Векторная алгебра


Скалярное произведение векторов



жүктеу/скачать 1.41 Mb.
бет3/4
Дата20.07.2016
өлшемі1.41 Mb.
#211582
түріГлава
1   2   3   4

2.6. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается как или . По определению . Воспользуемся определением числовой проекции . Тогда можно дать и другое определение скалярного произведения. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длины одного из этих векторов на числовую проекцию другого вектора на ось, определенную первым из указанных векторов. Скалярное произведение имеет и определенный физический смысл: если - вектор силы, точка приложения которой перемещается из начала вектора в его конец, то есть работа этой силы на пути .

Теорема. Необходимым и достаточным условием ортогональности (перпендикулярности) двух ненулевых векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Доказательство. 1). Необходимость. Если векторы перпендикулярны, то косинус угла между ними равен нулю и .

2). Достаточность. Если скалярное произведение , то , т.к. и .



2.6.1. Алгебраические свойства скалярного произведения
1. (переместительное свойство).

2. (сочетательное свойство).

3. (распределительное свойство).

4. , если ненулевой вектор и , если =0.

Свойство (1) очевидно из определения скалярного произведения.

Свойство (2): .

Свойство (3): .

Свойство (4): , если .

Рассмотрим теперь выражение скалярного произведения через декартовы координаты.

Теорема. Пусть два вектора и определены своими декартовыми координатами , . Тогда скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их координат:
.
Доказательство. Используя свойства (1) – (3), имеем

поскольку , а скалярные произведения различных орт равны нулю.



Следствия: 1). Необходимым и достаточным условием ортогональности векторов и является равенство
.
2). Угол между двумя векторами и определяется по формуле
.
Действительно, , откуда и следует эта формула.

2.7. ЗАДАЧИ
1. Векторы и образуют угол , , . Вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) .

2. Для векторов и известно, что , . Определить, при каком значении векторы и будут перпендикулярны.

3. Найти угол, образованный единичными векторами и , если векторы и перпендикулярны.

4. Векторы , заданы декартовыми координатами. Вычислить: а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) направляющие косинусы вектора ;

з) ; и) .

5. Найти длины сторон и величины углов треугольника с вершинами

А(-1;-2;4), В(-4;-2;0), С(3;-2;1).

6. Найти вектор , удовлетворяющий условиям:

а) коллинеарен вектору и ;

б) перпендикулярен , , .

Домашнее задание.

7. Векторы и взаимно перпендикулярны, вектор образует с ними углы, равные , при этом , , . Вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) .

8. Для векторов и известно, что , , .

Найти .
9. Даны векторы: , . Найти:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) направляющие косинусы вектора .

10. Доказать, что четырехугольник с вершинами А(-3;5;6), В(1;-5;7),

С(8;-3;-1), D(4;7;-2) – квадрат.

11. Даны две точки M(-5;7;-6) и N(7;-9;9). Вычислить проекцию вектора на ось вектора .

12. Найти вектор , который перпендикулярен оси , при этом

, , где , .
Ответы. 1. а) -6; б) 9; в) 16; г) 13; д) -61; е) 37; ж) 73. 2. .

3. . 4. а) 22; б) 200; в) 41; г) 105; д) ; е) ; ж) ;

з) ; и) . 5. , , , , .

6. а) (6;-4;4); б) (-8;-6;6). 7. а) 20; б) -62; в) 162; г) 373.

8. . 9. а) 55; б) ; в) ; г) ; д) .

11. 3. 12. (1;0;1).



2.8. Векторное произведение векторов
Векторным произведением вектора на вектор называется вектор (или ), удовлетворяющий следующим трем требованиям: 1). Длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла между ними , (угол - острый). 2). Вектор ортогонален к каждому из векторов и . 3). Вектор направлен так, что тройка векторов является правой.



Механический смысл векторного произведения: вектор есть момент силы относительно конце-вой точки вектора . Действительно, есть длина перпендикуляра, прове-денного из концевой точки вектора , т.е. плечо силы относительно этой точки. Геометрический смысл векторного произведения: есть площадь параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах и как на сторонах.

Теорема. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов является равенство нулю их векторного произведения.

Доказательство. 1. Необходимость. Поскольку и , то , т.е. векторы и коллинеарны. 2. Достаточность. Из равенства в силу того, что и следует, что .
2.8.1. Свойства векторного произведения
1. ; 2. ; 3. ; 4. для любого вектора .

Доказательство: 1). Пусть и . Очевидно, что и векторы параллельны, т.к. оба перпендикулярны плоскости, в которой лежат векторы и , но направлены в разные стороны, поскольку тройки векторов и должны быть правыми.

2). Пусть , . ,



. Если , то и , если же , то , однако и в этом случае , т.е. . Очевидно, что и коллинеарны, т.к. они оба ортогональны векторам и , и одинаково направлены.

жүктеу/скачать 1.41 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4



©dereksiz.org 2024
әкімшілігінің қараңыз
    Басты бет