«xxi ғасырдағЫ Ғылым және білім»

23 
Isbot. Qisqalik uchun L=Df(a), M=Dg(b)=Dg(f(a)) belgilashlarni kiritaylik. 
Teoremaning shartlariga ko’ra 

  
 
0
),
(
,






h
h
o
h
Lh
a
f
h
a
f


(2) 

  
 
0
,
),
(






k
k
o
k
Mk
b
g
k
b
g


.
(3) 
(2) va (3) ga ko’ra quyidagilarni yozamiz: 
))
(
(
))
(
(
))
(
(
))
(
(
)
(
))
(
(
))
(
(
))
(
(
)
)(
(
)
)(
(
h
Lh
h
M
MLh
h
Lh
h
Lh
M
b
g
h
Lh
b
g
a
f
g
h
a
f
g
a
f
g
h
a
f
g



























(4) 
(1) ni isbot qilish uchun (4) dagi 
 
 


 


h
Lh
h
M
h







yig’indining h

0 
da 
)
( h
o
ekanligini ko’rsatish kerak. M va L chiziqli akslantirishlar bo’lgani uchun 
0
),
(
)
(
)
(
))
(
(






h
h
o
h
o
M
h
M
h
M


;
0
,
))
(
(
)
(
|
)
(
|
)
(













h
h
C
h
L
h
h
h
h
L
h
Lh
h
Lh




.
 


const
,
0


C
h

. 
Demak, 
0

h
da 
)
(
)
(
))
(
(
h
o
h
C
o
h
Lh






. Shunday qilib,
0
),
(
)
(
)
(
)
(




h
h
o
h
o
h
o
h

. 
Murakkab funksiyaning differensialini hisoblash formulasi (1) ni 
koordinatalarda yozaylik. 


n
m
i
j
m
n
m
n
f
D
a
f
D
a
f
D
a
f
D
a
f
D
a
Df













)
(
).....
(
.
..........
..........
..........
)
(
)....
(
)
(
1
1
1
1


)
(
,
)
(
)
(
a
f
b
b
g
D
b
Dg
n
p
i
j



bo’lgani uchun 












)
)(
(
....
)
)(
(
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
)
)(
(
....
)
)(
(
)
)(
(
1
1
1
1
a
f
g
D
a
f
g
D
a
f
g
D
a
f
g
D
a
f
g
D
p
n
p
n





)
(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
)
(
)
(
)
(
...
)
(
.
.
.
.
.
.
.
.
.
)
(
...
)
(
)
(
...
)
(
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
)
(
...
)
(
n
p
m
l
l
j
i
l
m
n
m
n
p
m
p
m
a
f
D
b
g
D
a
f
D
a
f
D
a
f
D
a
f
D
b
g
D
b
g
D
b
g
D
b
g
D



























Shunday qilib, murakkab funksiyaning xususiy hosilalari quyidagi formulalar 
bilan hisoblanadi: 
)
(
,
,
1
;
,
1
)
(
)
(
)
)(
(
)
(
)
(
1
a
f
b
n
j
p
i
a
f
D
b
g
D
a
f
g
D
a
f
g
D
m
l
l
j
i
l
i
j
i
j









Natija. Teoremaning shartlarida m=p=n va a=x bo’lsin. U holda 












n
n
n
n
n
n
x
x
y
y
y
y
g
g
x
x
x
h
h
h
,
...
,
,
...
,
,
...
,
,
...
,
,
...
,
,
,
...
,
,
1
1
1
1
2
1
2
1








bo’ladi. Bu yerda 

24 
 
.
))
(
,
...
,
)
(
(
,
))
(
,
...
,
)
(
(
)
(
,
))
)(
(
,
...
,
)
)(
((
)
)(
(
1
1
1
t
n
t
n
t
n
х
f
х
f
x
f
y
y
g
y
g
y
g
x
f
g
x
f
g
x
f
g
h








Bu formula 

matritsalar ko’paytirilganda ularning determinantlarining ham 
ko’paytirilishi va (1) formuladan kelib chiqadi. 
Ushbu
:
n
m
p
f


funksiya berilgan bo’lsin. Agar 
1
2
{ , ,
}
,
n
x x x


1
2
{ ,
,
}
m
y y y


va 

 
uchun 
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2
1
2
1
2
1
2
1
y
x
f
y
x
f
y
y
x
f
y
x
f
y
x
f
y
x
x
f
y
x
f
y
x
f
y
x
f











bo’lsa, u holda f ga bichiziqli funksiya deyiladi. 
Jumla 1. Ixtiyoriy 
:
n
m
p
f


bichiziqli funksiya uchun shunday konstanta 
0

C
topiladiki, uning uchun 
( , )
,
,
n
m
f x y
C x y
x
y




(5) 
tengsizlik o’rinli bo’ladi. 
Isbot. 
n
dagi standart bazisni 
m
е
е
,
...
,
1
bilan 
m
dagisini esa 
m
э
э
,
...
,
1
bilan 
belgilaylik. U holda 








n
i
m
j
p
ij
j
i
j
j
i
i
R
a
э
е
f
э
y
y
е
x
x
1
1
)
,
(
,
,
deb f ning bichiziqliligidan quyidagilarni yozamiz: 
,
)
max
(
,
)
,
(
,
)
,
(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
C
nm
C
,
a
C
y
x
C
y
m
x
n
C
y
x
C
y
x
C
a
y
x
э
е
f
y
x
э
y
е
x
f
y
x
f
ij
i,j
m
j
j
n
i
i
n
i
n
i
m
j
j
i
m
j
ij
j
i
n
i
m
j
j
i
j
i
m
j
j
j
n
i
i
i










































Biz bu yerda Koshi-Bunyakovskiy tengsizligiga ko’ra 



n
i
i
x
n
x
1
bo’lishini 
hisobga oldik. 
Jumla 2. 
Bichiziqli 
funksiya 
f 
ixtiyoriy 
( , )
n
m
a b


nuqtada 
differensiallanuvchi va 
m
n
R
R
k
h
b
h
f
k
a
f
k
h
b
a
Df




)
,
(
,
)
,
(
)
,
(
)
,
)(
,
(
(6) 
bo’ladi. 
Isbot. Funksiyaning orttirmasini quyidagicha yozamiz: 
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
k
h
f
b
h
f
k
a
f
b
a
f
k
b
h
a
f






.
(7) 
Bu yerda 
)
,
(
)
,
(
)
,
)(
,
(
b
h
f
k
a
f
k
h
b
f
Df


chiziqli operatorni ifodalaydi. Haqiqatan 
ham, 
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
( , )(
,
)
( ,
)
(
, )
( , )
( ,
)
( , )
(
, )
( , )(
, )
( , )(
,
)
Df a b h
h k
k
f a k
k
f h
h b
f a k
f a k
f h b
f h b
Df a b h k
Df a b h k














25 
(7) tenglikda 
,
)
)
,
(
(
)
,
(
k
h
o
k
h
f

 
0
,

k
h
. Haqiqatan ham, qisqalik uchun 
 
k
h,


deb, (5) tengsizlikka ko’ra 
0
,
)
(
2
)
(
2
1
)
,
(
)
(
2
2
2













o
C
k
h
C
k
h
C
k
h
f
f
ekanligini topamiz. Endi (7) formula (6) tenglikni isbotlaydi. 

жүктеу/скачать 4.46 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: