Учебное пособие Барнаул 2008 (075. 8)
жүктеу/скачать 3.38 Mb.
|
| m подставив в формулу t ( P0 ; f ) при
f = m − 1 вместо t ( P0 ; f 0 ) по формуле m = t 2 ( P0 ; f ) S 2 ( y R 0 ) / ε 2 ( y ) t ( P0 ; f 1 ) при f1 = m1 − 1 и т.д. (8.16) Можно провести дальнейшее уточнение, заменив t ( P0 ; f ) на 71 8.2 Разработка математико-статистических моделей 8.2.1 Планирование и обработка результатов однофакторных экспериментов Влияние какого-либо фактора на выход процесса может быть выражено зависимостью y = f ( x ) . Если конкретному значению xu соответствует единственное значение y u , то такая зависимость называется функциональной. Между двумя случайными величинами может существовать так называемая стохастическая связь, при которой с изменением одной величины меняются параметры распределения другой. К формализации экспериментальных данных, т.е. к построению по ним описывающей процесс зависимости, исследователь прибегает, когда не может составить эвристическую (детерминированную) математическую модель процесса на основе рассмотрения явлений переноса или баланса различных величин из-за недостаточного понимания механизма процессов или их чрезмерной сложности. Полученная в результате формализации экспериментальных данных эмпирическая математическая модель имеет меньшую ценность, чем отражающая механизм процесса эвристическая математическая модель, которая может предсказывать поведение объекта за пределами изученного диапазона изменение переменных. Приступая к эксперименту с целью получения эмпирической математическоймодели,исследовательдолженопределить необходимый объем опытных данных с учетом числа принятых к исследованиюфакторов,воспроизводимостипроцесса, предполагаемой структуры модели и обеспечения возможности проверки адекватности уравнения. Если по двум точкам получено линейное однофакторное уравнение y = b0 + b1 x1 , то построенная по этому уравнению прямая обязательно пройдет через эти экспериментальные точки. Следовательно, чтобы проверить, насколько хорошо эта зависимость описывает процесс, надо поставить опыт хотя бы еще в одной точке. Этот дополнительный опыт дает одну степень свободы, необходимую для обеспечения корректности процедуры проверки адекватности уравнения. Однако, проверку проводят не по одной дополнительной точке, которая не участвовала в определении коэффициентов уравнения, а по всем экспериментальным точкам, число которых ( N ) 72 должно превышать число коэффициентов уравнения ( N ′ ). Так как N > N ′ решение такой системы требует специального подхода. Вычислительнаяпроцедурадолжнаосновыватьсяна использованиивсехэкспериментальныхданных.Алгоритм нахождения неизвестных коэффициентов уравнения в такой задаче можно построить, если базироваться на признании вероятностной природы экспериментальных данных. Ошибка в предсказании по найденному уравнению результата u- го опыта характеризуется величиной невязки по формуле ˆ∆ u = yu − yu , (8.17) ˆгде y u – предсказанное значение выхода процесса; y u - полученное в u-м опыте значение выхода процесса. Произведение плотностей вероятности появления невязок, вычисленных для каждого из N опытов эксперимента, называется функцией правдоподобия. Чем больше величина функции правдоподобия, тем более точно уравнение описывает экспериментальные данные. Совокупность коэффициентов уравнения, которая максимизирует функциюправдоподобия,будетудовлетворятьусловиям максимального правдоподобия, будет наилучшей из всех других совокупностей при заданной структуре уравнения. Функция правдоподобия достигнет максимума при минимизации суммы квадратов невязок ( ∑∆ u =1 N 2 u ). Следовательно, минимизация суммы квадратов невязок и будет условием получения максимально правдоподобныхоценоккоэффициентоваппроксимирующего уравнения при нормальном законе распределения вероятности результата процесса y yR . Реализация этого условия при получении оценок коэффициентов уравнения названа методом наименьших квадратов (правильнее было бы назвать этот метод методом наименьшей суммы квадратов невязок). Метод наименьших квадратов дает оценки коэффициентов аппроксимирующей зависимости, обладающие рядом оптимальных свойств независимо от закона распределения случайной величины. Таким образом, данный метод может применяться и в тех случаях, 73 когда исследователь не может на данном этапе исследований доказать нормальность закона распределения. Метод наименьших квадратов позволяет сгладить влияние случайных причин на экспериментальные данные и получить математическую модель процесса в виде полинома той или иной степени. Но, очень часто, характер экспериментальных данных во многих случаях не дает возможности успешно применить полиноминальную модель. Однако, многие виды зависимостей могут быть приведены к полиноминальной структуре логарифмированием или заменой переменных. План однофакторного эксперимента, составленный с учетом выполнения условия центра ∑x u =1 N u =0, будет симметричным относительно переменная эксперимента, т.е. xu , будет иметь как положительное, так и отрицательное значение. Этот план дает возможность независимым образом определить коэффициенты линейного уравнения, т.е. будет ортогональным относительно коэффициентовлинейногоуравнения.Симметричныйплан предусматривает равномерное изменение исследуемого фактора от опыта к опыту по формуле C( u +1) − Cu = λ = const, (8.18) где C u - значение фактора в u-м опыте в натуральной размерности; C ( u +1) - то-же для последующего опыта; λ - интервал варьирования фактора; данная величина должна обеспечивать значимое различие результатов процесса в соседних опытах плана. Если представить значение фактора в безразмерном выражении xu и за точку отсчета принять C 0 , то связь между xu и C u будет определяться следующим соотношением xu = ( C u - C 0 ) / λ, фактора), определяемый по формуле (8.19) где C 0 – центр эксперимента (середина диапазона изменения 74 1 N C 0 = ∑ Cu . N u =1 (8.20) Такимпреобразованиемпеременнойдостигается симметричность плана и его ортогональность в отношении коэффициентов линейного уравнения. Обозначим определенные числовые значения знаменателей выражений для определениеj -х коэффициентов уравнения, зависящие от числа опытов N и степени полинома r , как l j . Множители – a ju , результаты опытов yu . В общем виде единая формула для расчета любых коэффициентов аппроксимирующей зависимости имеет вид j -х b j = u =1 ∑a lj N ju yu . (8.21) Значения a ju и l j для различного числа опытов N и различных степеней полиномов r приведены в специальных таблицах. Чтобы пользоваться данными таблицами, необходимо обеспечить mu =const для каждого опыта. Если в каком либо опыте забракован тот или иной результат, то следует поставить еще одну повторность этого опыта, обеспечив mu =const. Адекватность (соответствие) уравнения данным можно проверить по критерию Фишера 2S ад F= 2, S ( y) экспериментальным (8.22) где S ад - дисперсия неадекватности, характеризует точность описания экспериментальных данных полученным уравнением; 2 S 2 ( y ) - средневзвешенная дисперсия воспроизводимости среднего результата. 75 S = где 2 ад ˆ ∑ (y N u =1 u − yu ) 2 N − N ′ - число степеней свободы при определении дисперсии неадекватности ( N - число эксперимен- тальных точек, N ′ - число значимых коэффициен- тов аппроксимирующей зависимости) N > жүктеу/скачать 3.38 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|