе математических наук, использование в естественных науках.
   

Дисциплина «Теория вероятностей» относится к дисциплинам по выбору вариативной части учебного цикла – Б2 Математический и естественнонаучный цикл (Б2.ДВ3). Она характеризуется содержательными связями с дисциплиной «Математика». Изучение теории вероятностей следует за изучением математики.

Для изучения теории вероятностей необходимы знания из некоторых разделов геометрии и математического анализа, например: «Введение в математический анализ», «Теория пределов», «Теория функции нескольких переменных», «Дифференциальное исчисление для функции одной и нескольких переменных», «Интегральное исчисление для функции одной и нескольких переменных», «Ряды», «Аналитическая геометрия». Обучающийся должен знать основные элементарные функции и их свойства, понятия производной, неопределенного и определенного интегралов, геометрические фигуры на плоскости, тела в пространстве, должен уметь дифференцировать, интегрировать функции, исследовать функции с помощью производной, находить сумму числового ряда, разлагать функцию в степенной ряд, уметь находить площади фигур, объемы тел.

3. Требования к результатам освоения содержания дисциплины

3.1. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих общекультурных компетенций:

- наличием целостного представления о картине мира, ее научных основах (ОК-14);

- владением культурой мышления, знанием его общих законов, способностью в письменной и устной речи правильно (логически) оформить его результаты (ОК-18);

- владением системой эвристических методов и приемов (ОК-29).

3.2. В результате изучения обучающийся должен:

знать:

- основные понятия и методы теории вероятностей;

- различные подходы к определению вероятности (классический, аксиоматический, геометрический, статистический);

- различные методы нахождения вероятности;

- прикладной характер дисциплины;

уметь:

- использовать математический аппарат при изучении и количественном описании реальных случайных явлений и процессов;

- использовать точные и приближенные формулы теории вероятностей при решении конкретных задач;

- проводить исследование основных понятий, вычислять вероятности, числовые характеристики;

- доказывать основные свойства и теоремы теории вероятностей;

- решать задачи, относящиеся к этому курсу;

- распознавания в реальной ситуации вероятностных черт;

- в принятии правильных решений в сложившейся ситуации¸ применяя методы теории вероятностей.

4. Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы.

5. Разработчики: доцент Т.И. Кушнир

Приложение №1

Лекционный курс по дисциплине «Теория вероятностей» (тезисы лекций)
Раздел 1. Введение в теорию вероятностей.

Тема 1. Основные понятия теории вероятностей. Классическое определение вероятности.

- Случайное событие, примеры случайных событий;

- Достоверное событие, примеры;

- Невозможное событие, примеры;

- Противоположное событие, примеры;

- Несовместные события, примеры;

- Полная группа событий, примеры;

- Классическое определение вероятности события, примеры;

- Замечание о том, что вероятность события p(A) удовлетворяет неравенству: .

Литература:

[2], [3, c. 13-32], [4, c. 8-37], [5].

- Теорема сложения вероятностей с доказательством;

- Следствия из теоремы сложения;

- Понятие условной вероятности, примеры;

- Теорема умножения вероятностей с доказательством;

- Понятие независимых событий, примеры;

- Теорема умножения вероятностей независимых событий;

- Расширенная теорема сложения;

- Вывод формулы полной вероятности, пример;

- Вывод формулы переоценки гипотез (формулы Байеса), пример. Литература:

[2], [3, c. 32-73], [4, c. 37-45], [5].
Раздел 3. Повторение испытаний. Схема Бернулли.

Тема 3. Повторение испытаний. Схема Бернулли.

- Вывод формулы Бернулли, пример;

- Вывод формулы для вычисления наиболее вероятного числа успехов;

- Обобщение схемы Бернулли, пример;

- Задача о безвозвратной выборке.

Литература:

[2], [4, c. 47-50], [5].

- Локальная теорема Муавра-Лапласа, пример;

- Функция плотности вероятности нормального распределения, ее свойства;

- Нормальная функция распределения (функция Лапласа), ее свойства;

- Теорема Пуассона, пример;

- Интегральная теорема Муавра-Лапласа, пример.

[2], [4, c. 51-60], [5].

- Понятие дискретной случайной величины, примеры и способы задания;

- Понятие непрерывной случайной величины, примеры;

- Функция распределения случайной величины, ее свойства;

- Особенности функции распределения для дискретной случайной величины, пример ее нахождения;

- Плотность вероятности случайной величины, пример;

- Основные примеры дискретных и непрерывных распределений (равномерное, биномиальное, нормальное, Пуассона).

Литература:

[2], [3, c. 73-95, 117-138], [4, c. 60-72], [5].

- Понятие математического ожидания для дискретной и непрерывной случайных величин, примеры;

- Свойства математического ожидания;

- Математические ожидания основных случайных величин, рассмотренных в разделе 5;

- Понятие дисперсии для дискретной и непрерывной случайных величин, примеры;

- Упрощенный способ вычисления дисперсии, пример;

- Свойства дисперсии;

- Дисперсия основных случайных величин, рассмотренных в разделе 5;

- Понятие среднего квадратического отклонения;

- Понятие энтропии дискретного распределения..

[2], [3, c. 96-116, 117-138], [4, c. 73-103], [5].

Большая часть занятий (4 из 9) посвящены методам нахождения вероятности происхождения события. Обучающимся необходимо знать все определения вероятности и применять соответствующее в конкретной ситуации, в частности классическое определение и геометрическое. При применении классического определения нужно помнить, что благоприятное и общее число успехов можно находить по-разному, например, непосредственным подбором, с помощью комбинаторных формул или, используя формулы из теории чисел. При применении геометрического определения нужно вспомнить формулы вычисления длины отрезка, площадей плоских фигур, объемов тел. Обучающимся нужно обратить внимание на вычисление вероятности того, что событие произойдет хотя бы один раз. Быстрее эту вероятность вычислить, если вспомнить, что вероятности противоположных событий в сумме составляют единицу. Обучающимся нужно помнить, что вероятность не всегда можно вычислить с помощью точных формул и, соответственно, уметь правильно подбирать асимптотические формулы.

Два занятия посвящены одномерным случайным величинам. Обучающиеся должны отличать дискретную случайную величину от непрерывной, следовательно понимать, что ДСВ можно задать с помощью таблицы и также можно указать функцию распределения, а НСВ только с помощью функции распределения и, соответственно, плотности вероятности. Обучающиеся должны четко различать дифференциальный и интегральный законы распределения.

Занятие посвящено многомерным случайным величинам, для вычисления плотности вероятности, числовых характеристик придется вычислять двойные интегралы, поэтому студенты должны знать таблицу интегралов, основные способы интегрирования: метод замены переменной и интегрирования по частям.

План.

2. Повторение теоретического материала: классическое определение вероятности; основные формулы комбинаторики - по необходимости законспектировать;

3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории вероятностей [1]: № 52, 55, 58, 59, 63, 64, 71, 134, 135, 136, 141, 142, 144.

4. Постановка домашнего задания:

- повторить теоремы сложения, умножения вероятностей, применение формулы полной вероятности и формулы Байеса.

- выполнить задания из [1]: № 53, 54, 65, 73, 102, 104, 107, 115, 137, 143, 149.

План.

2. Повторение теоретического материала: теоремы сложения, умножения вероятностей, следствия из них, независимые события, формула полной вероятности, формула Байеса;

3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории вероятностей [1]: № 169, 172, 173, 175, 176, 196, 200, 205, 211, 217.

4. Постановка домашнего задания:

- повторить формулу Бернулли, ее обобщение и задачу о безвозвратной выборке;

- выполнить задания из [1]: № 170, 174, 177, 178, 197, 201, 203, 225, 226, 230.

План.

2. Повторение теоретического материала: формула Бернулли, ее обобщение и задача о безвозвратной выборке;

3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории вероятностей [1]: № 231, 233, 234, 235, 237, 239, 240;

4. Постановка домашнего задания:

- повторить асимптотические формулы для вычисления вероятности;

- выполнить задания из [1]: № 232, 236, 238, 241, 242.

План.

2. Повторение теоретического материала: локальная теорема Муавра-Лапласа, функция плотности вероятности нормального распределения, ее свойства; нормальная функция распределения (функция Лапласа), ее свойства; теорема Пуассона, интегральная теорема Муавра-Лапласа.

3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории вероятностей [1]: № 290, 291, 296, 300, 304, 306.

4. Постановка домашнего задания:

- подготовиться к контрольной работе: повторить предыдущие темы, вспомнить на все известные способы подсчета вероятности события;

- выполнить задания из [1]: № 292, 295, 197, 301, 303.

План.

2. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории вероятностей [1]: № 353, 355, 365, 372, 373, 380.

3. Постановка домашнего задания:

- повторить числовые характеристики случайной величины - математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, их вычисление и свойства;

- выполнить задания из [1]: № 354, 357, 362, 364, 374, 377.

Практическое занятие №7. Случайная величина и ее числовые характеристики.

План.

2. Повторение теоретического материала: числовые характеристики случайной величины - математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, их вычисление и свойства;

3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории вероятностей [1]: № 444 (1, 3), 445 (1), 446 (а), 478 (1, 3).

4. Постановка домашнего задания:

- повторить материал по многомерным случайным величинам и их числовым характеристикам;

- выполнить задания из [1]: № 444 (2, 4), 445 (2), 446 (б), 478 (2, 4).

Самостоятельное изучение и конспектирование по теме: «Разные определения вероятности (геометрическое, аксиоматическое, статистическое)».

Необходимо самостоятельно изучить и законспектировать данный вопрос по следующей схеме:

1) Аксиоматическое определение вероятности

Обязательно указать, что вероятностью называется функция р(А), определенная на алгебре событий S, принимающая действительные значения и удовлетворяющая аксиомам: неотрицательности, нормированности, аддитивности. Указать что такое вероятностное пространство.

2) Геометрическое определение вероятности

Обязательно сформулировать понятие вероятности с геометрической точки зрения и привести 2-3 примера на вычисление вероятности с помощью данной формулы. Обратить внимание на построение графиков функций, на нахождение благоприятной и общей областей на плоскости, либо в пространстве.

3) Статистическое определение вероятности

Начать изложение с понятия относительная частота события и ее свойства. Обязательно сформулировать понятие вероятности со статистической точки зрения и привести 2-3 примера на вычисление вероятности с помощью данной формулы.

Можно воспользоваться любым источником из списка основной или дополнительной литературы.

Самостоятельное изучение и конспектирование темы: «Законы распределения случайных величин (закон Коши, закон арксинуса)».

Необходимо самостоятельно изучить и законспектировать данный вопрос по следующей схеме:

1) Закон Коши: указать для какой случайной величины этот закон, чем характеризуется, каким образом задан (обязательно вычислить константу А, найти функцию распределения).

2) Закон арксинуса: указать для какой случайной величины этот закон, чем характеризуется, каким образом задан (обязательно вычислить константу А, найти функцию распределения).

Можно воспользоваться любым источником из списка основной или дополнительной литературы.

Самостоятельное изучение темы: «Вычисление числовых характеристик случайных величин, распределенных по закону Коши и закону арксинуса».

Необходимо законспектировать, либо вычислить самостоятельно основные числовые характеристики для случайных величин, распределенных по закону Коши и закону арксинуса.

Раздел 7. Многомерные случайные величины.

Конспект по теме: «Теоремы о математическом ожидании и дисперсии случайных величин».

Изучить и законспектировать теоремы о математическом ожидании и дисперсии случайных величин:

1) Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий: М(X+Y)=M(X)+M(Y);

2) Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий, сложенному с их корреляционным моментом;

3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: М(XY)=M(X)M(Y);

4) Дисперсия суммы двух случайных величин равно сумме дисперсий слагаемых: D(X+Y)=D(X)+D(Y).

Можно воспользоваться любым источником из списка основной или дополнительной литературы.

1) Охотники Александр, Виктор и Павел попадают в летящую утку с вероятностями, соответственно равными 2/3, ¾, 1/4. Все одновременно стреляют по пролетающей утке. Какова вероятность того, что утка будет подбита?

2) Вероятность попадания в цель равна 0,003. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы с вероятностью, большей 0,94, можно было утверждать, что цель будет поражена?

3) Какова вероятность того, что два носка, взятые наудачу из ящика, содержащего шесть красных и три синих носка, будут одного цвета?

4) 30 % изделий предприятия – продукция высшего сорта. Некто приобрел 6 изделий. Чему равна вероятность того, что 4 изделия из них высшего сорта?

5) Учебник издан тиражом 10000 экземпляров. Вероятность того, что экземпляр учебника сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найдите вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракованных книг.

1. Заданы множества С={1, 2, 3} и D={1, 2}. Неверным для них будет утверждение:

3. 
   множества С и D равны
   
4. 
   множество С конечно
   

D. множество D есть подмножеством множества С.

2. Пересечением множеств А={а, b, с, d, e, f} и В={b, g, f} является множество:

А. {a, c, d, e} В. {b, f} С. {a, b, c, d, e, f} D. {a, b, c, d, e, g, f}

3. Высказывание А: «Одной из характеристик процессора является его частота»; высказывание В: «Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам». Дизъюнкцией этих высказываний (АВ) является предложение:

А. Одной из характеристик процессора является его частота и диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.

В. Одной из характеристик процессора является его частота тогда и только тогда, когда диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.

С. Одной из характеристик процессора является его частота или диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.

D. Если Одной из характеристик процессора является его частота, то диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.

4. На факультете учатся студенты, обучающиеся платно и студенты, обучающиеся бесплатно. Пусть А множество всех студентов факультета; В множество всех студентов факультета, обучающихся платно. Тогда пересечением этих множеств будет:

А. Множество студентов факультета, обучающихся бесплатно.

В. Множество студентов факультета, обучающихся платно.

С. Множество всех студентов факультета.

D. Пустое множество.

7. Высказывание А – ложно, высказывание В – истинно. Истинным является высказывание:

А. АВ В. ВА С. АВ D. АВ

5. Некий спортсмен выиграет чемпионат Европы с вероятностью 0,9, а чемпионат мира – с вероятностью 0,8. Вероятность выиграть оба чемпионата равна:

А. 1,7 В. 0,72 С. 0,8 D. 0,85

6. Средним арифметическим чисел 1, 3, 4, 5, 7 является число:

А. 2 В. 3 С. 4 D. 10

7. Игральный кубик бросают один раз. Вероятность того, что на верхней грани выпадет число очков, кратное трем равна

А. В. С. D.

8. Средняя выборочная вариационного ряда 1, 2, 5, 5, 5 равна: А. 6 В. 3,6 С. 3,1 D. 5

9. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения вероятностей

А. 1,3 В. 1 С. 1,7 D. 3

10. Количество перестановок в слове «центр» равно: А. 5 В. 120 С. 24 D. 100
Тестовые задания для итогового контроля

Задание 1.

Пусть А.и В – множества, изображенные на рисунке.

Тогда пересечением этих множеств является…

1. 
   А.
   
2. 
   А / В
   
3. 
   В
   
4. 
   
   

Заданы множества А = {1, 2, 3, 4, 5} и В = {1, 2, 3} тогда для них верным утверждением будет...

1) «Множества А и В равны».

2) «Множества А и В не имеют общих элементов».

3) «Множество А включает в себя множество В».

4) «Множество А есть подмножество множества В».

Задание 3.

Пусть множества: М = (0; 4) – представляет собой интервал и N = (0; 4) – отрезок числовой оси, тогда множество К = М  N как числовой промежуток будет равно…

1. 
   К = [0; 4]
   
2. 
   К = (0; 4]
   
3. 
   K = [0; 4)
   
4. 
   К = (0; 4)
   

Если А есть множество нечетных натуральных чисел, а В {1; 2: 3; 4: 5; б; 7} , то количество элементов множества А  В равно…

Задание 5.

Истинными высказываниями являются...

Количество перестановок букв в слове «центр» равно…

1. 
   5; 2) 120; 3) 24; 4) 100.
   

В слове «WORD» меняют местами буквы. Тогда количество всех возможных различных «слов» равно…

1) 8;

2) 16;

4) 24.

Сколько различных двузначных чисел можно составить из четырех цифр 1, 2, 3, 4, если все цифры в числе различны?

1. 
   6;
   
2. 
   24;
   
3. 
   12;
   
4. 
   4.
   

Количество различных способов выбора (порядок не имеет значения) 2 томов из 12-томного собрания сочинений Л.Н. Толстого равно…

1. 
   2;
   
2. 
   24;
   
3. 
   132;
   
4. 
   66
   

Вероятность наступления некоторого события не может быть равна…

1. 
   1;
   
2. 
   0;
   
3. 
   4;
   
4. 
   0,4.
   

Вероятность наступления некоторого события не может быть равна…

1. 
   0,4;
   
2. 
   1;
   
3. 
   0,6;
   
4. 
   1,6.
   

В урне находятся 6 шаров: 3 белых и 3 черных. Событие А – «Вынули белый шар». Событие В – «Вынули черный шар». Опыт состоит в выборе только одного шара. Тогда для этих событий неверным будет утверждение:

1) «События А и В несовместимы».

2) «Вероятность события В равна 1/2».

3) «Событие А невозможно».

4) «События А и В равновероятны».

Задание 13.

Расположите случайные события в порядке возрастания их вероятностей:

Задание 14. В результате 10 опытов получена следующая выборка: 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6. Найти закон ее распределения.

Задание 15. Для вариационного ряда 1, 2, 5, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 1 вычислить:

1) Выборочное среднее 2) Выборочную дисперсию 3) Выборочное среднее квадратическое отклонение

Понятие	Определение
Высказывание	любое повествовательное предложение, относительно которого известно, что оно либо истинно, либо ложно
Вероятность события А	отношение числа случаев благоприятствующих появлению события А (т.е. m), к общему числу всех исходов n: .
Достоверное событие	событие, всегда происходящее в результате некоторого опыта
Невозможное событие	событие, заведомо никогда не происходящее
Несовместные события	события, одновременно не происходящие в результате некоторого опыта.
Независимые события	события, для которых происхождение или непроисхождение одного из них не влияет на происхождение или непроисхождение другого.
Случайное событие	любое явление, которое может произойти или не произойти