Завдання моделювання з мінімізацією модульного критерію невязок
!!!!!!! отже - модульний критерій замість квадратичного
- те з чого починалося моделювання - пам'ятаєте, Гаус і Лежандр просували квадратичний функціонал і відповідно МНК, а Лаплас - модульний функціонал і це завдання, як ми тепер побачимо - вирішується за допомогою ЗЛП.
Отже, сформулюємо завдання аппраксімаціі виходячи з критерію мінімуму суми модулів невязок
Вхідні дані: , и ми хочемо визначити параметри
моделі за критерієм мінімуму суми модулів невязок моделі:
Як ми вже розуміємо це окремий випадок попереднього завдання:
Очевидне і завдання моделювання з умови мінімума максимального відхилення моделі від табличних точок - нижче
Можно легко записати і задачу односторонньої мінімізації
чи
та для мінімаксу
или
Пошук допустимого базисного рішення на основі застосування
штучних змінних.
Повернемося до початку розділу.
Ми розглядали несумісну (перевизначену, тобто при mобмежень>nзмінних) систему
Ax = b.
Ми показали, як застосуванням додаткових штучних змінних «у»:це невязки у=Ax - b, можна, вирішуючи оптимізаційну ЛП задачу
(!)
знайти найкраще рішення x,y для несумісної системи Ax = b.
Тут ми, як і у методі найменших квадратів, тільки за критерієм «мін суми модулів нев’язок», знаходимо найкраще (найближче задовольняюче Ax = b) рішення, але що не задовільняє Ax = b.
Ми це змогли зробити бо у задачі (!) вже є допустима область.
Розглянемо подібний прийом - введення штучних змінних, для вирішення іншої проблеми - знаходження допустимого базисного рішення.
Нехай на 0-ій ітерації симплекс алгоритму, тобто при формуванні системи (1) для одержання базисного рішення на 0-вій ітерації
(1)
деякі з параметрів bi виявилися від’ємними. Тобто при покладенні
базисне рішення системи (1) буде недопустимим рішенням (рис) і ми не можемо запустити стандартну симплекс-процедуру.
Вирішемо проблему шляхом введення штучних змінних та здійснимо заміну . Тоді можливо розглянути наступну ЛП задачу.
(2)
Якщо деяке рішення (2) буде існувати при нульовому значенню функціоналу, це буде означати що знайдено допустиме значення ЛП задачі (1) при
Дійсно, рівність буде означати що на останній ітерації задачі (2) при покладенню нулю в деякому вільному (небазисному) наборі змінних х=u-v=0 всі відповідні vi=0 (то і ui=0) та і у базисному наборі х=u-v з умови слідує що відповідні u та х задовільняють а отже і .
Таким чином одержано базисне допустиме рішення.
Якщо ж рішення (2) не існує, з цього випливає, що не існує і допустимого базисного рішення (1) а отже і взагалі рішення ЛП задачі (1)
Достарыңызбен бөлісу: |
