Урок Тема Координаты и векторы в пространстве. Прямоугольная система координат. Расстояние между точками. Координаты середины отрезка



Дата27.06.2016
өлшемі81.15 Kb.
түріУрок
Урок 6.Тема Координаты и векторы в пространстве.Прямоугольная система координат.Расстояние между точками.Координаты середины отрезка.
Если через точку О в пространстве мы проведем три перпендикулярные прямые, назовем их, выберем направление, обозначим единичные отрезки, то мы получим прямоугольную систему координат в пространстве. Оси координат называются так: Ох – ось абсцисс, Оy – ось ординат и Оz – ось аппликат. Вся система координат обозначается – Oxyz. Таким образом, появляются три координатные плоскости: Оxy, Оxz, Оyz.

Приведем пример построения точки В(4;3;5) в прямоугольной системе координат (см. Рис. 1).



Рис. 1. Построение точки B в пространстве

Первая координата точки B – 4, поэтому откладываем на Ox 4, проводим прямую параллельно оси Oy до пересечения с прямой, проходящей через у=3. Таким образом, мы получаем точку K. Эта точка лежит в плоскости Oxy и имеет координаты K(4;3;0). Теперь нужно провести прямую параллельно оси Oz. И прямую, которая проходит через точку с аппликатой 5 и параллельна диагонали параллелограмма в плоскости Oxy. На их пересечении мы получим искомую точку B.

Рассмотрим расположение точек, у которых одна или две координаты равны 0 (см. Рис. 2).



Рис. 2.


Например, точка A(3;-1;0). Нужно продолжить ось Oy влево до значения -1, найти точку 3 на оси Ox, и на пересечении линий, проходящих через эти значения, получаем точку А. Эта точка имеет аппликату 0, а значит, она лежит в плоскости Oxy.

Точка C(0;2;0) имеет абсциссу и аппликату 0 – не отмечаем. Ордината равна 2, значит точка C лежит только на оси Oy, которая является пересечением плоскостей Oxy и Oyz.

Чтобы отложить точку D(-4;0;3) продолжаем ось Ox назад за начало координат до точки -4. Теперь восстанавливаем из этой точки перпендикуляр – прямую, параллельную оси Oz до пересечения с прямой, параллельной оси Ox и проходящей через значение 3 на оси Oz. Получаем току D(-4;0;3). Так как ордината точки равна 0, значит точка D лежит в плоскости Oxz.

Следующая точка E(0;5;-3). Ордината точки 5, аппликата -3, проводим прямые проходящие через эти значения на соответствующих осях, и на их пересечении получаем точку E(0;5;-3). Эта точка имеет первую координату 0, значит она лежит в плоскости Oyz.

 

Начертим прямоугольную систему координат в пространстве Oxyz. Зададим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. На каждой из положительных полуосей отложим от начала координат единичный вектор, т. е. вектор, длина которого равна единице. Обозначим единичный вектор оси абсцисс, единичный вектор оси ординат , и единичный вектор оси аппликат  (см. рис. 1). Эти векторы сонаправлены с направлениями осей, имеют единичную длину и ортогональны – попарно перпендикулярны. Такие вектора называют координатными векторами или базисом.



Рис. 1. Разложение вектора по трем координатным векторам

Возьмем вектор , поместим его в начало координат, и разложим этот вектор по трем некомпланарным - лежащим в разных плоскостях -  векторам. Для этого опустим проекцию точки M на плоскость Oxy, и найдем координаты векторов  и . Получаем: . Рассмотрим по отдельности каждый из этих векторов. Вектор  лежит на оси Ox, значит, согласно свойству умножения вектора на число, его можно представить как какое-то число x умноженное на координатный вектор , а длина вектора ровно в x раз больше длины . Так же поступим и с векторами  и , и получаем разложение вектора по трем координатным векторам:

Рис. 2.


Возьмем точку A(x1;y1;z1) и точку B(x2;y2;z2) (см. рис. 3). Представим вектор как разность векторов  и по свойству векторов. Причем,  и - радиус-векторы, и их координаты совпадают с координатами концов этих векторов. Тогда мы можем представить координаты вектора  как разность соответствующих координат векторов  и . Таким образом, координаты вектора мы можем выразить через координаты конца и начала вектора.

Рис. 3.


Рассмотрим примеры, иллюстрирующие свойства векторов и их выражение через координаты. Возьмем векторы . Нас спрашивают вектор . В данном случае найти  это значит найти координаты вектора , которые полностью его определяют. Подставляем в выражение вместо векторов соответственно их координаты. Получаем:

Теперь умножаем число 3 на каждую координату в скобках, и то же самое делаем с 2:

У нас получилась сумма трех векторов, складываем их по изученному выше свойству:

Ответ: 

Пример №2.

Дано: Треугольная пирамида AOBC (см. рис. 4). Плоскости AOB, AOC и OCB – попарно перпендикулярны. OA=3, OB=7, OC=4; M - сер.AC; N - сер.OC; P – сер. CB.

Найти: ,,,,,,,.

Рис. 4.


Решение: Введем прямоугольную систему координат Oxyz с началом отсчета в точке O. По условию обозначаем точки A, B и C на осях и середины ребер пирамиды – M, P и N. По рисунку находим координаты вершин пирамиды: A(3;0;0), B(0;7;0), C(0;0;4).

Так как координаты вектора  -  это разность координат его конца и начала, получаем:. Таким же образом находим координаты векторов и .

Чтобы найти координаты вектора , нужно сначала найти координаты точек M и N. По рисунку видно, что точка N имеет координаты, так как она лежит на оси аппликат. Рассмотрим . MN – средняя линия, . Значит координата точки M по оси Oz 2. Теперь проведем из точки M перпендикуляр к оси Ox, координата 1,5. Точка M лежит в плоскости Oxz, значит по оси Oy координата 0. Получаем M(1,5;0;2). Теперь зная координаты точек M и N, считаем их разность: .

Теперь найдем координаты точки P. Опустим перпендикуляр на плоскость Oxy, получаем значение 3,5 по оси ординат. И проведя перпендикуляр к оси Oz, получаем значение 2 по оси аппликат. Точка P имеет координаты (0;3,5;2). Зная координаты нужных точек, найдем координаты оставшихся векторов.



;

.

Вектора  и  - радиус-векторы, значит, их координаты равны координатам концов этих векторов: .

 
.

 

Пример 1. Задача на нахождение координат середины отрезка (рис. 1). Даны две точки: A(x1;y1z1), B(x2;y2;z2), C – середина AB. Найти: C(x;y;z).



Рис. 1. Координаты середины отрезка

Решение: Обозначим в пространстве точки A, B и С – середину отрезка AB. Вектор  является половиной суммы векторов  и , потому что OC – это половина диагонали параллелограмма, построенного на векторах   и . Координаты точки C находятся, как полусумма координат концов отрезка AB - точек A и B. Найдем координаты точки С:

.

Пример 2. Задача на нахождение модуля вектора через его координаты (рис. 2). Если у нас есть вектор , то его модуль вычисляется по формуле: .



Рис. 2.


 

Рассмотрим вывод этой формулы.

1) Начертим вектор  и совместим его начало с началом координат, чтобы координаты точки M совпадали с координатами вектора.

2) Опустим перпендикуляр из точки M на плоскость Oxy, получаем точку K.

3) Рассмотрим . OA=x - первая координата точки M, отрезок AK=y – вторая координата точки M. Гипотенуза  - по теореме Пифагора.

4) Рассмотрим  - прямоугольный, так как MK - перпендикуляр к плоскости Oxy. , MK=z.



 - по теореме Пифагора.

Пример 3. Задача на нахождение расстояния между точками, которые заданы координатами (рис. 3). Дано: A(x1;y1z1), B(x2;y2;z2). Найти: длину отрезка AB.



Рис. 3.


Решение:

1) Найдем координаты вектора .

2) Найдем модуль вектора  по его координатам:.

Задача №1.

Дано: A(-3;m;5), B(2;-2;n), C – середина AB, . Найти: m, n.

Решение: Так как , мы знаем две координаты точки C – (x;0;0). Запишем формулу середины отрезка для отрезка AB и его середины – C. Получаем три уравнения:



.

Ответ: .

Задача №2.

Дано: M(-4;7;0), N(0;-1;2), C – середина MN. Найти: расстояние от начала координат до точки C.



Решение: Сначала найдем координаты точки C. Ее координаты равны полусумме соответствующих координат. .

Нужно найти расстояние от начала координат до точки C. Это значит, что мы должны найти длину отрезка OC или модуль вектора . Так как  - радиус-вектор, то координаты этого вектора равны координатам точки . Воспользуемся формулой нахождения длины вектора по его координатам:.
Каталог: image uploads -> docs -> distant
distant -> Урок 15, 17 Половое размножение. Строение и разнообразие цветов
distant -> Решение уравнения ctgx=a Введение. График функции y=ctgx, x
distant -> Решение уравнения tgx=a Введение. График функции y=tgx, x
distant -> Урок 11 Среда обитания растений. Связи растений с другими компонентами экосистем. Ответ растений на раздражени
distant -> Урок №8 Тема : Англия в 30-40 -е годы 19 века.
distant -> Урок 18 Вольвокс колониальный организм. Губка и ульва (зеленый морской салат) многоклеточные организмы


Достарыңызбен бөлісу:


©dereksiz.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет