Задача 1 (30 баллов) Рассматривается L o



жүктеу 137.45 Kb.
Дата18.07.2016
өлшемі137.45 Kb.
РЭШ, 2004/05

Эконометрика 2

Экзамен

24 апреля 2005 г.

Первая часть

Продолжительность первой части экзамена 1 час 30 мин.




Задача 1 (30 баллов)

Рассматривается Logit-модель , где  бинарная переменная (принимающая значения 0 или 1). Ниже даны результаты 90 наблюдений:









y







0

1

x

0

20

24

1

26

20

а) Оцените параметры .

б) Проверьте гипотезу Н0: с помощью теста отношения правдоподобия.

в) Проверьте гипотезу Н0: с помощью теста Вальда.

г) Проверьте гипотезу Н0: с помощью теста множителей Лагранжа.

Совпадают ли результаты тестов б), в) и г)?

Решение


а) Обозначим . Обозначим также .

В силу свойства инвариантности оценок максимального правдоподобия достаточно найти , тогда . Логарифмическая функция правдоподобия равна



. Уравнения правдоподобия:

.

Учитывая равенство и проводя элементарные вычисления, получаем для оценок параметров уравнения:



,

откуда .


б) Для модели без ограничения в силу а) имеем . Для модели с ограничением получаем: ,откуда, как и следовало ожидать, получаем , и . Поэтому . Используя распределение , получаем Рзначение 0.29, что позволяет не отвергать гипотезу Н0 на любом разумном уровне значимости.

в) Для проверки той же гипотезы с помощью теста Вальда достаточно вычислить статистику , где  стандартная ошибка оценки (модель без ограничения). Из теории оценок максимального правдоподобия следует, что в качестве асимптотической матрицы ковариаций MLоценки параметра можно взять матрицу , вычисленную в точке . Прямыми вычислениями получаем, что , где . Заметим, что эта матрица неслучайна, поэтому брать среднее значение не нужно. Поэтому , где . Прямыми вычислениями получаем . Таким образом, и . Получили практически то же значение, что и LR. Гипотеза не отвергается.

г) Как известно, , где , а (см. п. б)). Прямыми вычислениями получаем . Используя результат п. в), получаем , где , откуда . Таким образом, LR = 1.102. Вновь гипотеза не отвергается.

Таким образом, все три теста дают один и тот же результат.



Задача 2 (20 баллов).

Макроэкономист утверждает, что логарифм ВВП США может быть представлен в следующем виде: , где , L  оператор сдвига по времени и  белый шум. С помощью МНК была получена регрессия .

а) Вычислите величины .

б) Найдите корни характеристического уравнения. Что можно сказать о стационарности этого процесса: можно ли считать его стационарной авторегрессией с детерминированным трендом или процессом со стохастическим трендом?

в) Оцените величину .

Решение

а) Имеем . Отсюда получаем:



, откуда

б) Характеристическое уравнение имеет корни . Корни (а точнее, оценки корней) характеристического уравнения лежат вне единичного круга, что формально дает повод считать этот процесс авторегрессией с детерминированным трендом. Однако близость к 1 наводит на подозрение, что для более полного анализа требуется провести Unit Root Test. Это подозрение еще более усиливается, если переписать уравнение для в виде регрессии, используемой в тесте ДикиФуллера:



. Конечно, не зная стандартных ошибок регрессии, мы не можем провести этот тест. Однако учитывая тот факт, что временной ряд для ВВП обычно является достаточно коротким, можно ожидать, что ошибки будут не слишком маленькими. Иными словами, данные задачи не позволяют однозначно определить характер стационарности ряда, но оставляют сильное подозрение на наличие единичного корня.

в) Как и следовало ожидать, , что также подтверждает подозрение о наличии единичного корня.


РЭШ, 2004/05

Эконометрика 2

Экзамен

24 апреля 2005 г.

Вторая часть

Продолжительность второй части экзамена 1 час 30 мин.



Задача 3 (20 баллов)

Дан ARMA(1, 1)-процесс  белый шум, .

а) Вычислите , ACF(3).

б) Вычислите.



Решение

а) Данный процесс



(1)

можно представить в виде , где, как обычно, L  оператор сдвига по времени. Очевидно, что процесс стационарный и обратимый и . Обозначим (нетрудно проверить, что в силу стационарности z не зависит от t).

Процесс допускает МА()-представление:

, (2)

где L оператор сдвига по времени. Отсюда в силу независимости значений белого шума в разные моменты времени имеем



.

Используя (2), получаем:



, откуда, вновь учитывая независимость значений белого шума, получаем:


Умножим обе части равенства (1) на , возьмем математическое ожидание от обеих частей и разделим на: . Отсюда . Имеем .

б) Нетрудно проверить, что в разложении (2) коэффициент при равен . Это и есть .




Задача 4 (20 баллов)


Ответы на вопросы этой задачи должны быть краткими, но обоснованными.
1. Уровень здоровья каждого индивидуума оценивается по шкале «плохое», «удовлетворительное», «хорошее», «отличное». Пусть индекс здоровья индивидуума t описывается уравнением , где  набор экзогенных факторов, причем (константа), а  месячный доход индивидуума t. Для оценивания используется Ordered Probitмодель. Вычислите функцию правдоподобия для этой модели. Найдите предельный эффект месячного дохода для альтернативы «хорошее здоровье». (4 балла)

Решение. Обозначим для краткости 1 = «плохое здоровье», 2 = «удовлетворительное», 3 = «хорошее», 4 = «отличное», и уровень здоровья индивидуума t по этой шкале будем обозначать . Ordered Probitмодель кратко описывается соотношениями:

где  параметры, которые оцениваются наряду с , а  функция стандартного нормального распределения. В соответствии с этим функция правдоподобия:



Предельный эффект месячного дохода для уровня «хорошее здоровье»  это



, где  плотность стандартного нормального распределения.
2. Для временного ряда, состоящего из 100 наблюдений, известны первые десять значений выборочной ACF:

Предложите подходящую ARMA модель для этого ряда. (5 баллов)



Указание. Можно воспользоваться асимптотической нормальностью выборочных коэффициентов корреляции.

Решение. Стандартная ошибка выборочного коэффициента корреляции равна примерно , где Т  количество наблюдений. Поэтому значимо (на 5%-ном уровне) от нуля будут коэффициенты корреляции, модуль которых больше . Таковыми являются только первые два значения ACF. Поэтому подходящей моделью может быть MA(2).
3. Что означает понятие «обратимость ARMA процесса»? Почему, как правило, требуют выполнения условия обратимости? (2 балла)

Решение. Если записать ARMA процесс в виде , то обратимость означает, что все корни многочлена (в множестве комплексных чисел) лежат вне единичного круга. В этом случае исходный процесс допускает AR()представление, которое удобно использовать при построении прогнозов процесса.
4. Почему в Probit модели рассматривается функция распределения стандартного нормального распределения , а не нормального распределения с неизвестной дисперсией, которая также бы оценивалась по данным, что, возможно, позволило бы сделать модель более гибкой? (3 балла)

Решение. Если в Probit-модели использовать случайную величину, то соответствующая модель записывается в виде , откуда следует, что по наблюдениям невозможно идентифицировать отдельно вектор и стандартную ошибку , а можно лишь идентифицировать отношение .
5. Сформулируйте модель с цензурированными наблюдениями (Tobit-модель). Почему метод наименьших квадратов не является адекватным методом оценивания такой модели? Какой метод оценивания можно предложить? (3 балла)

Решение. Цензурированные наблюдения  это наблюдения , в которых значительная доля имеет зависимую переменную на некотором постоянном уровне, а в остальных выше (цензурирование снизу) или ниже (цензурирование сверху) этого уровня. Стандартной моделью для цензурированных наблюдений является Tobit-модель, суть которой состоит в следующем: существует скрытая (латентная) переменная, удовлетворяющая обычному уравнению регрессии , а наблюдаемая переменная (в случае, например, цензурирования снизу уровнем 0) устроена так: . Поскольку , то применение метода наименьших квадратов к наблюдениям приведет к смещенным и, как нетрудно проверить, несостоятельным оценкам. Адекватный метод оценивания  метод максимального правдоподобия.
6. Каким образом модель Хекмана обобщает Tobit-модель? Сформулируйте модель Хекмана. (3 балла)

Решение. В модели Хекмана разные факторы влияют на выбор («участвовать  не участвовать») и в случае положительного выбора  на величину у. Формально эта модель описывается следующим образом:

скрытые переменные: ;

наблюдения:

Задача 5 (10 баллов)

Ниже приведено несколько моделей для стационарного временного ряда. Какая(ие) из них лучше, по Вашему мнению, и почему?



Решение.

Модель 1 (AR(1)) имеет остатки, которые явно проявляют свойство автокорреляции (см. соответствующую коррелограмму), поэтому она представляется неадекватной.

Модель 4, во-первых, выглядит весьма экзотично, а во-вторых, коэффициенты AR(8), AR(11), AR(17) незначимы на 5%-уровне.

В моделях 2 и 3 (MA(2) и ARMA(1,1), соответственно) коэффициенты (кроме констант) значимы на 5%-уровне, коррелограммы остатков показывают, что в обеих моделях остатки ведут себя приблизительно как белый шум. Поэтому по этим показателям модели выглядят достаточно хорошими и примерно равноценными. Сравнение таких показателей, как суммы квадратов остатков, значения информационных критериев, также убеждает в примерной равнозначности моделей 2 и 3.

Окончательно, модели 1 и 4 представляются неудачными, а модели 2 и 3 выглядят достаточно адекватными, причем трудно отдать предпочтение одной из них.

Материалы к Задаче 5.
Модель 1


Dependent Variable: WWW

Method: Least Squares

Sample(adjusted): 3 100

Included observations: 98 after adjusting endpoints

Convergence achieved after 3 iterations

Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C

-0.070161

0.297012

-0.236224

0.8138

AR(1)

0.592463

0.081861

7.237386

0.0000

R-squared

0.353011

Mean dependent var

-0.047052

Adjusted R-squared

0.346272

S.D. dependent var

1.481511

S.E. of regression

1.197853

Akaike info criterion

3.219135

Sum squared resid

137.7457

Schwarz criterion

3.271890

Log likelihood

-155.7376

F-statistic

52.37976

Durbin-Watson stat

1.509714

Prob(F-statistic)

0.000000

Inverted AR Roots

.59

Коррелограмма остатков (модель 1)



Модель 2

Dependent Variable: WWW

Method: Least Squares

Sample: 2 100

Included observations: 99

Convergence achieved after 16 iterations

Backcast: 0 1

Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C

-0.032691

0.232647

-0.140518

0.8885

MA(1)

1.053911

0.099939

10.54556

0.0000

MA(2)

0.220644

0.102299

2.156863

0.0335

R-squared

0.536704

Mean dependent var

-0.035173

Adjusted R-squared

0.527052

S.D. dependent var

1.478664

S.E. of regression

1.016896

Akaike info criterion

2.901221

Sum squared resid

99.27140

Schwarz criterion

2.979861

Log likelihood

-140.6104

F-statistic

55.60538

Durbin-Watson stat

1.989388

Prob(F-statistic)

0.000000

Inverted MA Roots

-.29

-.77

Коррелограмма остатков (модель 2)



Модель 3


Dependent Variable: WWW

Method: Least Squares

Sample(adjusted): 3 100

Included observations: 98 after adjusting endpoints

Convergence achieved after 16 iterations

Backcast: 2

Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C

-0.047959

0.243478

-0.196976

0.8443

AR(1)

0.237190

0.115456

2.054374

0.0427

MA(1)

0.803421

0.074476

10.78764

0.0000

R-squared

0.535050

Mean dependent var

-0.047052

Adjusted R-squared

0.525261

S.D. dependent var

1.481511

S.E. of regression

1.020780

Akaike info criterion

2.909145

Sum squared resid

98.98921

Schwarz criterion

2.988277

Log likelihood

-139.5481

F-statistic

54.66151

Durbin-Watson stat

1.975538

Prob(F-statistic)

0.000000

Inverted AR Roots

.24

Inverted MA Roots

-.80

Коррелограмма остатков (модель 3)



Модель 4


Dependent Variable: WWW

Method: Least Squares

Sample(adjusted): 19 100

Included observations: 82 after adjusting endpoints

Convergence achieved after 3 iterations

Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C

-0.162423

0.106073

-1.531242

0.1299

AR(1)

0.744542

0.100776

7.388111

0.0000

AR(2)

-0.435073

0.099532

-4.371178

0.0000

AR(8)

-0.157837

0.080949

-1.949839

0.0549

AR(11)

-0.142319

0.079481

-1.790605

0.0773

AR(17)

-0.106188

0.080085

-1.325946

0.1888

R-squared

0.504302

Mean dependent var

-0.211382

Adjusted R-squared

0.471690

S.D. dependent var

1.439439

S.E. of regression

1.046256

Akaike info criterion

2.998668

Sum squared resid

83.19345

Schwarz criterion

3.174769

Log likelihood

-116.9454

F-statistic

15.46382

Durbin-Watson stat

1.778898

Prob(F-statistic)

0.000000

Inverted AR Roots

.89+.23i

.89 -.23i

.76 -.43i

.76+.43i




.58 -.74i

.58+.74i

.30 -.88i

.30+.88i




-.04 -.84i

-.04+.84i

-.32 -.83i

-.32+.83i




-.61+.56i

-.61 -.56i

-.76+.34i

-.76 -.34i




-.84

Коррелограмма остатков (модель 4)





Желаем удачи!





©dereksiz.org 2016
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет