Векторная алгебра



жүктеу 0.53 Mb.
бет1/4
Дата20.07.2016
өлшемі0.53 Mb.
  1   2   3   4
Глава 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.
Векторная алгебра и аналитическая геометрия, элементы которой мы будем изучать, имеет своей задачей изучение свойств геометрических объектов при помощи аналитического метода (методов математического анализа и линейной алгебры). В основе аналитического метода лежит т.н. метод координат, разработанный французским математиком Рене Декартом. Суть его заключается в том, что им было установлено существование взаимно- однозначного соответствия между множеством (совокупностью) всех точек прямой и множеством всех вещественных чисел. Рассмотрим прямую линию с выбранным на ней направлением, которую будем называть осью. Выберем на этой оси некоторую точку О (начало координат) и некоторый масштаб (произвольный отрезок, длина которого принимается за единицу). Такая ось называется декартовой координатой на прямой. Декартова координата произвольной точки М определяется длиной отрезка, взятым со знаком плюс, если т. М лежит от т. О в том же направлении, куда направлена ось, и со знаком минус, если в противоположном. Такие отрезки, имеющие две характеристики – длину и направление, называются направленными отрезками или векторами. Заметим, что математические объекты, имеющие только одну (числовую) характеристику, называются скалярами.

Для векторов, как для новых математических объектов, определены следующие математические операции:


3) произведение (скалярное, векторное, смешанное).


Прежде, чем приступить к их рассмотрению, определим понятие геометрического вектора, который и рассматривается в аналитической геометрии: геометрическим вектором (в дальнейшем просто вектором), будем называть направленный отрезок. Обозначается либо двумя буквами, первая из которых указывает его начало, вторая - на его конец: или , либо одной буквой . Начало вектора называют точкой его приложения. Для обозначения его длины (модуля) используется символ модуля или . Если длина вектора равна нулю, его называют нулевым. У такого вектора начало и конец совпадают. Он не имеет определенного направления. Это позволяет при записи отождествлять его с вещественным числом нуль. Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.


Сформулируем теперь понятие равенства двух векторов. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Все нулевые векторы считаются равными. Из этого определения следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе. Такие векторы тождественно равны. Это означает, что точка приложения вектора может быть выбрана произвольно и такие векторы называются свободными.
2.1. Линейные операции над векторами
Произведением вектора на вещественное число называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину, равную и имеющий направление, совпадающее с направлением вектора в случае, если и противоположное направлению вектора , если . Обозначается или . Данная операция обладает сочетательным свойством , доказательство которого достаточно очевидно.
2.1.2. Сложение векторов
Суммой двух векторов и называется вектор , идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что вектор приложен к концу вектора . Обозначается как (правило треугольника).



Поскольку векторы свободные, то аналогичный результат получается, если начала векторов и совместить, а суммой считать диагональ параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах параллелограмма (правило параллелограмма).



Свойства сложения:

1). (перемес-тительное свойство).

2). (сочетательное свойство). 3). (особая роль нулевого вектора).

4). Для каждого вектора существует противоположный ему вектор такой, что .

5).

Доказательство. 1). Совместим начала векторов и





и переместительное свойство очевидно. Доказательство свойства 2 следует из следующих построений:





Свойство 3 непосредственно вытекает из свойства 1. Далее, определим вектор , противоположный вектору , имеющий с ним одинаковую длину, но противоположное направление. Очевидно, что это есть вектор .

Тогда их сумма действительно дает нулевой вектор и свойство 4 доказано. Докажем теперь распределительное свойство 5 для двух векторов , где m – вещественное число.




Построим сумму двух векторов. При растяжении и в m раз диагональ параллелограмма в силу свойств подобия растягивается также в m раз, т.е. . Рассмотрим теперь два вектора , и , где m, n - вещественные числа. Эти векторы коллинеарны и тогда, складывая их, имеем или .

Сложение трех и более векторов производится с использованием сочетательного свойства.



Определение. Разностью двух векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор . Обозначается как . Покажем, что , где - вектор, противоположный вектору . Действительно,

.

Из предыдущего имеем: . Отсюда следует способ построения вектора :





Следствия: 1). Если имеет место равенство , то вектора и коллинеарны. Действительно, . 2). Если имеет место равенство , то векторы компланарны (лежат в одной плоскости). Действительно, или и они лежат в одной плоскости как диагональ параллелограмма и две его стороны.
2.2. ЗАДАЧИ
1. По данным векторам и построить векторы:

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Векторы и взаимно перпендикулярны, , .

Найти , .

3. В треугольнике АВС заданы векторы и .

Построить векторы:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

4. Векторы , служат сторонами треугольника. Определить векторы , , , совпадающие с медианами.

5. В правильном шестиугольнике известно, что , .

Найти , , , .

6. В декартовой прямоугольной системе координат заданы векторы

, , , .

Вычислить:

а) и координаты орта вектора ; б) направляющие косинусы вектора ;

в) координаты вектора ; г) , , .



7. Вектор образует с осями и углы , и .

Найти угол , который образует вектор с осью , и координаты вектора .


Домашнее задание.
8. Векторы и неколлинеарны, , . Найти .

9. В параллелепипеде обозначены: , , .

Построить векторы:

а) ; б) ; в) .

10. Сторона треугольника разделена на три равные части точками , .

Векторы , являются сторонами треугольника.

Найти и .

11. В правильном шестиугольнике векторы , .

Найти , , , .

12. В декартовой прямоугольной системе координат заданы векторы



, , , .

Вычислить:

а) ; б) координаты орта вектора ;

в) направляющие косинусы вектора ; г) .

13. Вектор образует с осями и углы , и . Найти угол , который образует вектор с осью , и координаты вектора .

Ответы. 2. 13, 13. 4. ; ; .

5. , , , . 6. а) , ;

б) ; в) (-3;4;8); г) -3, 4, 8. 7. , . 8. 24.

10. ; . 11. , ,



, . 12. а) ; б) ;

в) ; г) 1. 13. , .

  1   2   3   4


©dereksiz.org 2016
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет