Занятие №5 логические задачи



Дата13.07.2016
өлшемі103.09 Kb.
түріЗанятие
ЗАНЯТИЕ №5

ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Здравствуйте, дорогие курсанты! На этом занятии предлагаю вам поработать над своими интеллектуальными способностями, разбираясь в решении логических задач.



Логические задачи решаются различными способами. Решению логических задач, в которых рассматриваются 2 или больше конечных множеств, между которыми нужно установить взаимно однозначное соответствие, часто помогает использование таблиц. Рассмотрим пример такого рода задачи.

  1. Беседуют трое: Белокуров, Чернов и Рыжов. Брюнет сказал Белокурову: «Любопытно, что один из нас блондин, другой – брюнет, а третий – рыжий, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии». Какой цвет волос имеет каждый из беседующих?

Решение. Для решения задачи воспользуемся таблицей. По условию задачи Белокуров не блондин, Чернов не чёрный, а Рыжов не рыжий. Это позволяет поставить знак «минус» в соответствующих клетках. Кроме того, из условия следует, что Белокуров – не брюнет, и, значит, в клетке на пересечении строки «Белокуров» и столбца «чёрный» также надо поставить знак «минус».




рыжий

чёрный

блондин

Белокуров




-

-

Чернов




-




Рыжов

-






Из таблицы следует, что Белокуров может быть только рыжим. Поставим знак «+» в соответствующей клетке. Из этого следует, что Чернов не рыжий. Отметим это знаком «минус» в таблице. Теперь ясно, что Чернов может быть только блондином, а Рыжов – брюнетом.






рыжий

чёрный

блондин

Белокуров

+

-

-

Чернов

-

-

+

Рыжов

-

+

-

Ответ виден из таблицы.
Среди логических задач встречаются и задачи с конечными множествами, которые надо упорядочить. Рассмотрим пример.

  1. В семье четверо детей. Им 5, 8, 13, 15 лет. Детей зовут Аня, Боря, Вера и Галя. Сколько лет каждому ребенку, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше Бори и сумма лет Ани и веры делится на три?

Решение. Найдем сначала возраст Бори. Так как в детский сад ходит девочка, то это не Боря. Тогда Боре больше 5 лет.

Так как Аня старше Бори, то Боре не может быть 15 лет. А так как сумма лет Ани и Веры делится на три, то, учитывая возраст детей в семье, это может быть в следующих случаях:

1) одной девочке 5 лет, а другой 13 лет; 2) одной девочке 8 лет, а другой 13 лет.

В обоих случаях одной девочке 13 лет. Следовательно, Боре не 13 лет. Имеем: Боре не 5, не 15 и не 13 лет. Тогда Боре 8 лет.

Установим теперь возраст каждой девочки. Так как сумма лет Ани и Веры кратна трем, а Боре 8 лет, то возможен лишь один случай: девочкам 5 и 13 лет. А так как по условию Аня старше Бори, то Ане 13 лет. Тогда – Вере 5 лет, а Гале 15 лет.
К логическим задачам относят и задачи, связанные с выяснением итогов некоторых турниров. При решении таких задач надо знать основные положения о турнирах. Например, в шахматных турнирах победитель игры в партии получает одно очко, а проигравший – ноль очков. В случае ничьей каждый игрок получает по 0,5 очка.

Рассмотрим пример решения такого рода задач.



3. В финальном турнире играли 5 шахматистов. А окончил все партии вничью. Б сыграл вничью с шахматистами, занявшими первое и последнее места. В проиграл Б, но зато сыграл вничью только одну партию. Г выиграл у Д и у занявшего четвертое место шахматиста. Д не выиграл ни одной партии. Кто сколько очков набрал и какое место занял?

Решение. Воспользуемся для решения задачи таблицей.

Так как А сыграл со всеми вничью, то ставим в столбике и строке участника турнира А по 0,5. Учитывая, что В проиграл Б, а Г выиграл у Д, ставим соответственно 0 и 1 в соответствующих клетках таблицы. В результате получается такая таблица:



Игрок

А

Б

В

Г

Д

Очки

Место

А

-

0,5

0,5

0,5

0,5







Б

0,5

-

1













В

0,5

0

-













Г

0,5







-

1







Д

0,5







0

-






Учитывая результаты игр, внесенных в таблицу, и другие условия задачи, можно сделать вывод о том, что А набрал 2 очка; Б – не менее 2 очков; В – не менее 0,5 очка, но не более 2,5 очков; Г – не менее 2,5 очков и Д – не более 1,5 очков.

Так как у А 2 очка, то он не мог занять первого и второго места. Он не мог занять и четвертого места, так как Г выиграл у того, кто занял четвертое место. Наконец, А не мог занять пятого места, так как у Д очков меньше, чем у А. Следовательно, А занял третье место.

Выясним, кто занял пятое место. Это не А ( у него третье место) и не Б (он сыграл вничью с занявшими первое и последнее места). Это не В (В у Б выиграл), это и не Г (по числу набранных очков у него место выше третьего). Тогда на пятом месте будет Д, значит, Д и Б сыграли вничью, и можно поставить по 0,5 очка в соответствующих клетках.

Установим игрока, занявшего четвертое место. Так как Г выиграл у Д и у занявшего четвертое место (у А с Г ничья), то четвертое место занял Б или В. Но у Б очков не меньше, чем у А, и, следовательно, четвертое место занял В. Значит В проиграл Г (делаем соответствующие пометки в таблице). Чтобы В опередил по очкам Д, занявшего пятое место, нужно, чтобы В выиграл у Д.

Осталось выяснить, как сыграли Б и Г и какие места они заняли. Так как Б сыграл вничью с занявшим первое место, то он не на первом месте. Количество очков, набранное им, не менее 2,5, то есть он опередил А и поэтому Б на втором месте. Следовательно, на первом месте Г с суммой очков 3. Итоговая таблица будет выглядеть так:



Игрок

А

Б

В

Г

Д

Очки

Место

А

-

0,5

0,5

0,5

0,5

2

III

Б

0,5

-

1

0,5

0,5

2,5

II

В

0,5

0

-

0

1

1,5

IV

Г

0,5

0,5

1

-

1

3

I

Д

0,5

0

0

0

-

0,5

V

Разновидностью турнирных задач являются и задачи типа следующей.



4. Стрелок 10 раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков. Сколько было попаданий в семерку, восьмерку и девятку, если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было.

Решение. Так как стрелок выбил 90 очков и из них за 4 раза набрал 40 очков, то в другие 6 раз он набрал оставшиеся 50 очков. Так как стрелок попадал лишь в семерку, восьмерку и девятку в остальные 6 выстрелов, то за три выстрела (по одному разу в семерку, восьмерку и девятку) он наберет 24 очка. Тогда за оставшиеся 3 выстрела надо набрать 26 очков, что возможно только при единственной комбинации попаданий цифр 7, 8 и 9: 8+9+9=26.

Таким образом, в семерку стрелок попал 1 раз, в восьмерку – 2 раза, в девятку – 3 раза.


К наиболее интересным и в то же время трудным логическим задачам относятся так называемые задачи о лгунах.

Чаще всего при решении подобного рода задач поступают следующим образом. Берут одно из утверждений и предполагают, что оно истинно. Если при рассмотрении других утверждений не получается противоречия, то рассмотренное утверждение действительно истинное. Если же при рассмотрении других утверждений получается где-то противоречие, то взятое утверждение – ложное. Если утверждений было всего два, то делается вывод, что верно второе утверждение. А если утверждений три и более, то придется применять перебор различных предположений.

Рассмотрим конкретные примеры.



5. Петя, Вася, Коля и Миша играли в футбол. Один из них разбил мячом стекло. На вопрос: «Кто это сделал?» Петя, Вася и Коля ответили: «Не я!», а Миша – «Не знаю». Потом оказалось, что двое из них сказали правду, а двое – неправду. Знает ли Миша, кто разбил стекло? Ответ нужно объяснить.

Решение. Начнем с ответов Пети, Васи и Коли. Так как стекло разбил кто – то один, то среди ответов Пети, Васи и Коли Может быть лишь один ложный, иначе при двух ложных ответах получается, что стекло разбили двое. Тогда вторым ложным ответом будет овеет Миши, так как всего ложных ответов два. Поэтому Миша знал, кто разбил стекло.
6. На острове живут два племени: аборигены и пришельцы. Аборигены всегда говорят правду, а пришельцы всегда лгут. Путешественник, приехавший на остров, нанял островитянина в проводники. Они пошли и увидели другого островитянина. Путешественник послал проводника узнать, к какому племени принадлежит увиденный ими туземец. Проводник вернулся и сказал: «Туземец говорит, что он абориген». Кем был проводник: пришельцем или аборигеном?

Решение. Так как ответ встреченного островитянина мог быть лишь «Я – абориген» (только этот ответ является правдой для аборигенов и ложью для пришельцев), а проводник сказал, что туземец – абориген, то проводник является аборигеном (он сказал правду!).
Класс логических задач очень обширен. Решайте их при случае – станете ещё умнее!
Задачи для самостоятельного решения

1. В трёх мешках находятся крупа, вермишель и сахар. На одном мешке написано «крупа», на другом – «вермишель», на третьем – «крупа или сахар». В каком мешке что находится, если содержимое каждого из них не соответствует надписи? (Для решения дома удобно воспользоваться таблицей. А пришлите только ответ. 10 баллов).

2. Мачеха, уезжая на бал, дала Золушке мешок, в котором были перемешаны мак и просо, и велела перебрать их. Когда Золушка уезжала на бал, она оставила три мешка: в одном – просо, в другом – мак, а в третьем - ещё не разобранная смесь. Чтобы не перепутать мешки, Золушка к каждому из них приклеила таблички: «Мак», «Просо», «Смесь». Мачеха вернулась с бала первой и нарочно поменяла местами таблички так, чтобы на каждом мешке оказалась неправильная запись. Ученик Феи успел предупредить Золушку, что теперь ни одна надпись на мешках не соответствует действительности. Тогда Золушка достала только одно-единственное зёрнышко из одного мешка и, посмотрев на него, сразу догадалась, в каком мешке что находится. Как она это сделала? (Порассуждайте! 10 баллов).

3. Инопланетяне сообщили жителям Земли, что в системе их звезды три планеты: А, Б, В. Они живут на второй планете. Далее передача сообщения ухудшилась из-за помех, но было принято ещё два сообщения, которые, как установили учёные, оказались оба ложными:



  1. А – не третья планета от звезды;

  2. Б – вторая планета.

Какими планетами от звезды являются А, Б, В? (Рассуждайте. Пришлите только ответ. 10 баллов).

Желаю успешной работы!


Достарыңызбен бөлісу:


©dereksiz.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет