В. Н. Садовский и В. К. Финн Перевод с английского Д. Г. Лахути Общая редакция и вступительная статья

Смысл (АКП)^' состоит в следующем: в W^ для каждого (+)-факта .7(1,0)(С =^i А) существует причина J(\^(C' =>2 А) такая, что С' С С, где n G N есть номер шага применения правил правдоподобных выводов, посредством которых обнаружена эта причина. Таким образом, J(_1>0)(C =>i A) как элемент онтологии получает объяснение средствами точной эпистемологии, формализуемой посредством JSM-рассуждений. Аналогично истолковывается (АКП/~\ что (означает наличие симметричного действия (+) -причин и (-)-причин в мире W^.

Симметричность W^ создает основу для представлений конфликтов как столкновения (+)-причин и (-)-причин в одном объекте (ситуации). Эпистемологически эта конфликтность выражается посредством истинностной оценки (0, п), называемой фактическим противоречием. Очевидно,

что (0, п) порождаются посредством соответствующих п. п. в. (1)^ и (Н)^.

Для теории конфликта потребуется изменение начальных условий, характеризующих W^. В самом деле, мы не предполагали наличия в W^ фактов вида J(oo)(^ =>i А) и J/oo)(C" ^2 А), где С¹ •— подобъект, т.е.

(АКП) можно истолковать с точки зрения спинозизма, ибо в соответствии с аксиомой Б.Спинозы «знание действия зависит от знания причины» [33].

Если же W^ является «бесконфликтным» миром, то в нем всегда выполняются аксиомы каузальной непротиворечивости (АКН)^ (они, соот-

Эпистемология синтеза познавательных процедур 393

ветственно, принадлежат КАТ, отвечающей W^ этого типа):

(АКН)⁽⁺⁾ VJTVy (j^pT =»i Y) -+ -ÜZ3W(Z С X &Z + 0

&W + 0&W Ç Y A(J_H,„)(Z =>₂ W) V J_M(Z =>₂ ИО))), (AKH)^H VJTVy (j<-i,o)(* =*i Г) -> -3Z3w(z CX &Z^0

>)(Z^₂W)VJ_M(Z=*₂V

Мир социальных явлений в некотором разумном приближении может рассматриваться как мир с (АКП)^, содержащий конфликты. Следовательно, соответствующая ему КАТ не содержит (АКН)^'. В этом мире события порождаются в силу позитивных и негативных влияний, играющих роль (±) -причин. Разумеется, реальный мир социальных явлений может быть более адекватно описан с введением предположений о наличии помимо направленных (±) -влияний (причин) еще и случайных событий, которые

входят в заключительное состояние W^.

КАТ, содержащую (АКП)^ и не содержащую правил статистического вывода, будем называть (±) -детерминистскими. Очевидно, что детерминизм в этом случае понимается как выполнимость (АКП)* ' в симметрических W^(±}.

Пусть S_n — заключительное состояние мира W^'. Точнее говоря, S_n есть знание о мире W^ на п-м шаге рассуждений о нем такое, что S_n = S_n+\, т. е. n есть номер шага, на котором достигнута стабилизация.

S_n = Г„ U A„_i и для каждой J{„,_n)(C =^i A) G Г_п и для каждой J(_Vtn-i)(C' =>2 А) € Д„-ь где т/ G {+,-,0,т}, n G JV, очевидно, что i/[J_(ï/,_n)(C =>, A)] = tn i/[J_(lvI_i)(C =>₂ A)] = t.

Таким образом, посредством JSM-рассуждения в соответствующей КАТ получены истинные (в КАТ) формулы (очевидно, что эти формулы — внешние, т.е. принадлежат языку L_e).

Однако множество формул S_n будем называть принятым, тогда и только

тогда, когда относительно W^ выполняются (АКП) .

Таким образом, формула (p G S_n может быть истинной, но не принятой.

(АКП)^ будем называть критерием достаточного основания принятия

гипотез (к. д. о. п. г.), порожденных JS M-рассуждением. Отметим, что этот критерий является некоторым уточнением (и реализацией) принципа эмпирического доверия А. С. Есенина-Вольпина [10] (см. также [9]). Интересен тот факт, что к.д.о.п.г. является средством отбрасывания истинных формул таких, что они в КАТ не могут рассматриваться как принятые гипотезы. Это означает, что к.д.о.п.г. есть средство фальсификации гипотез в КАТ. Если i/[J(^_n_i)(C^; =>₂ А)] - t и Jfa_n-\)(C' =>2 A) G А_я-ь ^{то это} означает, что применение JSM-рассуждений к начальному состоянию SQ мира W^ дало

394 В. К. Финн

в результате множество формул Д_п-1 и J(_v^_n-\^(C' =>₂ A) £ A_n_i. Однако КАТ Т = (S, £',&), где п. п. в. 1-го и 2-го рода принадлежат множеству 3£, а (АКП)^(±) принадлежат множеству аксиом Е. J(^_n_,)(C^; ^₂ -4) € £', если относительно £₀ выполняются (АКТ!) , в противном случае

So есть некоторое описание реального мира W⁽ '. {i/, n - 1) есть истинностное значение внутренней формулы С¹ =>2 А, приписанное ей в силу JS M-рассуждения. Следовательно, формула J(_V^^\^(C' ^₂ А) выражает утверждение о том, что С' =>2 А имеет истинностное значение {z/, n — 1), приписанное этой формуле в силу JS M -рассуждения (и, в частности, п. п. в.

1-го рода 1^)), где v G {+, -Дт}), и начального состояния So мира W^. Однако в реальном мире (т.е. возможно при других способах задания So и других способах оценивания С' =>2 А) формула С¹ =>2 А может не быть истинной. Таким образом, J^_n^\)(C' =$2 А) является лишь правдоподобной гипотезой, а п — 1 — ее степень правдоподобия.

Правдоподобие этой гипотезы определяется использованием So, п.п.в. 1-го и 2-го рода, учитывающих (+) -примеры и (—)-примеры как возможные средства фальсификации в смысле К. Р. Поппера, и, наконец, выполнимостью

к.д.о.п. г., т.е. (АКП)^(±) для W^(±).

Наши гипотезы вида J(i/_jm)(C" =$2 А) и J(_I/?m)(C =>i А) состоят из «те-ла» — С' =>2 А и С =>\ А и, соответственно, оценки, приписанной посредством связки J{i/,m> (т.е. J-оператора). Поэтому «тело» гипотезы не бывает в КАТ логически истинным, а может быть лишь правдоподобным (т. е. имеет оценку (i/, n) — внутреннее истинностное значение или фактическое истинностное значение). Сама же гипотеза (как элемент КАТ, т.е. элемент !У) может быть логически истинна, ибо J(_z/?m)(C' =>2 А) выражает утверждение, что в КАТ С' =>2 А имеет истинностное значение (i/,m>, конструктивно порожденное JSM-рассуждением.

Аналогичное имеет место и для «тела» гипотезы вида С =>\ А.

Пусть n — номер шага стабилизации JSM-рассуждения, тогда для всех т ^ n имеют место следующие рекуррентные соотношения, соответственно, для гипотез вида J(_r,_TO_i)(C' =>2 А) и J(_r>m)(C =>\ А):

Для m = n, где n — номер шага стабилизации JSM-рассуждения, Sn+i = S_n+2, а так как S_n+_} = Г_п U Д_п+, и S_n+2 = Г_п+2 U Д_п+ь то Г_п — Г_п+2-

Таким образом, множество всех гипотез вида J(_T^(C =^\ А) не изменяется на шаге n -h 2. Отметим в связи с этим, что возможен случай, когда все «неопределенности» доопределены в процессе JSM-рассуждения.

Мы уже отмечали, что «тела» гипотез (т. е. формулы вида (С' =>2 А) или (С =>| А)) не могут быть логически истинными, так как их оценивание —

результат правдоподобного JSM-рассуждения. Их истинностные значения, порожденные п.п.в 1-го и 2-го рода, соответственно, имеют вид (z/,га), где z/ G {!,-!,О, т}, a m £ N. Причем число шагов правдоподобного вывода выражает степень правдоподобия типа истинностного значения i/. Следовательно, гипотезы, порожденные JSM-рассуждением, имеют фактические истинностные значения с некоторой степенью правдоподобия, что отвечает скептическому взгляду Д. Юма на результаты индуктивного обобщения на основе сходства (ассоциации идей в его смысле) [34].

5. JSM-рассуждение как конструктивная абдукция

Второй этап JSM-рассуждения, состоящий в проверке выполнимости критерия достаточного основания принятия гипотез относительно заключительного состояния знаний S_n о мире W^\ является абдукцией [3]. Абдукция в смысле Ч. С. Пирса [3], [4], [2] есть вывод, результатом которого является принятие гипотез, объясняющих данное множество фактов.

Пусть дано множество фактов Г, пусть, далее, выдвинуто множество гипотез А таких, что А объясняет факты из Г. Тогда множество гипотез А принимается, а принятие А, объясняющих Г, и является результатом аб-дуктивного вывода. Схематично эта идея Ч. С. Пирса может быть выражена следующим образом:

(1) Г — множество фактов,

(2) А — множество гипотез,

(3) А объясняет Г

гипотезы из А правдоподобны.

Отметим, что Ч. С. Пирс употреблял и термин «вероятные гипотезы». Однако термин «правдоподобные гипотезы» уместнее, ибо, формулируя идею абдукции, он подчеркивал ее качественные характеристики — объяснительную силу гипотез из А и следование множества фактов Г из А при условии их объяснения гипотезами из А.

В [35] схема абдуктивного вывода была несколько усилена, а именно:

(1) Г — множество фактов,

(2) А — множество гипотез,

(3) А' — множество наилучших гипотез, где А' С А,

(4) А объясняют Г

гипотезы из А' правдоподобны.

Следует обратить внимание на необходимость уточнения и формализации некоторых аспектов идеи абдукции.

Во-первых, множество гипотез А в схеме Ч. С Пирса лишь выдвигается, а не порождается в силу какой-либо формальной процедуры.

Во-вторых, отношение «А объясняет факты из Г» также предполагает уточнения и процедуральную характеризацию.

396 В. К. Финн

В-третьих, в формулировках идеи абдукции у Ч. С. Пирса (а также в формулировках абдукции у тех исследователей, которые пытались формализовать идею Ч. С. Пирса, — см., например, [35], [36]) отсутствует механизм оценивания принимаемых гипотез как правдоподобных высказываний, степень правдоподобия которых должна быть конструктивно определена.

В-четвертых, в работе [35] идея упорядочения на множестве гипотез Д также должна быть выражена таким образом, чтобы конструктивно порождались «наилучшие оценки правдоподобных гипотез», что требует разработки специальных формальных средств.

В-пятых, схема абдуктивного вывода, как правило, формулируется без формального описания взаимодействия абдукции с другими познавательными процедурами (индукция, дедукция, аналогия). Однако Ч. С. Пирс стремился сформулировать методологию познания как взаимодействие абдукции, индукции и дедукции.

В-шестых, хотя Ч. С. Пирс понимал роль фальсификации в процессе порождения нового знания, он не указал конкретных формальных средств ее реализации.

В-седьмых, формулируя идею абдукции как важной познавательной процедуры, Ч. С. Пирс не указал на типы представления знаний и типы миров (онтологии), соответствие между которыми нужно учитывать при формализации абдукции и порождении оценок результатов правдоподобного вывода.

Далее мы постараемся показать, что JSM-метод автоматического порождения гипотез является нетривиально организованной абдукцией такой, что семь только что сформулированных аспектов идеи абдукции находят в ней свое завершение: JSM-рассуждение уточняет и формализует их.

Наконец, мы можем сформулировать следующую проблему.

(Q2) Существует ли формализованное рассуждение, реализующее синтез познавательных процедур, включая индукцию, такое, что оно применимо для извлечения нового знания из фактов в открытых теориях?

В начале настоящей статьи в связи с фундаментальным принципом фальсифицируемости гипотез и теорий, введенным К. Р. Поппером (но ранее рассматриваемым Ч. С. Пирсом), был сформулирован следующий вопрос:

(С 1) Возможно ли построить систематическую процедуру такую, что она при каждом состоянии знаний о решаемой проблеме будет детерминирован-но порождать посредством явно сформулированных правил все возможные фальсификаторы выдвигаемых гипотез?

JSM-рассуждение есть конкретный ответ на поставленные вопросы (Q\) и (Q2).

Очевидно, что посредством JSM-рассуждения порождаются гипотезы двух сортов, принадлежащие множеству Г_п+2 U Д„+ь где n — номер шага стабилизации JSM-рассуждения (т.е. Г_п — Г_п+2). Мы обозначили посредством S_n+2 множество всех порожденных гипотез, т. е. S_n+2 — Г_п+2 U

Дп+1.

397

из W^. Следовательно, S_n+2 ^не постулируются, а конструктивно порождаются.

Оценки гипотез, принадлежащих 5„+2, конструктивно порождаются. Следовательно, для J(v,_n+\}(C' =>2 A) G Д_п_и и для J(^_n}(C =ï\ A) G Г„ истинностные значения (i/, n-f 1) и (//,п), где z/,p G {l, —l, 0, r}, порождаются конструктивно посредством п. п. в. 1-го и 2-го рода, соответственно, а п и n -f l выражают степени правдоподобия полученных гипотез.

Строение правил правдоподобного вывода 1-го рода таково, что в посылках содержатся следующие комбинации предикатов M£_m(V, W) и

В первом случае (т.е. для правила (1^) пара (F, W), удовлетворяющая Mâ,m(V,W), является фальсификатором для приписывания истинностного значения (1,ш + 1). Аналогичное имеет место для пары (V, W), удовлетворяющей M£m(V, W) (т.е. для правила (1^).

Одновременная выполнимость M£_m(V, W) и M_a~_m(F, W) означает, что пара (V, W) порождает гипотезу J(₀,_m-i-i>(C" =>2 А), которая выражает фактическое противоречие, используемое для фальсификации гипотез 2-го рода.

Автоматическое порождение всех возможных фальсификаторов в состоянии знаний S_т о мире W^ является характерной особенностью JSM-рассуждения, а, следовательно, мы получаем положительный ответ на вопрос (QI). Этот ответ есть спецификация идеи К. Р. Поппера в рамках JSM-метода автоматического порождения гипотез.

Продолжим теперь обсуждение строения абдуктивного вывода, имея целью уточнение приведенной ранее ее схемы в рамках формализации JSM-рассуждений.

Снова рассмотрим строение абдукции:

Г — множество фактов,

А — множество гипотез, А объясняет Г

Следовательно, гипотезы из А правдоподобны.

В качестве Г выберем Г₀ — факты из начального состояния 5₀ = Г₀ U A₀ JSM-рассуждения. Под А будем понимать множество гипотез состояния знания S n такое, что

398 В. К. Финн

(I) [S_n] = S_n+i =Г_яиД_пч.,,

(II) [5„-и] = S_n+2 = Г_п+2 U A_n+i и S_n+{ = S_n+2, т.е. n — номер шага стабилизации JSM-рассуждения. Таким образом, в качестве А рассмотрим указанное выше A_n+i, где Д_п+1 — множество гипотез о (±)-причинах W^.

Элементы множества A_n+î имеют вид J(_v^_n+^(C' =Ф₂ А), а элементы множества Г_п имеют вид J(_vn)(C =»i А), где v E {1, -1, 0, т}, n G N, СЕ #ь С" € ЛГ₂.

Пусть

Mat„(V, JP)&-nM_fl-„(V, ТГ), если z/ - l P*fV Wï = l ^nM«U^F>WO&AMV; W), если v = -l ^rn^,"J S 4ztn(F,WO&M_fl:_n(F,ttO, если z/-0

где i/E {1, -1, 0, т}.

Следовательно, имеют место

A)~(j_(r,_n}(C'=ï₂A)&P"_n(C',.

Поэтому можно утверждать, что соответствующие истинностные значения (z/,n + l) и (ï/,n), выражающие степени правдоподобия гипотез, порожденных на очередном шаге рассуждения, определены конструктивно.

Более того, так как (I) [S_n\ = (I) [Г„ U Д„_,] = S_n+l = Г_п U Д_я__ь a (ll)[S_n+]] = (II) [Г_я U Д_п+1] - 5_п+2 = Г_п+2 U Д_п+1, где n - шаг стабилизации JS M-рассуждений, а (I) и (II) — правила правдоподобного вывода, соответственно, 1-го и 2-го рода, то можно утверждать, что А (из схемы абдуктивного вывода) — не постулированное множество гипотез, а конструктивно порожденное J S M-рассуждением множество гипотез S_n+\ — Г„и Д„+1.

Нам остается теперь уточнить условие (3) из схемы абдуктивного вывода: «А объясняет Г». В нашем рассмотрении это означает, что A_TÎ+i объясняет Г₀, где n — шаг стабилизации JSM-рассуждения, а Г₀ -- множество фактов из начального состояния знаний SQ о мире W^.

Мы будем рассматривать КАТ ./ = {£, Е^;, и) такие, что (АКП)^(<7) G S, где а — {-[-,-}, т.е. мы предполагаем, что W^ является симметричным. Таким образом, каждый факт W^(±) вида J(»$)(€ =>\ А) должен получить объяснение посредством гипотез о причинах J^_n^(C' ^>₂ А), где v = ±1, а С¹ С С.

Эпистемология синтеза познавательных процедур 399

Напомним, что (АКП)'*⁷' — аксиомы каузальной полноты — имеют вид:

Однако для заданного SQ (АКП)'*' могут не выполняться, тогда состояние знаний 5о о W^ должно быть расширено до 5J,..., SQ , таких, что

(АКП)^⁷' станут выполнимыми. Возможность расширения знаний о W^ означает, что КАТ У является открытой системой знаний.

Очевидно, что SQ С SQ С ... С SQ™\

Следует отметить, что практически т может быть не найдено в силу неполноты информации о W^, порожденной конкретными обстоятельствами.

Тогда осуществляется практическая «расходимость»: J S M-рассуждения и гипотезы не могут быть приняты на достаточном основании.

Пусть Л+i - {Е,Е'_я+1,а), где Е^, - S_n+l = Г_п U А_п+ь где n -номер шага, на котором стабилизируется JSM-рассуждение. Тогда J_n+\ будем называть n + 1-м состоянием КАТ У = (E, E',3ft), где Т.'_п+] С ХУ. По указанным ранее причинам (отсутствие некоторых фактов в Го) в У_п+\

(АКП)^' могут не выполняться, а, следовательно, не все факты из Го будут объяснены в Л+ь Вместе с тем J^₊₁ образует формальные рамки для конкретных абдуктивных выводов, реализуемых как в интеллектуальных системах с соответствующими базами данных и базами знаний, так и в прикладных исследованиях, организованных в соответствии с требованиями КАТ.

Для уточнения условия (3) из схемы абдуктивного вывода («А объясняет Г») нам потребуется определенным образом расширить язык L'_e. В этом расширении мы можем определить предикат ^(Д,Г), означающий, что высказывания из Д объясняют все высказывания из Г, где a G {+,—}•

Теперь мы можем уточнить схему абдуктивного вывода средствами JSM-рассуждений:

Го U АО — множество фактов, Г_п U А_п+1 — множество гипотез, п+1,Го) истинно

Следовательно, Г_п U A_n+i — принятое множество правдоподобных гипотез, где

(1)[г_пид_п_,]-г_пид_п+ь

(II) [Г_пиА_п+1]-Г_пЧ.₂иА_п+, и Г_п = Г_п+2, (I) и (II) — п. п. в. 1-го и 2-го рода, соответственно.

Таким образом, мы можем показать, что JSM-рассуждение есть конструктивная абдукция, использующая автоматическое порождение гипотез с истинностными значениями (степенями правдоподобия), определяемыми посредством правил правдоподобного вывода 1-го и 2-го рода, соответственно.

400 В. К. Финн

Итак, мы обосновали следующее

Утверждение Abd: JS M-рассуждение есть конструктивная абдукция.

Полученное утверждение Abd сформулировано в сильной форме, а именно оно использует симметричный предикат объяснения ^(А,Г) ^

/⁺(Д,Г) V <^~(Д,Г), соответствующий природе мира W^\ в котором присутствуют равноправно (-f)-причины и (—)-причины. Однако в зависимости

от цели исследования и конкретной специфики предметной области W^ можно ограничиться частичным объяснением, использующим только (-f)-причины или только (-)-причины. Такое объяснение мы будем называть несимметричным.

Подчеркнем также, что формализация абдукции средствами JSM-метода автоматического образования гипотез осуществляется в рамках КАТ, так как

(АКП)^ принадлежат множеству аксиом E из J_n = (Е,Г_П U Д_я+1,3в), но КАТ есть представление знаний для открытых (эмпирических) теорий, для которых машинное обучение есть как средство порождения гипотез, так и средство их оценивания и принятия (непринятия).

Очевидно, что в случае несимметричного объяснения посредством <^(Д,Г), где a G {+,-}, соответствующая КАТ J_n = (Е,Г„ U Ä„+i,ft)

такова, что (АКП)*⁷ G E, но лишь одна из (АКП)⁽⁺⁾ и (АКП)⁽~^}.

Абдуктивный вывод, формализованный посредством JS M-рассуждения может быть усилен посредством добавления к КАТ аксиом каузальной непротиворечивости (АКН)*⁷. В этом случае критерием достаточного основания принятия гипотез будет выполнимость (АКП)⁽⁷&(АКН)^<7 G E. Разумеется, что возможен и несимметричный случай усиления абдуктивного вывода.

6. Вывод по аналогии и индуктивное обобщение в JSM-рассуждении

Обсудим теперь строение п. п. в. 2-го рода (см. [13]).

Рассмотрим формулы вида (С =>\ А). Пусть даны две формулы этого вида (Сi =>\ AI) и (02 =h А₂), тогда будем говорить, что эти формулы имеют сходство, если С\ П С₂ ^ 0 и А\ П А₂ ^ 0.

Для выражения сходства формул (в указанном смысле) введем метапре-дикат х. Таким образом (С\ =>\ А\) х (С₂ =>\ А₂) обозначает тот факт, что эти формулы имеют сходство.

В §6 работы [51] показано, что правила правдоподобного вывода 2-го рода могут быть охарактеризованы следующим образом:

(1)(С=>, А)х(^=>,^),

(2) J(\,_n-\)(Cij =>, Aij), г- l,...,fe; j = l,...,r,-

(3) J_(I|„₊₁₎(C=>, A)

B [37] Д. Пойа рассматривал примеры эвристических рассуждений (которые, разумеется, являются лишь правдоподобными), включив в их число умозаключения по аналогии, представленные следующей схемой:

1)' (р аналогично *ф

2)' if) более правдоподобно

(3)' (с несколько более правдоподобно.

Очевидно, что слово «несколько» означает, что (р менее правдоподобно, чем if>. Именно этот эффект выразим в нашей схеме, представленной посредством (1)-(3). В самом деле, степень правдоподобия внутренней формулы (Çij =>! AÎJ) есть (1,п - 1), а степень правдоподобия внутренней формулы С =Фч А), являющейся заключением правила правдоподобного вывода 2-го рода, есть (l,n -f 1). Так как число шагов n +1 больше n - 1, то (С =>\ А) имеет степень правдоподобия меньшую чем (C{j =^\ AÎJ). По терминологии Д. Пойа — «(С =>\ А) несколько более правдоподобна» («несколько» означает понижение степени правдоподобия).

Итак, мы показали, что правила правдоподобного вывода 2-го рода (п. п. в. 2-го рода) являются правилами вывода по аналогии. Так как ъ — 1,..., k, a j = 1,..., г,-, то п. п. в. 2-го рода представляют собой г аналогий, где г = г\ + Г2 Ч-... + г*. Напомним, что k — число гипотез J(\^(Ci =>2 Ai), используемых в качестве исходных данных п. п. в. (П(⁺)). Отметим, что подобным образом рассматривается строение п. п. в. (Н^~^) как правил вывода по аналогии.

Таким образом, имеет место следующее

Утверждение An: Правила правдоподобного вывода 2-го рода Ц(+)) и (Н(~)) являются правилами вывода по аналогии.

Посредством КАТ (как организованного знания об открытых предметных областях) JSM-метод автоматического порождения гипотез может быть представлен как дедуктивная имитация JSM-рассуждения [13], [21], [22]. Тогда п. п. в. 2-го рода представляются посредством аксиом КАТ, а именно:

Аналогично представимы п. п. в. 2-го рода для i/ — О, т.

Обратим внимание на тот факт, что формулы, имитирующие п. п. в. 2-го рода Ц(+)), являются индуктивным обобщением, основанным на вынуждении внутренней формулы (V =>] W) посредством наличия покрывающих ее (+)-причин и отсутствия блокирующих ее (-)-причин (аналогично для п. п. в.

(н<->)).

402 В. К. Финн

Теперь мы можем сформулировать корректно принцип индуктивного

обобщения (ПИО)^ для (-f)-гипотез: для всякого V и всякого W, если существует множество (-f)-причин, покрывающих W в V, и не существует (—)-причин, блокирующих WE F, то имеет место (V =ï\ W) (т.е. Fобладает множеством свойств W). Это означает, что множество (+)-причин S вынуждает (V ^\ W).

Аналогично формулируется и (ПИО)* .

Аксиомы каузальной полноты (АКП)*⁷, где a G {-f,-}, характеризуют онтологию мира 1-2.1. Для симметричных W^ мы имеем:

У) -> (J_M(Z ^2 Y)&Z С X&Z ± 0)), Y) -+ (J(-^}(Z ^2 Y)&Z С X&Z ± 0)).

Дело в том, что формулы J(]_to)(X =Фч Y) представляют факты а, следовательно, (АКП) , (er G {+,—}) характеризует класс фактов симметричного мира 1-2.1. (ПИО)^, (er G {-h,-}) порождают предсказания о W^, т.е. новые знания о мире 1-2.1. Получение нового знания происходит в результате установления сходства (+) -примеров (соответственно (—) -примеров) и приписывания оценки высказыванию, которое вынуждается

в силу (ПИО)^И, (а €{+,-}).

Таким образом, результат сходства примеров «одного знака» ((±) -примеров) переносится по аналогии на случаи неопределенности (в посылках п. п. в. 2-го рода это обстоятельство представлено формулой J(_T,n)(Y =h W))-Следовательно, (ПИО)^' уточняет принцип единообразия природы в смысле Дж. С. Милля: в сходных обстоятельствах сходные объекты имеют одинаковые (или сходные) эффекты [18]. (АКП)^' есть достаточное основание (в смысле Г.Лейбница [38]) для принятия порожденных гипотез, представляющих новое знание о мире 1-2.1.

Однако в JS M-методе автоматического порождения гипотез (а, следовательно, в метатеории JSM-рассуждений) имеет место следующая теорема обратимости п. п. в.:

W) - (J(r,n)(V =h W)&IÜ(V,W))).

Аналогичная теорема имеет место и для П_п (V, W).

Эти теоремы выражают принцип конструктивности предсказания.

А именно: порожденная в силу (ПИО)^ гипотеза J(\_in+\)(C =>] ^4) выражает тот факт, что внутренней формуле (С =»i A) приписывается истинностное значение (l,n -f 1), т.е. (С ^>\ А) имеет тип истинностного значения «фактическая истина» (+1), полученного на (п + 1)-ом шаге JSM-рассуждения из исходных фактов и знаний 5_Ш, 0 ^ m ^ п, посредством применений п. п. в. (п + 1) раз, причем последним — (п Ч- 1)-м

является применение п. п. в. 2-го рода. Следовательно, истинностные значения JS M-рассуждения порождаются конструктивно применением п. п. в. к фактам и знаниям.

Оценивание предсказаний о мире 1-2.1 (т.е. гипотез вида »i Л), где i/ 6 {1, -1, 0, т}) реализуется посредством вы-нуждения приписываемых истинностных значений (i/,n + 1) на основании гипотез о (±) -причинах, порожденных п. п. в. 1-го рода.

П. п. в. 1-го и 2-го рода являются средством формализации познавательных процедур (поиска сходства объектов, индукции и аналогии). Следовательно, они принадлежат точной эпистемологии для W^. Можно убедиться в согласованности онтологических аксиом мира 1-2.1 (АКП) ' и эпистемологических принципов (ПИО)^ (а € {+,-}). В самом деле,

(АКП)^' утверждают, что каждый факт из W^ содержит, соответственно, {+)- или (-)-причины, ответственные за наличие или отсутствие множеств свойств. Но (ПИО)^⁷' утверждают, что каждое предсказание вида | А), полученное посредством п. п. в. 2-го рода, таково, что оно вынуждается (±)-причинами, т.е. (+)-причинами — для J(i_?n+i)(C =>j A) и (-)-причинами — для J(__ljfl+1)(C =Фч А).

Итак, приписывание неклассических истинностных значений элементарным высказываниям в 5„ (га-ом состоянии знаний о W^) основано на согласовании характеризации онтологии W^ и познавательных процедур, представленных в точной эпистемологии для W^.

Подчеркнем еще раз, что обратимость п. п. в. 1-го и 2-го рода выражает адекватность онтологии и точной эпистемологии мира 1-2.1. В самом деле, утверждение гипотезы о причине эквивалентно применимости п. п. в. 1-го рода, а утверждение гипотезы о наличии (отсутствии) множества свойств у объекта эквивалентно применимости п, п. в. 2-го рода. Факты мира 1-2.1

характеризуются (АКП) , где a G {+, —}, а знания о мире, являющиеся результатом применения п. п. в. 2-го рода, характеризуются — аналогично (АКП) — посредством гипотез о (±)-причинах. Таким образом, оценивание фактов и знаний связано с наличием (±) -причин, характерных для симметричного W^'. Указанная согласованность онтологии W^ и его эписте-г^ологии, реализующей оценивание знаний посредством JSM-рассуждения, является основанием теории истинностных значений для итеративной логики JSM-метода автоматического порождения гипотез.

Ранее было показано, что JSM-рассуждение завершается абдуктивным выводом, результатом которого может быть:

(a) принятие порожденных гипотез;

(b) расширение 5₀ — начального состояния знаний о мире W^i

(c) непринятие порожденных гипотез.

Случай (Ь) реализуется тогда, когда (АКП)^ не выполняется относительно начального состояния знаний о W^\ т.е. SQ. Тогда 5₀ должно быть

404 В. К. Финн

расширено так, чтобы достигнуть выполнимости (АКП) : SQ С S'_Q С ... С

SQ — некоторое начальное состояние знаний о W^\ такое, что (АКП)^(<7) относительно него выполнимо. Это означает, что выполним симметричный предикат объяснения <1(Д,Г). Из сказанного следует, что JSM-рассуждение может применяться в интерактивном режиме в условиях расширения открытой базы фактов. Из этого вытекает, что обсуждаемая точная эпистемология предполагает вмешательство в JSM-рассуждение (если это необходимо) человека, применяющего JSM-метод как полуавтоматизированный Рассуждатель. Следовательно, рассматриваемая нами точная эпистемология является эпистемологией с познающим субъектом. Указанное обстоятельство является серьезным ее отличием от эволюционной эпистемологии К. Р. Поппера — эпистемологии без познающего субъекта [1].

Таким образом, роль абдукции в JSM-рассуждении состоит либо в принятии порожденных гипотез, либо в диагнозе необходимости расширения SQ, либо в непринятии множества порожденных гипотез. Следовательно, абдукция является средством управления рассуждением.

В [9] было отмечено, что третьим периодом в истории логики является изучение процесса рассуждения, понимаемого как управляемая формализованная система познавательных процедур. Следовательно, логика является дисциплиной, изучающей рациональные аспекты интеллектуальной деятельности — эвристические процедуры, рассуждения, строение и представления знаний. Изучение же формальных аспектов познавательной деятельности человека дает возможность создавать интеллектуальные системы, синтезирующие познавательные процедуры, что порождает потребность в объединении логицизма и психологизма в широком смысле этих терминов. Исследование и формализация эвристических процедур как средства познавательной деятельности весьма существенно для развития идей эпистемологии, ибо эвристика соединяет мир ментальных состояний (мир 2) и мир объективного содержания мышления (мир 3).

Мысль Н. Решера в [2] о том, что следует изучать эвристику (что отрицал К. Р. Поппер) для уточнения и формализации «абдуктивного инстинкта» Ч. С. Пирса, представляется весьма важной. Необходимость создания нетривиальных Рассуждателей в современных интеллектуальных системах является убедительным аргументом, подтверждающим важность этой идеи.

Принятие гипотез посредством абдукции в JSM-рассуждении является средством согласования онтологии и эпистемологии мира 1-2Л. Действительно, не каждое истинное высказывание внешнего языка L_e принимается посредством абдукции как критерия достаточного основания, представленного в виде (АКП)-^, где а £ {+, -}. Порожденная посредством п. п. в. 2-го рода гипотеза J(\_yn+\)(C =>i А) истинна в Ь_е. А именно: J(i_?n+i)(C =>i A) утверждает, что внутренняя формула (С =>i А) языка L_z имеет истинностное значение (l,n-f l), т.е. тип этого истинностного значения «1» («фактическая истина»), а степень этого истинностного значения равна n-f 1, где n + 1 — номер шага JSM-рассуждения. Таким образом, оценка внешней формулы J(i_)TH_i)(C =^i A) есть «логическая истина», обозначаемая посред-

Эпистемология синтеза познавательных процедур 405

ством t. Однако относительно реального мира (а не в мире, представленном некоторым знанием о нем) (С =>\ А) может иметь другую оценку. Следовательно, (l,n -h 1) выражает лишь правдоподобную оценку, конструктивно порожденную JSM-рассуждением из 5₀. Следовательно, возможность ошибки при приписывании фактической истины формуле (С =>\ А) не исключается. Таким образом, формула (С =>\ А) языка Li может получить неверную оценку, но формула J(i_jn+1)(C =Фч А) в L'_e будет логически истинной (истинной в смысле двузначной логики). Однако, даже если J(\_tn+\)(C =>\ А) имеет корректную оценку (l, n -h 1), то она не обязательно будет принята как результат JSM-рассуждения, ибо J(\^_n+\}(C =h A) будет принята тогда и только тогда,

когда будут выполнены (АКП) , т.е. реализуется критерий достаточного основания, формализованный посредством абдукции в JSM-рассуждении.

Таким образом, формула J(_v] А), где v G {l, -l, 0, т}), полученная посредством п. п. в. 2-го рода JSM-рассуждения может быть логически истинной в L_e, но не принятой в качестве гипотезы. Следовательно, логическая истинность формул в L_e и их принятие не совпадают. В этом смысле принятие гипотез, порожденных JSM-рассуждением посредством абдукции, играет роль правдоподобной доказуемости (термин «правдоподобная доказуемость» употребляется, разумеется, лишь в метафорическом смысле).

Приведенные соображения проясняют необходимость различения логических истинностных значений (£,/) и фактических истинностных значений ((i/,n), где z/ G {l, —l, 0, r}, n £ N). Это различение напоминает различение между «аналитическими истинами» и «синтетическими истинами», которое подробно обсуждалось в истории философии. Это означает, что используемая в настоящей статье терминология (т.е. термин «фактические истинностные значения») является прежде всего результатом технических потребностей формализации правдоподобных рассуждений в рамках JSM-метода автоматического порождения гипотез.

7. Индукция в JSM-рассуждении: частное решение проблемы индукции

Рассмотрение п. п. в. 1-го рода показывает, что п. п. в. 1-го рода порождают гипотезы о (±) -причинах сходства объектов. Причем истинностные значения рассматриваемых (±) -примеров суть (z/,n), где v — ±1, а истинностное значение заключения есть (i/, n + 1), т. е. его степень правдоподобия меньше степени правдоподобия (±) -примеров, входящих в посылки правила.

Однако результирующее индуктивное обобщение, устанавливающее связь между предикатом V =>\ W и предикатом V =>₂ W, получается лишь после применения п. п. в. 2-го рода. В самом деле, принцип индуктивного обобщения (ПИО) JSM-метода автоматического порождения гипотез для (+) -примеров формулируется следующим образом:

406 В. К. Финн

Очевидно, что гипотезы вида J(\^(Xi =>₂ ^i), входящие в П£(У, W'), являются вынуждающими условиями для гипотезы J(\,_n+i)(V =>i W).

Однако принятие гипотез J(\_in+\)(V =>\ W) (где n — номер шага стабилизации JSM-рассуждения) происходит лишь при условии выполнимости критерия достаточного основания — (АКП)*⁷, где a G {+, -}.

Таким образом, предикат Hn(V,W) формализует «перенос» эмпирических причинно-следственных зависимостей по аналогии (см. Утверждение An), порожденных посредством п.п.в. 1-го рода. Эти зависимости (т.е. гипотезы о причинах) являются вынуждающими условиями для предсказания эффекта (V =>i W), которому конструктивно (посредством п. п. в. 2-го рода) приписывается правдоподобная оценка «1» («фактически истинно») на (п + 1)-м шаге.

Следовательно, индукция (как процедура получения обобщения из примеров) в JSM-рассуждении формализуется посредством п. п. в. 1-го рода,

п. п. в. 2-го рода и (АКП) , a G {+, -}. А, значит, индуктивное обобщение принимается на достаточном основании (заметим в связи с этим, что методы Дж. С. Милля [18] являются лишь этапом индукции — поиском сходства объектов).

Следует обратить внимание на встроенность процедуры фальсификации (в смысле К. Р. Поппера [6]) в п. п. в. 1-го рода, так как посылки этих правил содержат M^_n(V,W)&^Mä,n(V,W) или ^M^_n(V,W)&Mâ,_n(V,W), или M£n(V,W)&M^_n(V,W) (случай -.М^п (V,W)&^M^_n(V,W) сохраняет неопределенность в исходных данных).

Следовательно, в JSM-методе автоматического порождения гипотез индукция понимается как взаимодействие трех процедур — поиска сходства объектов (т.е. порождение гипотез о причинах), получения индуктивного обобщения (т. е. установление связей между вынуждающими условиями и гипотезами вида Jfan+\)(V =Фч W), где v — ±1) и, наконец, применения критерия достаточного основания (т.е. проверка (АКП) , a G {±}).

Итак, мы приходим к следующей формуле индукции в JSM-методе: индукция = (поиск сходства объектов н- индуктивное обобщение) + принятие

гипотез посредством (АКП) , где a G {+,—}.

Эта формула резюмирует решение проблемы индукции в рамках JSM-ме-тода автоматического порождения гипотез. Очевидно, что это решение отлично от попперовского решения этой проблемы [6]. Оно весьма близко по установкам к идеям Ч. С. Пирса — структурировать эвристику (см. в связи с этим [2], [3], [4]).

Можно на основе сказанного сформулировать следующее

Утверждение Ind: JS M-рассуждение формализует индукцию посредством трех распределенных и взаимодействующих процедур: п. п. в. 1-го

и 2-го рода и проверки (АКП)^⁷', где a G {+, -}.

В силу Утверждения Abd и Утверждения An получаем следующее.

Эпистемология синтеза познавательных процедур 407

Утверждение Syn: JSM-рассуждение есть специальным образом организованное взаимодействие индукции, аналогии и абдукции, содержащее процедуру фальсификации.

В самом деле, в силу Утверждения An JSM-рассуждение содержит вывод по аналогии, в силу Утверждения Abd оно содержит абдуктивный вывод, а из Утверждения Ind следует, что в JSM-рассуждении распределенным образом (на трех этапах рассуждения) содержится индукция, понимаемая согласно формуле: (поиск сходства + индуктивное обобщение) 4- критерий достаточного основания принятия гипотез (т.е. (АКП) , где a £ {-f, -}).

Еще раз подчеркнем, что мы получили положительный ответ на вопрос (Q2): JSM-рассуждение есть формальная конструкция, реализующая синтез познавательных процедур — индукции, аналогии и абдукции (в соответствии с Утверждением Syn).

Из нашего решения проблемы индукции вытекает важный методологический вывод: формализация индукции как познавательной процедуры, реализуемой на достаточном основании, возможна в связи с другими познавательными процедурами — аналогией, абдукцией и фальсификацией. С этой точки зрения изолированное рассмотрение индукции вряд ли является продуктивным.

Рассмотрим п. п. в. 1-го рода для позитивного случая

/•ml -f- I \ "" V >'V V* '^* ** ? 1------**>'* \ " 7 * * / ~~ — "0,71 \ ) /

⁽ ' J(l,n+l)(V ^2 W) •

Введем обозначения:

7T(fc) - VtVj ((t Ï j&l ^ ij < *) -» Zi ± Zj).

Характеризация индукции, приведенная ранее, предполагает выделение сходства рассматриваемых случаев изучаемого явления. В нашем рассмотрении изучаемое явление представимо посредством предиката X =>_} Y: «объект X обладает множеством свойств F». Эти позитивные явления ((-f)-примеры) представимы формулами p+(Z,-,E/i), где i = 1,...,Ä;, a k ^ 2. Отметим, что (p+(Zi,Ui), содержащие предикат Z{ =>_} U{, входят в M^_n(V,W). Следовательно, изучаемое явление «окружено» контекстом:

((П Zi = V)& &V ф 0), îr(fc), k ^ 2, VXVY((
С X) -+ »=i

(W С F&^(Z,F, W,Z\,... ,#fc))). Аналогично контекстом для изучаемого явления можно считать -»M^_n(V,W) (очевидно, что M^„(V,W) содержит представления (-)-примеров посредством,(p~(Z^Ui)).