Занятие 9 Векторные функции 1 Годограф векторной функции



бет4/4
Дата20.07.2016
өлшемі405.37 Kb.
#211594
1   2   3   4

Вопросы для самоконтроля
1 Дайте определение кривизны и радиуса кривизны кривой.

2 Как вычисляется кривизна в случаях векторного, параметрического представления кривой?

3 Дайте определение радиуса, круга и центра кривизны плоской кривой.

4 Что называется эволютой и эвольвентой плоской кривой?


Решение типовых примеров
1 Вычислить кривизну кривой в точке .

Решение. Находим,. Тогда кривизна кривой в любой ее точке с абсциссой есть

.

В точке имеем



.

2 Найти кривизну в любой точке циклоиды



Решение. Имеем

, ,

, .

Тогда


,

.

Подставляя в формулу для вычисления кривизны, получим



.

3 Найти координаты центра кривизны кривой в точке .

Решение. Дифференцируем уравнение два раза:

, .

Так как , , то из первого выражения находим, что , а из второго получаем .

Подставляя в формулы для координат центра кривизны, получим

,

, т. е. .

4 Найти эволюту эллипса .

Решение. Имеем

, , , .

Подставляя в формулы для эволюты, получим



, .

Данные уравнения являются параметрическими уравнениями астроиды (рисунок 10.6).



Рисунок 10.6 – Эллипс и его эволюта



5 Составить уравнение эволюты параболы

.

Решение. Продифференцируем два раза уравнение параболы:

, ,

, .

Определяем координаты центра кривизны:



,

.

Получаем уравнение эволюты в параметрической форме:



, .

Исключив параметр , найдем уравнение эволюты в явном виде



.
Задания для аудиторной работы
1 Вычислить кривизну данных кривых в указанных точках:

а) , , ;

б) , ;

в) , при ;

г), .

2 Найти радиусы кривизны кривых:

а) ;

б) ;

в) , ;

г) .

3 Вычислить координаты центров кривизны кривых в указанных точках:

а) , ;

б) , .

4 Составить уравнения эволют кривых:

а) ;

б) ;

в) , .


Задания для домашней работы
1 Вычислить кривизну данных кривых в указанных точках:

а) , ;

б) в вершинах эллипса и ;

в) , , ;

г) , .

2 Найти радиусы кривизны кривых:

а) ;

б) , ;

в) .



3 Вычислить координаты центров кривизны кривых в указанных точках:

а) , ;

б) ,;

в) , .



4 Составить уравнения эволют кривых:

а) ;



б) , .






Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4




©dereksiz.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет