В задачах 1 – 6 вычислить интегралы



жүктеу 55.41 Kb.
Дата30.06.2016
өлшемі55.41 Kb.
5.3. Задачи для самостоятельного решения

В задачах 1 – 6 вычислить интегралы.

1. , где Г – отрезок прямой у = х - 2, заключенный между точками А (0, -2) и В (4, 0).

Ответ. ln 2.
2. , где Г – отрезок прямой, соединяющий точки О (0, 0) и А (1, 2). Ответ. ln .
3. , где Г – контур прямоугольника с вершинами

О (0, 0), A (4, 0), B (4, 2), C (0,2). Ответ. 24.


4. , где Г – первая арка циклоиды х = a (t – sin t),

y = a (1 – cos t). Ответ. 4  а .


5. , где Г – четверть эллипса = 1, лежащая в первом квадранте. Ответ. .
6. , где Г – окружность х2 + у2 = а х.

Ответ. .

7. Найти длину дуги полукубической параболы у2 = х3 от начала координат до точки (4, 8).

Ответ. (10 - 1).

8. Найти длину кардиоиды r = a (1 + cos ).

Ответ. 8 а.

9. Найти длину петли линии x = t2, y = t - .

Ответ. 4 .

10. Найти массу участка линии у = ln x между точками с абсциссами х1 и х2, если плотность линии в каждой точке

 (х) = х2.

Ответ. (х22 + 1) - (х22 + 1) ].

11. Найти массу первого витка винтовой линии

х = а сos t, y = а sin t, z = b t, плотность которой в каждой точке равна квадрату полярного радиуса этой точки.

Ответ. .



5.4. Варианты проверочной работы


Вариант 1

1. Найти массу дуги окружности х = cos t, y = sin t

(0  t  ), если линейная плотность ее в каждой точке равна у.

2. Найти длину отрезка прямой у = 2 – х от точки

А (3, -1) до В (0, 2).

Вариант 2


1. Найти длину отрезка прямой у = + 1 от точки

А (2, 2) до В (4, 3).

2. Найти массу дуги окружности x = R cos t, y = R sin t,

0  t  , если линейная плотность ее в каждой точке равна х.



Вариант 3

1. Найти длину первого витка винтовой линии х = 2 cos t,

у = 2 sin t, z = t, 0  t  2 .

2. Найти массу окружности х2 + у2 = ах, если плотность

 = у.

Вариант 4


1. Найти массу отрезка прямой у = + 1 от точки

A ( 0, 1) до точки B (4, 3), если плотность  = х + 3у.

2. Найти длину окружности х2 + у2 = ау.


Вариант 5


1. Найти длину линии r = sin3 , если .

2. Найти массу участка кривой x = t, y = , z = t3,

если t = [0, 1], а плотность  = x + z.

Вариант 6

1. Найти длину астроиды x = a cos3 t, y = a sin3 t.

2. Найти массу отрезка прямой х + у = а, заключенного между координатными осями, если плотность  = х у.


Вариант 7


1. Найти длину полукубической параболы y = ,

если x  [-1, 4].

2. Найти массу участка линии x = t, y = t2, если

t  [0, 1], а плотность  = х + .



Вариант 8


1. Найти длину участка линии х = t3 – t, y = t2 + 2,

если t  [0, 3].

2. Найти массу правого лепестка лемнискаты

r2 = a2 cos 2 , если плотность  = х + у.



Вариант 9

1. Найти длину первой арки циклоиды x = a (t – sin t),

y = a (1 – cos t).

2. Найти массу дуги параболы у2 = 2 р х, отсеченной параболой х2 = 2 р у, если плотность  = у.



Вариант 10


1. Найти длину участка линии х = у2 - ln y, если

у  [1, е].

2. Найти массу четверти эллипса x = a cos t, y = b sin t, если плотность  = ху.

ТЕМА 6. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ


ВТОРОГО РОДА
6.1. Теоретические сведения
I. Криволинейный интеграл 2-го рода

+ Q (x, y) dy также вычисляется сведением к определенному интегралу. Для этого необходимо, так же как и в интегралах 2-го рода, в подынтегральном выражении

Р (x, y) dx + Q (x, y) dy перейти к одной переменной.

II. Если требуется вычислить криволинейный интеграл по замкнутому контуру L + Q (x, y) dy, то используют формулу Грина

+ Q (x, y) dy = dx dy.

Т.е. криволинейный интеграл сводится к двойному интегралу по области D, ограниченной контуром L.

Криволинейный интеграл 2-го рода, в отличие от криволинейного интеграла 1-го рода, зависит от направления интегрирования. При смене направления на противоположное интеграл меняет знак.

6.2. Рекомендации по решению типовых задач
Пример 1. Вычислить , где Г – часть окружности х2 + у2 = R2, пробегаемая против часовой стрелки, лежащая в I четверти.
Решение. Из уравнения окружности х2 + у2 = R2 выразим у: y = + . Перед корнем поставлен знак плюс, т.к. в первой четверти у  0. Найдем dy: dy = - . После подстановки у и dy под знак интеграла подынтегральная функция будет зависеть только от х, а пределы интегрирования по х, учитывая, что интегрирование ведется против часовой стрелки будут R и 0. Таким образом,

= + dx =

= = = R2 (6 - 5 R).


Пример 2. Применяя формулу Грина, показать, что криволинейный интеграл + (3х2 + 5х) dy по любому замкнутому контуру равен нулю.
Решение. Функции P (x, y) и Q (x, y) из формулы Грина у нас имеют вид:

P (x, y) = 6 ху + 5у, Q (x, y) = 3х2 + 5х.

Поэтому = 6 х + 5, = 6 х + 5.

Тогда + (3х2 + 5х) dy =

= = = 0.

6.3. Задачи для самостоятельного решения
В задачах 1 – 3 вычислить криволинейные интегралы.
1. , где Г – дуга параболы у = х2 от точки

О (0, 0) до точки A (2, 4). Ответ. - .


2. , где Г – контур треугольника, образованного осями координат и прямой + = 1, проходимый против движения часовой стрелки. Ответ. 3.
3. , где Г – контур квадрата с вершинами

A (1, 0), B (0, 1), C (-1, 0), D (0, -1). Ответ. – 4.


4. Применяя формулу Грина, вычислить

+ (х + у)2 dy, где Г – контур треугольника с вершинами A (1, 1), B (2, 2), C (1, 3). Ответ. - .
5. Вычислить + (ху + х – у) dy, где Г – окружность х2 + у2 = а х, двумя способами: 1) непосредственно; 2) с помощью формулы Грина. Ответ. -
6. В каждой точке плоскости на материальную точку действует сила , проекции которой на оси координат равны

Р = х у, Q = х + у. Вычислить работу силы при перемещении точки из начала координат в точку (1, 1) : 1 ) по прямой

у = х ; 2) по параболе у = х2 ; 3) по двузвенной ломаной, стороны которой параллельны осям координат (два случая).

Указание: работа находится по формуле

А = + Q dy. Ответ. 1) ; 2) ; 3) ; 1.




ТЕМА 7. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНОГО


ИНТЕГРАЛА
7.1. Теоретические сведения
При помощи двойного интеграла можно вычислять площадь не только плоской фигуры, но и произвольной поверхности. Рассмотрим некоторую поверхность Q, уравнение которой задано в декартовых координатах: z = f (x, y). Считаем поверхность Q такой, что прямая, параллельная оси Оz, пересекает эту поверхность не более чем в одной точке. Обозначим через D проекцию поверхности Q на плоскость хоу. Пусть в области D функция f (x, y) непрерывна сама и имеет непрерывные частные производные fх (x, y) и fу (x, y). Это означает, что в каждой точке поверхности Q существует непрерывно изменяющаяся касательная плоскость и перпендикулярная ей прямая – нормаль к поверхности. Такая поверхность называется гладкой.

Тогда площадь криволинейной гладкой поверхности вычисляется по формуле


Q = dS.

Если поверхность задана уравнением у =  (x, z) и не более чем в одной точке пересекается прямой, параллельной оси Оу, то эту поверхность нужно проектировать на плоскость хоz, и ее площадь

Q = dS, где D = прxoz Q.



©dereksiz.org 2016
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет