Коваріаційна матриця вектора оцінок параметрів.
Коваріаційна матриця вектора b по визначенню рівна
(9)
Її діагональні елементи визначають теоретичні дисперсії оцінок окремих коефіцієнтів . Її елементи , є коваріації оцінок. , тобто - симетрична матриця.
З виразу (7): одержуємо
(10)
Підставляючи (10) у (9), будемо мати
=
(11)
де ми врахували, що (XTX)-1 - симетрична матриця.
Далі, в силу передумови 3 : для всех i , коваріаційну матрицю вектора збурень можно представити у вигляді
( 12)
де In - одинична матриця розмірності n. Підставляючи (12) у (11), одержуємо
(13)
Діагональні елементи коваріаційної матриці є дисперсіями відповідних МНК - оцінок коефіцієнтів регресії.
Зауваження1. Саме через формулу (13) ми в основному займалися всім попереднім. Якщо ці дисперсії великі,т моделі по суті немає: в залежності від варіанту вибірки Х, параметри моделі можуть дуже відрізнятися, що і говорить про фактичну відсутність моделі. При цьому дисперсія виходу може бути невелика. Такий поганий результат будемо отримувати при мультіколлінеарності вхідних змінних x.
Зауваження 2. Дуже важливе прикладне значення формула (13) має при дослідженні стійкості оптимальних рішень задачі оптимізації (про такі дослідження буде іти мова в подальшому). Досліджуються співвідношення дисперсій параметрів моделей, на основі яких формалізовані, наприклад, задачі ЛП ( нехай розглядаються співвідношення для функціоналу задачі) та дисперсії збурень цих параметрів, при яких оптимальне рішення змінює своє значення у суттевому проценті реалізацій імітаційного експерименту.
Достарыңызбен бөлісу: |
