Ўзбекистон республикаси халқ таълими вазирлиги фарғона вилояти педагог кадрларни қайта тайёрлаш ва малакасини ошириш институти



Дата18.07.2016
өлшемі374.5 Kb.
#208500


ЎЗБЕКИСТОН РЕСПУБЛИКАСИ ХАЛҚ ТАЪЛИМИ ВАЗИРЛИГИ

ФАРҒОНА ВИЛОЯТИ ПЕДАГОГ КАДРЛАРНИ ҚАЙТА ТАЙЁРЛАШ ВА МАЛАКАСИНИ ОШИРИШ ИНСТИТУТИ

АНИҚ ВА ТАБИИЙ ФАНЛАР ТАЪЛИМИ” КАФЕДРАСИ



ФАРҒОНА ВИЛОЯТИ ОЛТИАРИК ТУМАНИ

19 - СОНЛИ УМУМИЙ ЎРТА ТАЪЛИМ МАКТАБИ МАТЕМАТИКА ЎҚИТУВЧИСИ

АБДУРАИМОВ СОБИРЖОНнинг

Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Я Э Л Е М Е Н Т Л А Р И”

МАВЗУСИДАГИ



Илмий раҳбар: О.Кодиров
Фарғона – 2012, декабрь

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЭЛЕМЕНТЛАРИ
Режа:


  1. Кириш.

а) Тригонометрияни келиб чиқиш тарихи.

б) Буюк алломаларимизни тригонометрияга қўшган хиссалари.



  1. Асосий қисм.

а) Тригонометрик функциялар таърифи.

б) Синус, косинус, тангенс ва котангенс ишоралари.

в) Айни бир бурчакнинг синус, косинус, тангенс ва котангенс орасидаги муносабат.

г) Қўшиш формулалари.

д) Иккиланган бурчакнинг синуси ва косинуси.

е) Синус ва косинуслар йиғиндиси ва айирмаси.



  1. Хулоса.


КИРИШ
Ҳозирги вақтда тригонометрик функциялар ёрдамида ечиладиган масалалар қадим замонларда пайдо бўлган. Қадимдан бундай масалаларни еча билишга жиддий талабларни астрономия қўйган. Астрономларни сферада ётган катта доираларнинг ёйларидан тузилган сферик учбурчакларнинг томонлари билан бурчаклари орасидаги муносабатлар қизиқтирган. Улар теккис учбурчакларни “ечиш”га доир масалаларга қараганда мураккаброқ масалаларни ечишни яхшигина уддалаганлар.

Бизнинг тригонометрик жадвалларимиз ўрнида қадимги математиклар берилган узунликлардаги ёйларни тортиб турувчи ватарлар жадвалини тузишган. Эрамиздан илгари III – II асрларда грек математиклари томонидан тузилган бундай қадимий жадваллар бизгача етиб келмаган. Ватар узунликлари ҳақидаги бизгача сақланиб қолган энг қадимий жадвал Александриялик астроном Птолемей (эрамизнинг II асри) томонидан тузилган. Бу жадвалларда айлана ватарларининг узунликлари 300 дан оралатиб берилган. Ватар узунликлари уч хонали олтмишлик касрлар шаклида, яъни



,

бунда a, b, c сонлари 0 дан 59 гача бўлган бутун сонлардир.



Sin, cos, tg, ctg, sec, cosec тригонометрик функциялар айланада ўтказилган кесмалар узунликларининг нисбатлари сифатида V – X аср ҳинд ва араб математикларида учрайди. Ҳинд математиги Ариабхата (V асрнинг оҳири) формулани ва ҳатто ярим бурчак синуси, косинуси ва тангенси формулаларини билар эди. Бу формулалар унга шу функцияларнинг жадвалларини тузиш учун хизмат қилган.

Ғарбий Европада тригонометрия XV – XVI асрларда актив ривожланди. Бунда бир қатор натижалар француз математиги Ф.Виетга (1540-1603) тегишлидир.

Дифференциал ҳисоб пайдо бўлиши билан тригонометрик функцияларнинг ҳосилалари учун формулалар топилди. Бу формулалар асосан И.Ньютонга маълум эди. Бу формулаларнинг геометрик усул билан чиқарилишини Котеснинг (1682 - 1716) ишларидан топиш мумкин. Аргумент дан гача ўзгарганда тригонометрик функцияларнинг қандай ўзгариши ҳақидаги очиқ тасаввурлар Д.Валлис (1616 - 1703) нинг асарларида учрайди. Аммо, умуман айтганда, Л.Эйлер (1707 - 1783) гача бўлган математиклар бу хусусида унча катта изчиллик кўрсатмадилар ва баъзи масалаларга боғлиқ равишда тригонометрик функцияларнинг аниқланиш соҳаларини турли усуллар билан чеклаб қўйдилар. Сон аргументнинг сонли функциялари ёки кесма узунликларининг бурчак катталигига ёки ёй узунлигига боғлиқлиги дейилганда нима назарда тутилиши очиқ эмас эди.

Тригонометрик функциялар назарияси ҳозирга кўриниши Л.Эйлер асарлари, жумладан унинг “Чексиз кичиклар анализига кириш” 1748 йилдаги китобида олди.

Умуман олганда, математиканинг, хусусан тригонометриянинг ривожида нафақат чет эл олимлари, балки ўзимизнинг буюк алломаларимиз ҳам ўзларини ҳиссаларини қўшганлар. Булардан Муҳаммад ал-Хоразмий, Аҳмад Фарғоний, Абу Райҳон Беруний, Мирзо Улуғбек, Али Қушчи, Ғиёсиддин Жамшид ал-Коший кабилардир.

Юлдузларнинг осмон сферасидаги координаталарини аниқлаш, сайёраларнинг ҳаракатларини кузатиш, Ой ва Қуёш тутилишини олдиндан айтиб бериш ва бошқа илмий, амалий аҳамиятга молик масалалар аниқ ҳисобларни, бу ҳисобларга асосланган жадваллар тузишни тақозо этар эди. Ана шундай астрономик жадваллар Шарқда “Зиж”лар деб аталган.

Муҳаммад ал-Хоразмий, Абу Райҳон Беруний, Мирзо Улуғбек каби олимларимизнинг математик асарлари билан бирга “Зиж”лари ҳам машҳур бўлган, улар лотин ва бошқа тилларга таржима қилинган. Европада математиканинг, астрономиянинг тараққиётига салмоқли таъсир ўтказган.

Берунийнинг “Қонун маъсудий” асарида синуслар жадвали 15 минут оралиқ билан, тангенслар жадвали 10 оралиқ билан 10-8 гача аниқликда берилган. Ниҳоятда аниқ “Зиж”лардан бири Мирзо Улуғбекнинг “Зиж”и – “Зижи Кўрагоний” дир. Бунда синуслар жадвали 1 минут оралиқ билан, тангенслар жадвали 00 дан 450 гача – 1 минут оралиқ билан, 460 дан 900 гача эса – 5 минут оралиқ билан 10-10 гача аниқликда берилган.

Ғиёсиддин Жамшид ал-Коший “Ватар ва синус” ҳақида рисоласида ни вергулдан сўнг 17 хона аниқлигида ҳисоблайди

Буюк алломаларимиз қолдирган изларни ўз мисолларимизда кенг қўллаймиз.


ТРИГОНОМЕТРИК ФУНКЦИЯЛАР ТАЪРИФИ
Координата текислигида радиуси 1 га тенг ва маркази координата бошида бўлган айланани чизамиз. Бу айлана бирлик айлана дейилади.

а – расм.
1. Айтайлик, бўлса, бу нуқта бирлик айлана бўйлаб Р нуқтадан соат милли йўналишига қарама-қарши ҳаракат қилиб, узунликдаги йўлни босиб ўтади, дейлик (а – расм). Йўлнинг охирги нуқтасини М билан белгилаймиз.

Бу холда М нуқта Р нуқтани координата боши атрофида радиан бурчакка буриш билан ҳосил қилинади деб атаймиз.

2. Айтайлик, бўлсин. У ҳолда радиан бурчакка буриш ҳаракат соат милли йўналишида содир бўлганлигини ва нуқта узунликдаги йўлни босиб ўтганлигини билдиради.

б – расм.

Геометрия курсида 00 дан 1800 гача бўлган бурчаклар қаралган. Бирлик айлананинг нуқталарини координаталар боши атрофида буришдан фойдаланиб, 1800 дан катта бурчакларни, шунингдек манфий бурчакларни ҳам қараш мумкин. Буриш бурчагини градусларда ҳам, радианларда ҳам бериш мумкин. Масалан, Р(1;0) нуқтани га буриш 600 га буришни билдиради, га буриш 1800 га буришдир.

Нуқтани 3600 дан катта бурчакка ва -3600 дан кичик бурчакка буришга оид мисол кўрамиз. Масалан, 8100 бурчакка буришда нуқта соат милли ҳаракатига қарама-қарши иккита тўла айланишни ва яна 900 йўлни босиб ўтади. Буни қуйидагича ёзиш мумкин: 8100 = 2 . 3600 + 900.

Агар -8100 бурчакка буриш керак бўлса, нуқта соат милли йўналиши -900 йўлни босади.

Р(1;0) нуқтани 8100 бурчакка буришда 900 га буришдаги нуқтанинг айни ўзи ҳосил бўлади.

Ҳар қандай градусни сон қиймати мавжуддир. Энг аввало тригонометрик элементларига таъриф бериб ўтсак.



1-таъриф. бурчакнинг синуси деб (1;0) нуқтани координаталар боши атрофида бурчакка буриш натижасида ҳосил бўлган нуқтанинг ординатасига айтилади ( каби белгиланади)

. (1)

2-таъриф. бурчакнинг косинуси деб (1;0) нуқтани координаталар боши атрофида бурчакка буриш натижасида ҳосил бўлган нуқтанинг абсциссасига айтилади ( каби белгиланади)

. (2)

3-таъриф. бурчакнинг тангенси деб бурчак синусини унинг косинуси нисбатига айтилади ( каби белгиланади)

. (3)

. (4)

Синус, косинус, тангенс, котангенсда кўпроқ учраб турадиган қийматлари жадвалини келтирамиз.




Градус

00

300

450

600

900

1800

2700

3600

Радиан

0

















0







1

0

-1

0



1







0

-1

0

1



0



1



-

0

-

0



-



1



0

-

0

-

Ҳар қандай тригонометрик элементларни сон қийматини топиш мумкин. Бундан ташқари уларни радиандан градусга, градусдан радианга айлантириш мумкин. У қуйидагича топилади: ва.


СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС ВА КОТАНГЕНСНИНГ ИШОРАЛАРИ
Айтайлик, (1;0) нуқта бирлик айлана бўйлаб соат милли ҳаракатига қарама-қарши ҳаракат қилмоқда. Бу ҳолда I чоракда жойлашган нуқталарнинг ординаталари ва асциссалари мусбат. Шунинг учун, агар бўлса, бўлади.

II чоракда жойлашган нуқталар учун ординаталар мусбат, асциссалар эса манфий. Шунинг учун, агар бўлса, бўлади. Шунга ўхшаш, III чоракда , IV чоракда эса .



Агар (1;0) нуқта соат милли йўналишида ҳаракат қилса, у ҳолда ҳам синус ва косинуснинг ишоралари нуқта қайси чоракда жойлашганига қараб аниқланади.

Бизга маълумки, таърифга кўра . Шунинг учун, ва бир хил ишораларга эга бўлса, , ва қарама-қарши ишораларга эга бўлса, бўлади.

нинг ишоралари нинг ишоралари билан бир хил.


АЙНИ БИР БУРЧАКНИНГ СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС ВА КОТАНГЕНС ОРАСИДАГИ МУНОСАБАТ
Синус билан косинус орасидаги муносабатни аниқлаймиз.

Айтайлик, бирлик айлананинг М(х;у) нуқтаси (1;0) нуқтани бурчакка буриш натижасида ҳосил қилинган бўлсин. У ҳолда сину ва косинус таърифига кўра бўлади.



М нуқта бирлик айланага тегишли, шунинг учун унинг (х;у) координаталари тенгламани қаноатлантиради.

. (1)

(1) тенглик нинг исталган қийматида бажарилади ва асосий тригонометрик айният дейилади.

(1) тенгликдан синусни косинус орқали ва аксинча косинусни синус орқали ифодалаш мумкин:

, (2)

. (3)

Энди тангенс билан котангенс орасидаги боғланишни аниқлаймиз. Тангенс ва котангенс таърифига қўра:



; .

Бу тенгламаларни кўпайтирамиз: . Демак,



. (4)

(4) тенгликдан тангенсни сотангенс орқали ва аксинча котангенсни тангенс орқали ифодалаш мумкин.



, (5)

. (6)

(4) – (6) тенгликлар бўлганда ўринли бўлади.

Асосий тригонометрик айниятдан ва тангенснинг таърифидан фойдаланиб, тангенс билан косинус орасидаги боғлиқликни топамиз. фараз қилиб, тенгликни иккала қисмини га бўламиз:

,

. (7)

Агар , яъни бўлса, (7) формула тўғри бўлади.

(7) формуладан тангенсни косинус ва косинусни тангенс орқали ифодалаш мумкин.

Бундан ташқари, асосий тригонометрик айниятда котангенс билан синус орасидаги боғлиқликни топиш мумкин.





,

. (8)
ҚЎШИШ ФОРМУЛАЛАРИ
Қўшиш формулалари деб ва ларни ва бурчакларнинг синус ва косинуслари орқали ифодаловчи формулаларга айтилади.

Теорема. Ихтиёрий ва учун қуйидаги тенглик ўринли бўлади

. (1)

Исбот: нуқтани координаталар боши атрофида , , радиан бурчакларга буриш натижасида мос равишда , ва нуқталар ҳосил бўлади.

Синус, косинус таърифига кўра бу нуқталар қуйидаги координаталарга эга: , , .



бўлгани учун ва тенг ёнли учбурчаклар тенг ва уларнинг ва асослари ҳам тенг. Шунинг учун . Геометрия курсидан маълум бўлган икки нуқта орасидаги масофа формуласидан фойдаланиб, ҳосил қиламиз:

.

(1) формуладан фойдаланиб, бу тенгликни алмаштирамиз:





Асосий тригонометрик айниятдан фойдаланиб, ҳосил қиламиз:



, бундан .

(1) формуладан ни га алмаштириб, ҳосил қиламиз: .



. (2)

Синуслар учун қўшиш формуласини келтириб чиқарамиз:





.

Демак,


, (3)

. (4)

. Бу касрни сурат ва махражини га бўлиб, қуйидаги формулани ҳосил қиламиз:

, (5)

. (6)
ИККИЛАНГАН БУРЧАКНИНГ СИНУСИ ВА КОСИНУСИ
Қўшиш формулаларидан фойдаланиб, иккиланган бурчакнинг синуси ва косинуси формулаларини келтириб чиқарамиз.

.

Демак,


. (1)

.

. (2)

бизга маълум. Биз деб фараз қилиб, тангенсни иккиланган бурчагини топамиз:

. (3)
СИНУС ВА КОСИНУСЛАР ЙИҒИНДИСИ ВА АЙИРМАСИ
Мисол. Ҳисобланг: .

Ечиш: қўшиш формуласи ва иккиланган бурчак синуси формуласидан фойдаланиб, қуйидагига эга бўламиз:







.

Агар синуслар йиғиндиси формуласи



(1)

дан фойдаланилса, бу масалани соддароқ ечиш мумкин. Шу формула ёрдамида қуйидагини ҳосил қиламиз:



.

Энди (1) формула ўринли эканлигини исботлаймиз.



; белгилаш киритамиз. У ҳолда , ва шунинг учун



.

(1) формула билан бир қаторда қуйидаги синуслар айирмаси формуласи, косинуслар йиғиндиси ва айирмаси формулаларидан ҳам фойдаланилади:



(2)

(3)

(4)
ТАРИХИЙ МАСАЛАЛАР
1. Машҳур математик Абул вафо Муҳаммад ал-Бузжоний (940 - 998) масаласи.

бўлишини исботланг.

Исбот:




.

Айният исботланди.

2. Эйлернинг қуйидаги формуласини исботлайлик: .

Исбот:






.

Айният исботланди.



Бу масалалардан кўриниб турибдики, бизнинг ватандош алломаларимиз ҳам алгебрага, шу қатори тригонометрияни ёритилишига жуда катта ҳисса қўшганлар. Биз улардан чексиз фаҳрланамиз!
ФОЙДАЛАНИЛГАН АДАБИЁТЛАР


  1. Ш.А.Алимов, М.А.Мирзааҳмедов “Алгебра” 9-синф учун дарслик. Т., 2002.

  2. А.Н.Колмогоров “Алгебра ва анализ асослари” Т., 1988.

  3. В.А.Гусев “Справочник” Т., 1988.



Достарыңызбен бөлісу:




©dereksiz.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет