Векторная алгебра

Векторное произведение в декартовых координатах

жүктеу/скачать 1.41 Mb.

бет	4/4
Дата	20.07.2016
өлшемі	1.41 Mb.
	#211582
түрі	Глава

1 2 3 4

2.10. Смешанное произведение векторов
2.10.1. Смешанное произведение в декартовых координатах Теорема .
2.10.2. Свойства смешанного произведения

2.8.2. Векторное произведение в декартовых координатах
Теорема. Если два вектора

определены своими прямоугольными декартовыми координатами

, то векторное произведение этих векторов имеет вид

или

- символическая запись.
Удобнее всего вычислить его разложением по первой строке.

Доказательство.

Для ортов декартовой системы координат имеют место соотношения:

Используя свойства (1) – (3), получим искомое выражение.

Следствие. Если два вектора

коллинеарны, то координаты их пропорциональны, т.е.

.
Доказательство. Из равенства

следует, что

, т.е.

; из

, следует, что

; из

следует . А это и означает, что действительно .

2.9. ЗАДАЧИ
1. Упростить выражение:

а) ; б) .

2. Известно, что , , векторы и образуют угол . Вычислить: а) ; б) ; в) .

3. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(1;1;1), В(2;3;4), С(4;3;2) и найти длину высоты AD.

4. Вектор , перпендикулярный векторам и , образует с осью тупой угол. Зная, что , найти его координаты.

5. Три вершины параллелограмма имеют координаты , , . Найти его площадь и синус угла между смежными сторонами.

Домашнее задание.

6. Упростить выражение:

а) ;

б) .

7. Известно, что , , векторы и образуют угол . Вычислить:

а) ; б) ;

в) площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

8. Векторы , заданы декартовыми координатами. Найти координаты векторов: а) ; б) ; в) .

9. Вычислить найти длину высоты, опущенной из вершины В, в треугольнике с вершинами А(1;-1;2), В(5;-6;2), С(1;3;-1).

10. Вычислить синус угла, образованного векторами , .

Ответы. 1. а)

; б) 3. 2. а)

; б)

; в)

3. , . 4. (-6;-24;8). 5. , . 6. а) ; б) . 7. а) ; б) 3; в) 3. 8. а) (-3;5;7); б) (-6;10;14); в) (12;-20;-28). 9. 5.

10 .
2.10. Смешанное произведение векторов
Пусть даны три произвольных вектора . Смешанным произведением векторов называется скаляр, равный скалярному произведению вектора на вектор .

Теорема. Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах , взятому со знаком плюс, если тройка векторов правая, и со знаком минус, если тройка векторов левая. Если же векторы компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

Доказательство. В силу определения смешанного произведения =. Первый сомножитель в скобках есть площадь параллелограмма S, построенного на век-

торах и , второй – высота. Сле-довательно, - объем параллелепипеда.

Если тройка левая, то и . Если компланарны, то и тогда .

2.10.1. Смешанное произведение в декартовых координатах
Теорема. Если три вектора и определены своими декартовыми прямоугольными координатами
, , ,
то смешанное произведение равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов
.
Доказательство. - это и есть указанный определитель, вычисленный разложением по последней строке.
Следствие. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов , и является равенство нулю определителя, строками которого служат координаты этих векторов, т.е. равенство
.

2.10.2. Свойства смешанного произведения
1. Справедливо соотношение , поэтому в тройке векторов знак векторного произведения можно ставить между любыми двумя векторами. Поэтому обычно смешанное произведение записывают в виде или .

2. Циклическая перестановка векторов в смешанном произведении не меняется, т.е. ==.

Доказательство. 1). Смешанное произведение есть объем того же параллелепипеда , площадью основания которого является параллелограмм, построенный на векторах и с площадью , а высота - .

2). Справедливость циклической перестановки непосредственно следует из цепочки равенств .

2.11. ЗАДАЧИ
Для заданных векторов 1) выяснить, будут ли эти векторы компланарны; 2) в случае, если векторы некомпланарны, определить ориентацию тройки ; 3) найти объем параллелепипеда, построенного на этих векторах:

1. , , .

2. , , .

3. , , .

4. Векторы образуют правую тройку и взаимно перпендикулярны. Зная, что , , , вычислить .

5. Установить, образуют ли векторы базис в множестве всех векторов:

а) , , ;

б) , , .

6. Вычислить объем тетраэдра ОАВС и длину высоты, опущенной из

вершины С, если , , .

7. Объем тетраэдра равен 5, три его вершины находятся в точках А(2;1;-1), В(3;0;1), С(2;-1;3). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси ординат.

Домашнее задание.
Для заданных векторов 1) выяснить, будут ли эти векторы компланарны; 2) в случае, если векторы некомпланарны, определить ориентацию тройки ; 3) найти объем параллелепипеда, построенного на этих векторах:

8. , , .

9. , , .

10. , , .

11. Вектор перпендикулярен векторам и , , , , . Вычислить .

12. Установить, образуют ли векторы базис в множестве всех векторов:

а) , , ;

б) , , .

13. Доказать, что четыре точки А(1;2;-1), В(0;1;5), С(-1;2;1), D(2;1;3) лежат в одной плоскости.

14. Даны вершины тетраэдра: А(2;3;1), В(4;1;-2), С(6;3;7), D(-5;-4;8). Найти длину его высоты, опущенной из вершины D.

15. Вычислить объем тетраэдра, построенного на векторах , , , если эти векторы направлены по биссектрисам координатных углов и длина каждого вектора равна 2..
Ответы. 1. Правая, V=1. 2. Левая, V=8. 3. Компланарны, V=0.

4. 24. 5. а) Не образуют; б) Образуют. 6. , . 7. (0;8;0) или (0;-7;0). 8. Левая, V=1. 9. Правая, V=4. 10. Компланарны, V=0.

11. . 12. а) Образуют; б) Не образуют. 14. 11. 15. .

жүктеу/скачать 1.41 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4