Урок Непрерывность обратных функций План урока



Дата10.07.2016
өлшемі260.46 Kb.
#189854
түріУрок
(11 класс, модуль III, урок 4)
Урок 4. Непрерывность обратных функций
План урока
4.1. Множество значений непрерывной функции

 4.2. Теорема о нуле непрерывной функции

 4.3. Достаточное условие непрерывности для монотонной функции

 4.4. Непрерывность арифметического корня

4.5. Непрерывность логарифмической функции

 4.6. Непрерывность обратных тригонометрических функций

 4.7. Заключительное замечание о непрерывности элементарных функций

Тесты

Домашнее задание
Цели урока:

Формулируются теоремы о множестве значений непрерывной на промежутке функции, доказывается теорема Больцано-Коши о нуле непрерывной функции. Формулируется и доказывается достаточное условие непрерывности для монотонной функции. Эти утверждения применяются для обоснования непрерывности широкого класса элементарных функций.


4.1. Множество значений непрерывной функции
При доказательстве существования функции, обратной к заданной функции , нужно показать, что различным значениям из области определения соответствуют различные значения функции. В этом часто помогает монотонность.

Например, функция на отрезке строго возрастает. Отсюда следует, что если , , и , то при будем иметь неравенство , а при — неравенство , то есть различным значениям из отрезка соответствуют различные значения функции .



Вопрос. Как доказать, что функция , определенная при всех , имеет обратную функцию?

Когда функция , рассматриваемая на множестве , имеет обратную, то для определения обратной функции нужно знать множество значений функции . В нахождении множества значений непрерывной функции часто помогает следующее утверждение.



Теорема 11. Пусть функция непрерывна на отрезке и , . Тогда для каждого числа , заключенного между числами и , найдется такое число из отрезка , что .

Эту теорему иногда называют теоремой о промежуточных значениях непрерывной функции.

Теорему о промежуточных значениях непрерывной функции можно применять для доказательства существования корней некоторых уравнений.

Пример 1. Доказать, что уравнение имеет корень, принадлежащий интервалу .

Доказательство. Функция непрерывна на всей числовой прямой. Рассмотрим отрезок . Функция непрерывна на этом отрезке, , , а число находится между числами и . Поэтому по теореме 11 существует такое число из интервала , что . Следовательно, уравнение на отрезке имеет какой-то действительный корень.



Вопрос. Как доказать, что уравнение имеет корень m‘ интервале ?

+

4.2. Теорема о нуле непрерывной функции


Теорему 11 можно получить как следствие из теоремы о нуле непрерывной функции.

Теорема 12. Пусть функция непрерывна на отрезке и принимает в концах значения разных знаков. Тогда найдется такое число из отрезка , что .

Разберем доказательство теоремы 12, использующее метод деления пополам.

Доказательство. Пусть, для определенности, и . Обозначим , . Тогда , . Далее шаг за шагом выполним следующие построения.

I шаг. Разделим точкой отрезок на два равных отрезка и вычислим . Если , то теорема доказана и процесс заканчивается. Если , то обозначим , ; если же , то обозначим , . В результате получаем, что , .

II шаг. Разделим точкой отрезок пополам и вычислим . Если , то теорема доказана и процесс заканчивается. Если , то обозначим , ; если же , то обозначим , . В результате получаем, что , .

И так далее: получив на очередном шаге отрезок , делим его точкой пополам, вычисляем и, аналогично предыдущему, либо заканчиваем процесс, либо строим отрезок так, что , .

В том случае, когда указанный процесс не заканчивается через конечное число шагов, появляется последовательность вложенных друг в друга отрезков, длина которых стремится к нулю. По аксиоме Кантора найдется единственная точка , общая для всех отрезков, причем , .

По условию функция непрерывна на отрезке , а поэтому непрерывна в точке . Следовательно, и . Но так как , то , откуда . С другой стороны, , а поэтому , откуда следует равенство . Тем самым теорема 11 доказана.



Вопрос. Как с помощью теоремы 11 доказать теорему 10?
Это интересно
Теорема о нуле непрерывной функции носит названии теоремы Больцано-Коши. Эта теорема была опубликована в статье 1817 года Бернардом Больцано. Он же в этой статье впервые дал определение непрерывной на отрезке функции. Огюстен Луи Коши в курсе «Алгебраического анализа» (1821) дал идентичное определение непрерывной функции и доказал вышеупомянутую теорему методом деления отрезка на равные части.
Больцано, Бернард (05.10.1781-18.12.1848) – чешский математик, философ и теолог. Много работал над логическими основами выдвинутой им арифметической теории действительных чисел (1817). В «Парадоксах бесконечного» (изд. 1851) явился предшественником Георга Кантора в исследованиях бесконечных множеств.

