Занятие 9 Векторные функции 1 Годограф векторной функции

3. то по определению получим

4. .

Дифференцируемые векторные функции обладают следующими свойствами:

– если векторная функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке;

– если векторная функция дифференцируема в точке , то она имеет в этой точке производную и ;

– векторная функция, имеющая в некоторой точке производную, дифференцируема в этой точке;

– если – дифференцируемая в точке скалярная функция, – дифференцируемая в точке векторная функция, то

– для произвольных векторных функций имеют место формулы;

– если вектор-функция дифференцируема в точке и векторы имеют одинаковую длину в некоторой окрестности точки , то производная ортогональна вектору :

– если вектор-функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в каждой точке этого отрезка, то существует такая точка , что

С геометрической точки зрения производная вектор-функции в точке есть вектор , направленный по касательной к годографу этой функции в сторону возрастания параметра .

Производная вектор-функции является, в свою очередь, вектор-функцией скалярного аргумента, и ее также можно дифференцировать.

Производная функции точке называется второй производной вектор-функции по скалярному аргументу в точке и обозначается так: , , , .

Вектор , равный производной скорости по времени в момент , называется ускорением: .

Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат . И пусть на отрезке заданы непрерывные функции , , . Тогда говорят, что задано непрерывное отображение отрезка в .

Числа , , можно рассматривать как координаты точки или как координаты радиус-вектора с началом в точке и концом в точке (рисунок 9.6):

, .

Непрерывное отображение отрезка в пространство называется кривой и обозначается .

Множество точек пространства , на которое отображается отрезок , называется носителем кривой , переменная называется параметром на кривой .

Если носитель кривой лежит в некоторой плоскости, то эта кривая называется плоской.

Рисунок 9.6 – Кривая в пространстве

– явно: непрерывная функция , , задает плоскую кривую , носителем является график функции , параметром – переменная ;

– неявно: координаты всех точек носителя плоской кривой удовлетворяют уравнению ;

– в координатной форме: , где , , координатные функции отображения , ;

– векторное представление: , где – вектор-функция.

Если для точек кривой выполняется условие предшествует , то такая кривая называется ориентированной.

Точка носителя кривой, в которую при отображении отображаются хотя бы две разные точки отрезка , называется точкой самопересечения (кратной точкой) кривой .

Если носитель кривой не имеет кратных точек (отображение взаимно однозначно отображает отрезок в точки пространства ), то кривая называется простой дугой.

Если и , то точка называется началом кривой , а точка – концом данной кривой. Если , то кривая называется замкнутой.

Простым замкнутым контуром называется замкнутая кривая, у носителя которой нет кратных точек, кроме носителя ее начала и конца.

Если , , то кривая называется частью кривой или простой дугой с началом в точке и концом в точке .

Прямая проходящая через точку в направлении вектора , называется касательной к кривой в точке .

Поместим начало вектора в точку . Направление данного вектора совпадает с направлением касательной. Поэтому уравнение касательной в векторной форме запишется в виде

где – радиус-вектор касательной.

В координатной форме уравнение примет вид

,

,

,

где .

Выражая параметр , получим уравнение касательной в канонической форме:

.

Если функция непрерывна на отрезке , то кривая называется непрерывно дифференцируемой кривой. Если векторная функция раз дифференцируема на отрезке , то кривая называется раз дифференцируемой кривой.

Точка кривой , в которой , называется неособой, а точка, в которой – особой.

Пусть . Тогда . Поэтому точка является неособой точкой кривой тогда и только тогда, когда

Из определения неособой точки следует, что во всякой неособой точке кривой Г существует касательная.

Для отрезка система , , точек , таких, что , называется разбиением отрезка . Соответствующий набор точек , , где называется разбиением кривой .

Соединив последовательно точки , , , , отрезками , , , получим ломаную , которая называется вписанной в кривую ; отрезки , называются звеньями ломаной , а точки ломаной – вершинами ломаной. Длина каждого отрезка равна . Тогда длина всей ломаной равна

.

Верхняя грань длин всевозможных ломаных, вписанных в данную кривую, называется длиной кривой:

где верхняя грань берется по всевозможным разбиениям , , отрезка .

Если , то кривая Г называется спрямляемой.

Теорема 2 Если кривая непрерывно дифференцируема, то переменная длина дуги , отсчитываемая от начала кривой , является возрастающей непрерывно дифференцируемой функцией параметра и

.

Поскольку , то отсюда дифференциал длины дуги равен

Таким образом, для всякой гладкой кривой ее параметр является строго возрастающей непрерывно дифференцируемой функцией переменной длины , производная этой функции нигде не обращается в нуль.

Следовательно, функция является допустимым преобразованием параметра и уравнение кривой можно записать в виде , .

Если параметром кривой является переменная длина ее дуги , то называется натуральным параметром, а уравнение кривой называется натуральным уравнением кривой.

Из теоремы 3 следует, что если , , – углы, образованные вектором касательной к кривой с осями , , соответственно, то.

Пусть – точка касания (рисунок 9.7). Из аналитической геометрии известно, что уравнение плоскости , проходящей через эту точку, имеет вид

где – нормальный вектор плоскости.

Из определения нормальной плоскости следует, что векторы и коллинеарные, поэтому можно положить , , . Тогда искомое уравнение плоскости будет иметь вид:

.

Рисунок 9.7 – Нормальная плоскость к кривой

2 Дайте определение предела и непрерывности векторной функции. Перечислите свойства предела вектор-функции.

3 Дайте определение производной векторной функции. Какая вектор-функция называется дифференцируемой? Что называется дифференциалом векторной функции?

4 В чем состоит геометрический и физический смысл производной вектор-функции?

5 Дайте определение кривой. Перечислите способы задания кривой.

6 Какая прямая называется касательной к кривой?

7 Какая кривая называется гладкой кривой?

8 Что называется разбиением кривой?

9 Какая кривая называется спрямляемой? Дайте определение длины кривой.

10 Чему равен дифференциал дуги?

11 Какое уравнение называется натуральным уравнением гладкой кривой?

12 Чему равна длина единичного вектора касательной? Какие координаты он имеет?

Из первых двух уравнений исключаем параметр :

Следовательно, годографом вектор-функции является окружность

из которой исключена точка .

При изменении от до точка на годографе движется от точки против часовой стрелки (если наблюдать из точки, расположенной выше плоскости ). При этом

, .

2 Вычислить , если .

Решение. Согласно определению

.

3 Найти единичный касательный вектор годографа вектор-функции

при .

Найдем координаты направляющего вектора касательной к кривой :

в частности в точке

Тогда единичный вектор годографа имеет вид

==.