Урок Непрерывность обратных функций План урока



жүктеу 260.46 Kb.
Дата10.07.2016
өлшемі260.46 Kb.
(11 класс, модуль III, урок 4)
Урок 4. Непрерывность обратных функций
План урока
4.1. Множество значений непрерывной функции

 4.2. Теорема о нуле непрерывной функции

 4.3. Достаточное условие непрерывности для монотонной функции

 4.4. Непрерывность арифметического корня

4.5. Непрерывность логарифмической функции

 4.6. Непрерывность обратных тригонометрических функций

 4.7. Заключительное замечание о непрерывности элементарных функций

Тесты

Домашнее задание
Цели урока:

Формулируются теоремы о множестве значений непрерывной на промежутке функции, доказывается теорема Больцано-Коши о нуле непрерывной функции. Формулируется и доказывается достаточное условие непрерывности для монотонной функции. Эти утверждения применяются для обоснования непрерывности широкого класса элементарных функций.


4.1. Множество значений непрерывной функции
При доказательстве существования функции, обратной к заданной функции , нужно показать, что различным значениям из области определения соответствуют различные значения функции. В этом часто помогает монотонность.

Например, функция на отрезке строго возрастает. Отсюда следует, что если , , и , то при будем иметь неравенство , а при — неравенство , то есть различным значениям из отрезка соответствуют различные значения функции .



Вопрос. Как доказать, что функция , определенная при всех , имеет обратную функцию?

Когда функция , рассматриваемая на множестве , имеет обратную, то для определения обратной функции нужно знать множество значений функции . В нахождении множества значений непрерывной функции часто помогает следующее утверждение.



Теорема 11. Пусть функция непрерывна на отрезке и , . Тогда для каждого числа , заключенного между числами и , найдется такое число из отрезка , что .

Эту теорему иногда называют теоремой о промежуточных значениях непрерывной функции.

Теорему о промежуточных значениях непрерывной функции можно применять для доказательства существования корней некоторых уравнений.

Пример 1. Доказать, что уравнение имеет корень, принадлежащий интервалу .

Доказательство. Функция непрерывна на всей числовой прямой. Рассмотрим отрезок . Функция непрерывна на этом отрезке, , , а число находится между числами и . Поэтому по теореме 11 существует такое число из интервала , что . Следовательно, уравнение на отрезке имеет какой-то действительный корень.



Вопрос. Как доказать, что уравнение имеет корень m‘ интервале ?

+

4.2. Теорема о нуле непрерывной функции


Теорему 11 можно получить как следствие из теоремы о нуле непрерывной функции.

Теорема 12. Пусть функция непрерывна на отрезке и принимает в концах значения разных знаков. Тогда найдется такое число из отрезка , что .

Разберем доказательство теоремы 12, использующее метод деления пополам.

Доказательство. Пусть, для определенности, и . Обозначим , . Тогда , . Далее шаг за шагом выполним следующие построения.

I шаг. Разделим точкой отрезок на два равных отрезка и вычислим . Если , то теорема доказана и процесс заканчивается. Если , то обозначим , ; если же , то обозначим , . В результате получаем, что , .

II шаг. Разделим точкой отрезок пополам и вычислим . Если , то теорема доказана и процесс заканчивается. Если , то обозначим , ; если же , то обозначим , . В результате получаем, что , .

И так далее: получив на очередном шаге отрезок , делим его точкой пополам, вычисляем и, аналогично предыдущему, либо заканчиваем процесс, либо строим отрезок так, что , .

В том случае, когда указанный процесс не заканчивается через конечное число шагов, появляется последовательность вложенных друг в друга отрезков, длина которых стремится к нулю. По аксиоме Кантора найдется единственная точка , общая для всех отрезков, причем , .

По условию функция непрерывна на отрезке , а поэтому непрерывна в точке . Следовательно, и . Но так как , то , откуда . С другой стороны, , а поэтому , откуда следует равенство . Тем самым теорема 11 доказана.



Вопрос. Как с помощью теоремы 11 доказать теорему 10?
Это интересно
Теорема о нуле непрерывной функции носит названии теоремы Больцано-Коши. Эта теорема была опубликована в статье 1817 года Бернардом Больцано. Он же в этой статье впервые дал определение непрерывной на отрезке функции. Огюстен Луи Коши в курсе «Алгебраического анализа» (1821) дал идентичное определение непрерывной функции и доказал вышеупомянутую теорему методом деления отрезка на равные части.
Больцано, Бернард (05.10.1781-18.12.1848) – чешский математик, философ и теолог. Много работал над логическими основами выдвинутой им арифметической теории действительных чисел (1817). В «Парадоксах бесконечного» (изд. 1851) явился предшественником Георга Кантора в исследованиях бесконечных множеств.

(Приложение – портрет, рис. 1)


Коши, Огюстен Луи (21.08.1789-23.05.1857) – французский математик. Труды Коши относятся к различным областям математики (преимущественно математического анализа) и математической физики. Его курсы анализа, основанные на понятии предела, послужили образцом для большинства курсов позднейшего времени. В них он, в частности, дал определение непрерывности функции, четкое построении теории сходящихся рядов, определение интеграла как предела интегральных сумм.

(Приложение – портрет, рис. 2)


Кантор, Георг (03.03.1845-06.01.1918) – немецкий математик. Разработал теорию бесконечных множеств и теорию трансфинитных чисел. Ввел понятие предельной точки, развил одну из теорий иррациональных чисел, сформулировал одну из аксиом непрерывности о последовательности вложенных друг в друга отрезков. Идеи Кантора первоначально встретили резкое неприятие со стороны многих современников, но впоследствии оказали глубокое влияние на развитие математики.

(Приложение – портрет, рис. 3)


4.3. Достаточное условие непрерывности для монотонной функции
Для доказательства непрерывности функций, которые обратны к непрерывным функциям, будем использовать следующее свойство.

Теорема 13. Пусть функция определена, монотонна на отрезке и принимает все промежуточные значения между и . Тогда функция непрерывна на отрезке .

Доказательство. Предположим для определенности, что функция является строго возрастающей. Возьмем произвольную точку . Для любого положительного числа рассмотрим числа и (если , то примем , если , то примем ). На промежутке найдутся такие числа и , что , . Пусть . Тогда в силу строгой монотонности функции для любого из -окрестности числа выполняются неравенства , откуда следует непрерывность функции в точке . В случае строго убывающей функции доказательство совершенно аналогично. Легко понять, как изменить доказательство, если точка является одним из концов промежутка .



Вопрос. Как доказать, что функция принимает все значения из промежутка ?
4.4. Непрерывность арифметического корня
Напомним, что при любом натуральном функция , рассматриваемая на луче , строго возрастает и непрерывна. Теорема 11 из пункта 4.1 позволяет установить, что эта функция принимает все значения из промежутка . Поэтому обратная к ней функция определена на луче , строго возрастает и принимает все значения из промежутка . Тогда по теореме 13 из пункта 4.3 можно сделать вывод, что функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

Вопрос. Как доказать, что ?
4.5. Непрерывность логарифмической функции
Напомним, что при функция строго возрастает на всей числовой прямой. Из непрерывности этой функции и теоремы 11 следует, что функция принимает все положительные значения. Значит, функция имеет обратную функцию, которая определена на луче , строго возрастает и принимает все действительные значения. Как известно, эта обратная функция обозначает и называется логарифмической функцией.

Из теоремы 13 следует, что функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

Аналогично определяется логарифмическая функция при и доказывается ее непрерывность.

Вопрос. Как доказать, что



4.6. Непрерывность обратных тригонометрических функций
Напомним, что функция , рассматриваемая на отрезке , строго возрастает, непрерывна и принимает все значения из отрезка . Поэтому обратная к ней функция определена на отрезке , строго возрастает и принимает все значения из отрезка . Отсюда по теореме 13 получаем непрерывность функции в каждой точке своей области определения.

Аналогично доказывается непрерывность функций и на всей области определения.



Вопрос. Как доказать непрерывность функции на всей области определения?
4.7. Заключительное замечание о непрерывности элементарных функций
В уроках третьем и четвертом мы рассмотрели основные функции вида , , , , , , , , , и установили их непрерывность. Из них с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и образования сложных функций можно получать много разнообразных функций. Теоремы этой раздела позволяют сделать вывод, что каждая из функций, полученная только что описанным способом, непрерывна в своей естественной области определения. Это означает, что на каждом из промежутков области определения графики таких функций изображаются неразрывными линиями.

Вопрос. Как доказать непрерывность функции на интервале ?
Мини-исследование
Чтобы доказать достаточное условие непрерывности для монотонной функции, мы применили определение непрерывности «на языке - ». Предлагается доказать теорему 13, используя определение непрерывности «на языке последовательностей»: функция называется непрерывной в предельной точке из области определения , если для всякой последовательности такой, что и , последовательность сходится к (при ).

Для этого возьмем произвольную точку и, обозначив через наименьшее расстояние от до концов промежутка , рассмотрим последовательности и . Предположим для определенности, что функция является строго возрастающей.



  1. Покажите, что последовательности и имеют пределы.

  2. Обозначив эти пределы через и , объясните, почему .

  3. Объясните, почему для любого выполняется неравенство , а для любого выполняется неравенство .

  4. Приведите к противоречию предположение .

  5. Почему ?

  6. Возьмите любое положительное число и покажите, что для любого достаточно большого номера выполняются неравенства.



  1. Возьмите любую такую последовательность , что , , и покажите, что найдется такое число , что для всех будут выполнены неравенства .

  2. Придите к выводу, что для любого положительного числа найдется такое число , что для всех будут выполнены неравенства

.

Какие изменения нужно внести в рассуждения, если точка совпадает с одним из концов промежутка ? Как изменить полученное доказательство непрерывности монотонной функции, множество значений которой является промежутком, для случая строго убывающей функции?

И наконец, докажите, что у произвольной монотонной функции точки разрыва могут быть только первого рода (см. урок 2).
Проверь себя. Непрерывность обратных функций
Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
Каково множество значений функции на отрезке :

1. ; 2. ; 3. ; 4. ?

(Правильный вариант: 1)


Каково множество значений функции на отрезке :

1. ; 2. ; 3. ; 4. ?

(Правильный вариант: 3)


Каково множество значений функции на отрезке :

1. ; 2. ; 3. ; 4. ?

(Правильный вариант: 2)


Каково множество значений функции на отрезке :

1. ; 2. ; 3. ; 4. ?

(Правильный вариант: 1)


Какая из функций является обратной к функции , рассматриваемой на промежутке :

1. на промежутке ;

2. на промежутке ;

3. на промежутке ;

4. на промежутке ?

(Правильный вариант: 3)


Какая из функций является обратной к функции , рассматриваемой на промежутке :

1. на промежутке ;

2. на промежутке ;

3. на промежутке ;

4. на промежутке ?

(Правильный вариант: 4)


Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.
Какая из функций является обратной к функции , рассматриваемой на промежутке :

1. ;

2. ;

3. ;

4. ?

(Правильные варианты: 1, 2)

Какая из функций является обратной к функции , рассматриваемой на промежутке :

1. ;

2. ;

3. ;

4. ?

(Правильные варианты: 3, 4)


Домашнее задание
1. Найдите множество значений функции на отрезке , если:

а) , , ;

б) , , ;

в) , , ;

г) , , ;

д) , , .

2. Найдите множество значений функции на отрезке , если:

а) , , ;

б) , , ;

в) , , ;

г) , , .

3.** Найдите множество значений функции на всей области определения:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

4.** С точностью до найдите:

а) корень уравнения из интервала ;

б) корень уравнения из интервала ;

в) корень уравнения из интервала ;

г) корень уравнения из интервала .

5. Докажите, что функция непрерывна в точке , если:

а) и ;

б) и ;

в) и ;

г)  и .

6.* Найдите предел:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е)  .

7. Докажите, что функция непрерывна в точке , если:

а) и ; б) и ; в)  и ; г) и .

8. Найдите предел:

а) ; б) ; в) .

9. Найдите предел:

а)  ; б)  ; в)  ; г)  ; д)  ; е)  .

10.* Найдите предел:

а)  ; б)  ; в)  .

11.** Докажите, что .

12.** Докажите, что функция не имеет предела в нуле.
Словарь терминов
Монотонная функция. Монотонные – общее названии для функций, изменяющихся в одном направлении, то есть для возрастающих, строго возрастающих, убывающих, строго убывающих. Функция называется возрастающей на множестве , если для любых чисел и из неравенство влечет неравенство . Функция называется строго возрастающей на множестве , если для любых чисел и из неравенство влечет неравенство . Функция называется убывающей на множестве , если для любых чисел и из неравенство влечет неравенство . Функция называется строго убывающей на множестве , если для любых чисел и из неравенство влечет неравенство .
Непрерывность функции в точке. Функция называется непрерывной в предельной точке области определения, если . Часто дают немного отличное от приведенного определение непрерывности функции в точке – функция называется непрерывной в точке из области определения , если для каждого положительного числа найдется такое, что при всех , удовлетворяющих условиям и , выполняется неравенство . Это определение позволяет считать функцию непрерывной во всякой изолированной точке своей области определения.
Непрерывность функции на множестве. Функция называется непрерывной на множестве , если непрерывна в каждой точке множества .

Рисунки (названия файлов)
Рисунок 1. – Bolzano_3.jpg

Рисунок 2. – Cauchy.jpg



Рисунок 3. – Cantor_2.jpg


©dereksiz.org 2016
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет