Приклад: Перестановка {2, 4, 1, 3} є непарною, оскільки містить 3 інверсії елементів.
Матриця перестановок
Визначення
Якщо в одиничної матриці Е змінити порядок розташування рядків (стовпців), то отримана матриця називається матрицею перестановок Р.
Якщо матриця перестановок P отримана з одиничної матриці E перестановкою місцями двуx рядків (або двох стовпців), то така матриця називається елементарної матрицею перестановок.
Кожна матриця перестановки розміру (n*n) є матричним представленням перестановки порядку n .
Нехай дана перестановка порядку n :
Відповідною матрицею перестановки є матриця(n*n) виду: , де ei - двійковий вектор довжини n , i-й елемент якого дорівнює одиниці, а інші рівні нулю.
Властивості матриці перестановок.
Нехай , де mстр и nстовп Тоді матриці
та
можуть бути застосовані як матриці перестановок для перестановок строк чи стовпців матриці А.
Властивості:
1.Помноження зліва матриці перестановок Р на A: Р (m,m)* A(m,n) приводить до перестановки строк матриці A.
2. Помноження справа матриці перестановок Р на A: A(m,n) *Р(n,n) приводить до перестановки стовпців матириці A.
Наприклад:
Нехай МП E1 відрізняється від одиничної матриці Е тільки четвертою строкою, тобто четверта строка E1 = (0, 1, 0, 0, ..., 0).
Тоді результат множення E1 (m,m)* A(m,n) = A/ (m,n) є матриця A/(m,n) де друга строка- (a21 a22 a23 .. a2n.) матриці A, розтошовується в позиції четвертої строки A/.
Аналогично якщо E2 відрізняється від од. Матриці E тільки четвертим стовпцем та він має вигляд (0, 1, 0, 0, ..., 0)Т тоді в результаті множення A/ (m,n) = A(m,n)* E2 (n,n) одержуємо матрицю A/(m,n) де другий стовпець- (a12 a22 a32 .. an2.) матриці A, розтошовується в позиції четвертого стовпця A/.
Визначення.
Якщо матриці перестановок P отримана з одиничної матриці E перестановкою місцями двуx рядків (або двох стовпців), то така матриця називається елементарної матрицею перестановок.
Для будь-якої матриці перестановок P справедлива властивість:
РРТ=РТР=Е
де РТ- транспонована матриця перестановок; E - одинична матриця.
Дійсно,
де - дельта-символ Кронекера.
Теорема 1.
Перемноження матриць перестановок одного і того ж порядку є матриця перестановок.
Р1 * Р2 = Р3
Про перемноження перестановок та матриць перестановок
Підстановка - це дія, при якому послідовність змінює порядок.
Множення двох підстановок - це послідовне виконання відповідних дій.
Множення перестановок
Під дією першої підстановки 1 переходить в 2, а під дією другої 2 переходить в 3.
Разом: послідовне виконання підстановок ( "композиція") переведе 1 в 3. Аналогічно , і .
Достарыңызбен бөлісу: |