(Приложение – портрет, рис. 1)


Коши, Огюстен Луи (21.08.1789-23.05.1857) – французский математик. Труды Коши относятся к различным областям математики (преимущественно математического анализа) и математической физики. Его курсы анализа, основанные на понятии предела, послужили образцом для большинства курсов позднейшего времени. В них он, в частности, дал определение непрерывности функции, четкое построении теории сходящихся рядов, определение интеграла как предела интегральных сумм.

(Приложение – портрет, рис. 2)


Кантор, Георг (03.03.1845-06.01.1918) – немецкий математик. Разработал теорию бесконечных множеств и теорию трансфинитных чисел. Ввел понятие предельной точки, развил одну из теорий иррациональных чисел, сформулировал одну из аксиом непрерывности о последовательности вложенных друг в друга отрезков. Идеи Кантора первоначально встретили резкое неприятие со стороны многих современников, но впоследствии оказали глубокое влияние на развитие математики.

(Приложение – портрет, рис. 3)


4.3. Достаточное условие непрерывности для монотонной функции
Для доказательства непрерывности функций, которые обратны к непрерывным функциям, будем использовать следующее свойство.

Теорема 13. Пусть функция определена, монотонна на отрезке и принимает все промежуточные значения между и . Тогда функция непрерывна на отрезке .

Доказательство. Предположим для определенности, что функция является строго возрастающей. Возьмем произвольную точку . Для любого положительного числа рассмотрим числа и (если , то примем , если , то примем ). На промежутке найдутся такие числа и , что , . Пусть . Тогда в силу строгой монотонности функции для любого из -окрестности числа выполняются неравенства , откуда следует непрерывность функции в точке . В случае строго убывающей функции доказательство совершенно аналогично. Легко понять, как изменить доказательство, если точка является одним из концов промежутка .



Вопрос. Как доказать, что функция принимает все значения из промежутка ?
4.4. Непрерывность арифметического корня
Напомним, что при любом натуральном функция , рассматриваемая на луче , строго возрастает и непрерывна. Теорема 11 из пункта 4.1 позволяет установить, что эта функция принимает все значения из промежутка . Поэтому обратная к ней функция определена на луче , строго возрастает и принимает все значения из промежутка . Тогда по теореме 13 из пункта 4.3 можно сделать вывод, что функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

Вопрос. Как доказать, что ?
4.5. Непрерывность логарифмической функции
Напомним, что при функция строго возрастает на всей числовой прямой. Из непрерывности этой функции и теоремы 11 следует, что функция принимает все положительные значения. Значит, функция имеет обратную функцию, которая определена на луче , строго возрастает и принимает все действительные значения. Как известно, эта обратная функция обозначает и называется логарифмической функцией.

Из теоремы 13 следует, что функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

Аналогично определяется логарифмическая функция при и доказывается ее непрерывность.

Вопрос. Как доказать, что



4.6. Непрерывность обратных тригонометрических функций
Напомним, что функция , рассматриваемая на отрезке , строго возрастает, непрерывна и принимает все значения из отрезка . Поэтому обратная к ней функция определена на отрезке , строго возрастает и принимает все значения из отрезка . Отсюда по теореме 13 получаем непрерывность функции в каждой точке своей области определения.

Аналогично доказывается непрерывность функций и на всей области определения.



Вопрос. Как доказать непрерывность функции на всей области определения?
4.7. Заключительное замечание о непрерывности элементарных функций
В уроках третьем и четвертом мы рассмотрели основные функции вида , , , , , , , , , и установили их непрерывность. Из них с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и образования сложных функций можно получать много разнообразных функций. Теоремы этой раздела позволяют сделать вывод, что каждая из функций, полученная только что описанным способом, непрерывна в своей естественной области определения. Это означает, что на каждом из промежутков области определения графики таких функций изображаются неразрывными линиями.

Вопрос. Как доказать непрерывность функции на интервале ?
Мини-исследование
Чтобы доказать достаточное условие непрерывности для монотонной функции, мы применили определение непрерывности «на языке - ». Предлагается доказать теорему 13, используя определение непрерывности «на языке последовательностей»: функция называется непрерывной в предельной точке из области определения , если для всякой последовательности такой, что и , последовательность сходится к (при ).

Для этого возьмем произвольную точку и, обозначив через наименьшее расстояние от до концов промежутка , рассмотрим последовательности и . Предположим для определенности, что функция является строго возрастающей.



  1. Покажите, что последовательности и имеют пределы.

  2. Обозначив эти пределы через и , объясните, почему .

  3. Объясните, почему для любого выполняется неравенство , а для любого выполняется неравенство .

  4. Приведите к противоречию предположение .

  5. Почему ?

  6. Возьмите любое положительное число и покажите, что для любого достаточно большого номера выполняются неравенства.



  1. Возьмите любую такую последовательность , что , , и покажите, что найдется такое число , что для всех будут выполнены неравенства .

  2. Придите к выводу, что для любого положительного числа найдется такое число , что для всех будут выполнены неравенства

.

Какие изменения нужно внести в рассуждения, если точка совпадает с одним из концов промежутка ? Как изменить полученное доказательство непрерывности монотонной функции, множество значений которой является промежутком, для случая строго убывающей функции?

И наконец, докажите, что у произвольной монотонной функции точки разрыва могут быть только первого рода (см. урок 2).
Проверь себя. Непрерывность обратных функций
Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
Каково множество значений функции на отрезке :

1. ; 2. ; 3. ; 4. ?

(Правильный вариант: 1)


Каково множество значений функции на отрезке :

1. ; 2. ; 3. ; 4. ?

(Правильный вариант: 3)


Каково множество значений функции на отрезке :

1. ; 2. ; 3. ; 4. ?

(Правильный вариант: 2)


Каково множество значений функции на отрезке :

1. ; 2. ; 3. ; 4. ?

(Правильный вариант: 1)


Какая из функций является обратной к функции , рассматриваемой на промежутке :

1. на промежутке ;

2. на промежутке ;

3. на промежутке ;

4. на промежутке ?

(Правильный вариант: 3)


Какая из функций является обратной к функции , рассматриваемой на промежутке :

1. на промежутке ;

2. на промежутке ;

3. на промежутке ;

4. на промежутке ?

(Правильный вариант: 4)


Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.
Какая из функций является обратной к функции , рассматриваемой на промежутке :

1. ;

2. ;

3. ;

4. ?

(Правильные варианты: 1, 2)

Какая из функций является обратной к функции , рассматриваемой на промежутке :

1. ;

2. ;

3. ;

4. ?

(Правильные варианты: 3, 4)


Домашнее задание
1. Найдите множество значений функции на отрезке , если:

а) , , ;

б) , , ;

в) , , ;

г) , , ;

д) , , .

2. Найдите множество значений функции на отрезке , если:

а) , , ;

б) , , ;

в) , , ;

г) , , .

3.** Найдите множество значений функции на всей области определения:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

4.** С точностью до найдите:

а) корень уравнения из интервала ;

б) корень уравнения из интервала ;

в) корень уравнения из интервала ;

г) корень уравнения из интервала .

5. Докажите, что функция непрерывна в точке , если:

а) и ;

б) и ;

в) и ;

г)  и .

6.* Найдите предел:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е)  .

7. Докажите, что функция непрерывна в точке , если:

а) и ; б) и ; в)  и ; г) и .

8. Найдите предел:

а) ; б) ; в) .

9. Найдите предел:

а)  ; б)  ; в)  ; г)  ; д)  ; е)  .

10.* Найдите предел:

а)  ; б)  ; в)  .

11.** Докажите, что .

12.** Докажите, что функция не имеет предела в нуле.
Словарь терминов
Монотонная функция. Монотонные – общее названии для функций, изменяющихся в одном направлении, то есть для возрастающих, строго возрастающих, убывающих, строго убывающих. Функция называется возрастающей на множестве , если для любых чисел и из неравенство влечет неравенство . Функция называется строго возрастающей на множестве , если для любых чисел и из неравенство влечет неравенство . Функция называется убывающей на множестве , если для любых чисел и из неравенство влечет неравенство . Функция называется строго убывающей на множестве , если для любых чисел и из неравенство влечет неравенство .
Непрерывность функции в точке. Функция называется непрерывной в предельной точке области определения, если . Часто дают немного отличное от приведенного определение непрерывности функции в точке – функция называется непрерывной в точке из области определения , если для каждого положительного числа найдется такое, что при всех , удовлетворяющих условиям и , выполняется неравенство . Это определение позволяет считать функцию непрерывной во всякой изолированной точке своей области определения.
Непрерывность функции на множестве. Функция называется непрерывной на множестве , если непрерывна в каждой точке множества .

Рисунки (названия файлов)
Рисунок 1. – Bolzano_3.jpg

Рисунок 2. – Cauchy.jpg



Рисунок 3. – Cantor_2.jpg

Достарыңызбен бөлісу:




©dereksiz.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет