Векторная алгебра
Проекция вектора на ось и ее свойства
жүктеу/скачать 1.41 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Числовой
- 2.3.1. Декартова прямоугольная система координат.
- 2.4. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис.
2.3. Проекция вектора на ось и ее свойства Дан вектор  и декартова ось u. Опустим из точек А и B перпендикуляры на ось и обозначим через точки пересечения их с осью u. Проекцией вектора на ось называется величина направленного отрезка оси u и обозначается . Угол наклона вектора к оси u определяется как угол между двумя лучами, исходящими из произвольной точки М, один из которых имеет направление, совпадающее с направлением вектора , а другой – направление, совпадающее с направлением оси u. Рассмотрим теперь понятие числовой проекции вектора на ось u.
Числовой проекцией вектора на ось u называется произведение длины вектора на косинус угла между вектором и осью u.
. При этом , где - единичный вектор оси u. Основное свойство числовой проекции состоит в том, что линейные операции над векторами приводят к линейным же операциям над проекциями этих векторов:
1. 2. 2. Пусть 2.3.1. Декартова прямоугольная система координат.
Рассмотрим три взаимно перпендикулярных оси (X, Y, Z), на каждой из которых определена декартова координата и введен единый масштаб. Пусть при этом точка О будет общая для всех трех осей как точка их пересечения и назовем ее началом координат. Определим далее для каждой из осей единичный вектор, начало которого находится в точке О:  - единичный вектор оси X, - единичный вектор оси Y, - единичный вектор оси Z. Совокупность этих трех векторов называется ортами осей декартовой системы координат или декартовым базисом. Упорядоченную тройку векторов и, соответственно, систему координат, будем называть правой, если поворот от по кратчайшему направлению осуществляется против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов (и система координат) называется левой. Вектор, идущий из начала координат в произвольную точку А называется радиус-вектором точки А и обозначается или . Числовые проекции радиуса-вектора на оси координат называются координатами радиус-вектора. ; ; .
Обычно координаты радиуса-вектора записывают в виде ; ; .
Очевидно, что .
Рассмотрим теперь вектор и аналогично для всех остальных проекций вектора . Тогда можем записать координаты вектора :
,
где - координаты вектора . Они не зависят, как и должно быть, от положения начальной точки вектора . Очевидно, что и остаются в силе все остальные соотношения для направляющих косинусов вектора . В силу связи между проекцией вектора на оси координат и его числовыми проекциями
; ; . Тогда имеем:
.
Представление вектора Рассмотрим теперь выражения для линейных операций над векторами, когда эти векторы представлены своими декартовыми координатами. Пусть
Поскольку координаты этих векторов являются числовыми проекциями, то на основании изложенных выше свойств числовых проекций можно записать , .
Нетрудно видеть, что линейные операции над координатами векторов совпадают с линейными операциям для матриц, если рассматривать совокупность координат каждого вектора как матрицу, состоящую из одной строки и трех столбцов (вектор-строка). Поэтому координаты вектора можно представлять как вектор-строку или как вектор-столбец. 2.4. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис. Введем некоторую терминологию. Будем называть совокупность всех геометрических векторов, имеющих три координаты в прямоугольной декартовой системе координат, пространством векторов (трехмерное пространство), имеющих только две координаты – пространством векторов (двумерное пространство), и одну – пространством векторов (одномерное пространство). Начнем с наиболее общего случая и рассмотрим в пространстве линейную комбинацию из произвольных n векторов
, (2.1)
где - некоторые вещественные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации.
Определение: векторы называются линейно зависимыми, если найдется такой набор коэффициентов , не все из которых равны нулю, что .
В противном случае векторы ,
то, представляя координаты каждого из них в виде вектор- столбца, линейную комбинацию (2.1) можно записать в виде .
Тогда определить, будут ли n векторов линейно зависимыми или нет, можно следующим образом. Равенство нулю записанной выше линейной комбинации векторов равносильно записи ее в виде однородной системы линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов этой линейной комбинации , (2.2)
которая имеет нетривиальное решение только в том случае, если ранг матрицы этой системы меньше числа неизвестных коэффициентов . Заметим, что ранг матрицы A не может быть больше трех и, следовательно, число линейно независимых векторов в также не может быть больше трех. Чтобы определить, какие из n векторов линейно независимые, нужно выбрать какой-либо базисный минор матрицы A . Тогда по теореме о базисном миноре все его столбцы линейно независимы, следовательно, и векторы, координатами которых являются эти столбцы, также являются линейно независимыми. Максимальное число таких линейно независимых векторов равно максимальному значению ранга матрицы A и называется размерностью пространства векторов, а их совокупность называется базисом. Если добавить к базисным векторам любой другой вектор, то получим уже линейно зависимую систему векторов и тогда этот добавленный вектор можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов. Пусть в базисными будут векторы . Если добавить к ним любой другой вектор , то совокупность векторов будет уже линейно зависимой и этот дополнительный вектор может быть выражен в виде линейной комбинации векторов базиса . Числа называются координатами вектора в этом базисе, а его представление в виде линейной комбинации базисных векторов - разложением вектора по этому базису. Заметим, что в совокупности векторов может быть несколько базисов, но число векторов, образующих базис, всегда одинаково. Значения этих координат находятся из решения системы уравнений , матрицей которой являются координаты базисных векторов, а правая часть – координаты вектора в исходном декартовом базисе. Матрица этой системы уравнений всегда является квадратной и невырожденной.
В случае, когда ранг матрицы A системы (2.2) равен двум, имеется только два линейно-независимых вектора, а это означает, что все векторы линейной комбинации (2.1) компланарны, т.е. лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если же ранг матрицы А оказался равен единице, то все векторы в (2.1) коллинеарны. Применяя все, изложенное выше, к векторным пространствам В заключении рассмотрим простейшую задачу из аналитической геометрии – деление отрезка в заданном отношении, при решении которой можно использовать свойства геометрических векторов. Пусть в .
Заметим, что это равенство возможно только при ,
из которого координаты точки, делящей отрезок в заданном отношении
2.5. ЗАДАЧИ 1. Векторы образуют базис на плоскости. Показать по определению, что векторы , линейно зависимы, и выписать их координаты в базисе .
2. Векторы 3. Даны векторы, имеющие в некотором базисе координаты: 4. Доказать, что векторы 5. Найти вектор 6. На плоскости 7. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;-2;3), В(3;2;1), С(6;4;4). Найти четвертую вершину D, точку пересечения диагоналей О, длины диагоналей.
9. Даны векторы, имеющие в некотором базисе координаты: 10. Доказать, что векторы 11. Найти вектор 12. На прямой 13. Вычислить расстояние от начала координат до точки пересечения медиан треугольника с вершинами в точках А(-1;-4), В(5;0), С(2;1). Ответы. 1. (1;1), (-2;-2). 2. (3;0;0), (1;1;1), (0;0;-2), .
3. 5. 10. жүктеу/скачать 1.41 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|