Вектором называется направленный отрезок или упорядоченная пара точек. Начало вектора также называется точкой его приложения. Замечание. Упорядоченным множеством

Доказательство предоставляется читателю.

§1.8. Смешанное произведение трех векторов.

1.8.1. Определение. Смешанным произведением трех векторов называется число, равное скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов на третий вектор. Смешанное произведение векторов обозначается или .

Модуль смешанного произведения векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Смешанное произведение положительно, если тройка векторов – правая, и отрицательно, если эта тройка – левая (если векторы компланарны, то их смешанное произведение равно нулю).

Доказательство:

V_пар = . Справа в этом равенстве стоит модуль смешанного произведения. Знак смешанного произведения определяется знаком косинуса: если тройка – правая, то векторы и расположены в одном полупространстве относительно плоскости векторов и , , ; если тройка – левая, то векторы и расположены в разных полупространствах относительно плоскости векторов и , , ; если компланарны, то высота параллелепипеда равна нулю, и V_пар =0.
Следствие.
Объем тетраэдра, построенного на трех векторах, равен одной шестой модуля их смешанного произведения

.
1.8.3. Теорема. (Свойства смешанного произведения).
1. Если один из трех сомножителей равен нулю-вектору, то их смешанное произведение равно нулю ;

2. Критерий компланарности трех векторов: для того, чтобы три вектора были компланарными, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю;

3. ;

4. ;

5. ;
Доказательство:
Свойства 1 и 4 следуют из определения смешанного произведения трех векторов 1.8.1. Свойство 3 следует из доказанной теоремы 1.8.2. Действительно, при перестановке сомножителей в смешанном произведении, величина объема параллелепипеда сохраняется, а знак смешанного произведения определяется ориентацией тройки. Докажем свойство 5:

Теперь докажем свойство 2.

Необходимость.

Пусть векторы компланарны. Тогда, параллелепипед, построенный на этих векторах, вырождается в плоскую фигуру, следовательно, его объем равен нулю, то есть .

Пусть . Тогда из определения смешанного произведения 1.8.1 . Если , то либо один из векторов и является нулевым, тогда векторы компланарны, либо и являются коллинеарными векторами, тогда векторы компланарны. Если , то вектор является нулевым, то есть векторы компланарны. Если, наконец, , то это означает, что векторы и ортогональны. Заметим, что из определения векторного произведения вектор ортогонален также векторам и , а это означает, что векторы параллельны некоторой плоскости, то есть компланарны.

Покажем, что векторы в левой и правой частях этого равенства имеют одинаковые координаты. Координаты вектора равны скалярным произведениям этого вектора на базисные орты (см. Замечание к п. 1.6.4.). Рассмотрим данное векторное равенство в координатах. Используем свойство 5 смешанного произведения:

Аналогично можно показать равенство остальных координат. Таким образом, координаты векторов в левой и правой частях равенства равны, следовательно, по теореме 1.5.5. о разложении вектора по базису, эти векторы равны.

1.8.4. Теорема. (Выражение смешанного произведения двух векторов, заданных в ортонормированном базисе).

Смешанное произведение трех векторов в ортонормированном базисе равно определителю, строками которого являются координаты этих векторов данном базисе.
Доказательство:
Пусть векторы , и имеют в ортонормированном базисе разложения

, , .
Тогда

В завершение главы отметим утверждение, являющееся прямым следствием доказанной теоремы и критерия компланарности (свойство 2 смешанного произведения):