Згідно з типовими навчальними планами загальноосвітніх навчальних закладів, у середній школі України поновлено ви­вчення астрономії як обов'язкового предмета інваріантної час­тини навчальних планів

8. 
   Молярна маса речовини Сонця дорівнює приблизно 0,6. Чо­
   му вона менша від 1 ? Зробить оцінку повної кількості части­
   нок, що утворюють Сонце.
   
9. 
   Поверхня Місяця відбиває всього 7% сонячного світла,
   яке падає на неї. Чому ж яскравість місячної поверхні не
   в 14 разів, а в сотні тисяч менша, ніж яскравість сонячного
   диска?
   

До речі, чому доцільно побудувати обсерваторію на Місяці?

11. Поет М. Гумільов писав:

На далекой звезде Венере

Солнце шгаменней и золотистей. На Венере, ах, на Венере На деревьях синие листья.

Наскільки Сонце на Венері є палючішим, тобто наскіль­ки Венера отримує від Сонця енергії більше, ніж Земля, і яка має бути на ній у зв'язку з цим температура? Чи мо­жуть на Венері рости дерева із « синім листям » ?

12. 
    Який колір має Сонце, коли воно сходить і коли заходить?
    
13. 
    Сонце — джерело життя на Землі. А якою є середня енергія
    фотонів сонячного випромінювання?
    
14. 
    Середня густина речовини у Всесвіті становить приблиз­
    но 8-Ю"³⁰ г/см³. Чого у Всесвіті більше: нуклонів (прото­
    нів і нейтронів, разом узятих) чи квантів електромагнітного
    випромінювання — фотонів?
    

1. Згадаємо, що об'єм кулі (Землі) дорівнює

а об'єм циліндра (дроту) — V = — Ld²,

4

154

де L — довжина циліндра, a d — його діаметр. Рівняючи ці об'єми, одержимо, що діаметр дроту становить

3L

Підставляючи в одержану формулу значення відста­ней від Землі до Сонця (і,510⁸ км), до зорі а Центавра (і,3 пк = 1,3-ЗД10¹³ км) і до Туманності Андромеди

Ця задача наочно демонструє вплив показника степеня на залежність результату від певного параметра й водночас дозволяє порівняти значення трьох характерних відстаней у Всесвіті. її автор — відомий астрофізик-теоретик акаде­мік В. В. Соболєв.

Справжній мандрівник мусить уміти використовувати не­бесні явища для орієнтування в просторі та часі. Але при­пустімо, що наш мандрівник не практик, а теоретик. Тому він не знає зоряного неба, однак знає, який полюс планети є північним, а який південним. Визначити це можна в такий спосіб: з Північного полюса світу добове обертання планети виглядає як таке, що відбувається проти ходу годиннико­вої стрілки. Тому обертання небесної сфери для спостеріга­ча, який знаходиться у Північній півкулі планети, відбу­вається за годинниковою стрілкою, тобто зі сходу на захід. А в Південній півкулі це обертання, навпаки, виглядає як таке, що відбувається із заходу на схід. При цьому різниця в обертанні небесної сфери найбільш виразно виявляється саме в полярних зонах. Тому, спостерігаючи деякий час за переміщенням зір у їхньому добовому русі, мандрівник мо­же визначити, на яку півкулю Землі він потрапив.

Звичайно, для Землі така ситуація з її полюсами скла­лася історично. Це правило визначення назв полюсів за­стосовується й щодо інших планет, точніше до тих, у яких

155

Розділ III

осьове обертання відбувається в тому ж напрямку, що й рух за орбітою (таке обертання має назву прямого). Винятками з цього правила є Венера та Уран, які мають обернене осьове обертання. Для Венери це є наслідком припливного гальму­вання її обертання Сонцем і Землею. Що ж до Урана, то вісь його обертання, на відміну від решти планет, є близькою за напрямком до площини його орбіти. Це, мабуть, наслідок якоїсь катастрофічної події.

3. Насамперед з'ясуємо, про який саме місцевий час ідеться в умові задачі. Якщо, указуючи час події, не уточнюють, про який саме час ідеться, то мають на увазі місцевий серед­ній сонячний час. Однак зрозуміло, що напрямок тіні ви­значається істинним сонячним часом, тобто положенням реального, а не середнього Сонця. Але найбільша різни­ця між істинним і середнім сонячним часом не перевищує 20 хв. Із цього випливає, що, нехтуючи різницю між цими двома способами вимірювання часу, ми зробимо похибку, яка не перевищує 5° . Тобто, висловлюючись мовою моря­ків, ми будемо шукати розв'язання нашої задачі з точністю до половини румба (румб — це кут, який дорівнює 1/32 по­вного кута, або приблизно 11°).

Дата, наведена в умові задачі, близька до моменту осін­нього рівнодення, тобто схилення Сонця близьке до 0° . Інакше кажучи, вважатимемо, що Сонце знаходиться на небесному екваторі. Аналіз місцевого часу дозволяє визна­чити годинний кут Сонця. Оскільки початок сонячної доби збігається з нижньою кульмінацією Сонця, то о 15 годині його годинний кут t дорівнює 3^Л , або 45° . А для того щоб визначити орієнтацію вікна, нам треба встановити азимут Сонця А в даний момент. Годинний кут відлічується вздовж небесного екватора, азимут — уздовж математичного гори­зонту. У свою чергу, те, як розташовані відносно один одно­го небесний екватор і математичний горизонт, залежить від широти місця, де ми знаходимося. Із відповідних визначень випливає, що кут між площинами цих великих кіл на не­бесній сфері доповнює широту місця спостереження до 90° . Тому на екваторі Землі небесний екватор розташований вер­тикально, але він завжди проходить через точки сходу та заходу. Отже, тінь від рами буде спрямована на схід, а ві-

156

g-BANOHL

g-BANOHL

Додаткові матеріали для поглибленого вивчення астрономії

кно буде зорієнтоване на захід. Якщо ж ми наближатимемо­ся до полюса, то кут між небесним екватором і горизонтом зменшуватиметься, наближаючись до нуля. Відповідно го­динний кут та азимут зближуватимуться, тобто значення азимута буде наближатися до 45° . Орієнтація вікна набли­жатиметься до напрямку на південний захід. Зрозуміло, що на проміжних (помірних) широтах орієнтація вікна перебу­ватиме десь поміж заходом і південним заходом.

Вище було подано розв'язання задачі на якісному рів­ні, для якого достатньо було лише визначень відповідних основних ліній на небесній сфері та координат в горизон­тальній та першій екваторіальній системах координат. Для кількісного ж розв'язання задачі потрібні вже дві основні формули сферичної тригонометрії — формули косинусів і синусів. Слід розглянути так званий паралактичний три­кутник ZPS: «зеніт» — «полюс світу» — «світило» (у да­ному разі Сонце). Його сторони: ZP — доповнення широти місця спостереження до 90° , PS — доповнення схилення до 90° і ZS — зенітна відстань, кут при вершині Z доповнює азимут до 180° , а кут при вершині Р — це годинний кут. То­му формула косинусів (яка, до речі, може бути одержана як скалярний добуток відповідних одиничних векторів) з ура­хуванням того, що схилення дорівнює 0, дає:

де ф — географічна широта. А формула синусів (що при­родно узагальнює формулу синусів плоскої тригонометрії)

дасть значення синуса азимута:

sinz

Виконавши обчислення, наприклад для широти 50° , одержимо значення азимута Сонця А = 52,5° . Відразу ж за­уважимо, що чверть, у якій лежить значення азимута, ми вже фактично визначили на попередньому етапі розв'язан­ня задачі. У загальному ж випадку треба за відповідною формулою обчислити ще й косинус азимута, а потім, аналі­зуючи знаки синуса та косинуса азимута, визначити, у якій чверті знаходиться його значення.

Нарешті, відзначимо ще таке. По-перше, широта 50° — це широта Харкова. Але більшість обласних центрів Украї­ни розташовані в широтній зоні 50° ±2°. Тому, ураховуючи

157

сказане про точність нашого розв язання, відповідь стосу­ється й цих міст. Для одержання точнішої відповіді треба врахувати точніше значення їхньої широти та значення рів­няння часу в день 22 вересня. По-друге, хоча розглядалася широта, близька до середньої між широтами екватора та по­люса, значення азимута тіні ще мало відрізняється від 45° .

4. Протони, викинуті під час хромосферного спалаху із Сон­
ця, летять до Землі з постійною швидкістю. Щоб знайти цю
швидкість, треба просто поділити відстань від Сонця до Зем­
лі на час, за який частинки досягають Землі і який дорівнює
одній добі, тому

V= ^{1>5 10} =1700 км/с. 86400

Тепер нескладно знайти кінетичну енергію протонів, згадавши, що їхня маса дорівнює 1,7 10~³ кг. Ця енергія дорівнює 2,5 10~¹⁵ Дж. Для того щоб знайти значення цієї енергії в електрон-вольтах, треба поділити її на заряд елек­трона в кулонах (1,6-ІСГ¹⁹ Кл), тому що електрон-вольт — це енергія, якої набуває електрон, пройшовши шлях в елек­тричному полі з різницею потенціалів в 1 В. Одержимо остаточно, що середня енергія протонів сонячного вітру до­рівнює приблизно 15 КеВ. Нагадаємо, що електрон-вольт — одиниця енергії, зручна для застосування в атомній фізиці та фізиці елементарних частинок, а в астрофізиці відповідні процеси відіграють важливу роль.

Звернемо увагу на те, що в розрахунках ми отримува­ли не більш ніж дві значущі цифри. Це пов'язано з тим, що насправді різні протони одержують під час спалаху неодна­кову енергію, надто під час різних спалахів. Тому йдеться лише про певне середнє, характерне значення енергії про­тонів і відповідно про середній час досягнення ними Землі. Це підкреслено в умові задачі виразом «приблизно за добу».

5. Найбільш інформативним з астрономічного погляду є ури­

158

сяць — «близький». Це наслідок того, що світило знахо­диться низько над горизонтом, коли воно здається більшим (а тому і ближчим), ніж завжди. Удаваний розмір Місяця в цьому випадку зумовлений тим, що він спостерігається на тлі віддалених земних об'єктів поблизу горизонту.

Крім того, Пушкін пише: «Надо мной в лазури ясной светит звездочка одна». Що це за світило? «Наді мною» — значить, воно знаходиться високо над горизонтом. «У лазу­рі ясній» — значить, на ще світлому небі, тобто це досить яскраве світило. Але це не можуть бути найяскравіші сві­тила нашого неба Венера або Сиріус. Венера — внутрішня планета, вона не може розташовуватися далеко від Сонця, а Сиріус має від'ємне схилення й у наших широтах не під­німається високо. Найімовірніше, це одна з найяскравіших зір літнього неба а Ліри — Вега.

У наступних трьох уривках ідеться про колір Місяця. У Лєрмонтова він білий, у Єсеніна — золотий (жовтий), у Чехова — червоний. І кожний з них має рацію. Справа тут у різному впливі земної атмосфери на забарвлення світила, що спостерігається, залежно від його висоти. У разі розсі­яння світла на частинках повітря (точніше кажучи, на те­плових флуктуаціях густини повітря) кількість розсіяного світла обернено пропорційна четвертому степеню довжини світлової хвилі. Під час розсіяння світла пиловими частин­ками ця залежність не така сильна, але все ж таки ефек­тивніше розсіюється більш короткохвильове світло. Якщо світило стоїть високо над горизонтом, то світло проходить крізь відносно невелику товщу атмосфери й колір світила практично не змінюється. Якщо ж висота світила невели­ка, то товща атмосфери, крізь яку проходить світло, значно збільшується (приблизно як косеканс висоти) і розсіянням видаляється значна частина світла, насамперед із корот­шою довжиною хвилі, тобто спочатку слабнуть сині проме­ні, потім жовті й так далі. Мабуть, Лєрмонтов описав своє враження від зимового Місяця, який стояв високо в небі, бо саме взимку Місяць у повні спостерігається високо над го­ризонтом, оскільки Сонце взимку опускається глибоко під горизонт. Єсенін бачив Місяць, розташований порівняно низько, а герої чехівського оповідання «Аптекарка» поба­чили Місяць біля самого горизонту (бо кущі були віддалені).

159

g-BANOHL

g-BANOHL

Розділ III

Слід віддати належне М. Лєрмонтову. Він звернув ува­гу на ще одну особливість Місяця, написавши, що Місяць у небі «точно блин». Цим порівнянням поет підкреслив, що Місяць має вигляд не об'ємного тіла, а плоского диска. Від­бувається це не тільки тому, що зір людини не сприймає форм об'єму на великій відстані. Особливістю Місяця є те, що в повні яскравість деталей на його поверхні не залежить від їхнього положення на місячному диску: вона однакова й у центрі, і на краю Місяця. Звернув увагу на це ще Г. Галі-лей — перша людина, яка поглянула на Місяць і взагалі на небо в телескоп. Він правильно пов'язав це явище з великою шорсткістю місячної поверхні. Довів же цей факт шляхом відповідних вимірювань український астроном М. П. Бара-бапіов. Якби поверхня Місяця була світлою та матовою, то яскравість її була б пропорційною косинусу падіння соняч­них променів і краї місячного диска були б темнішими від його центральної частини, що створювало б ефект об'ємнос­ті Місяця.

Зауважимо, що ми вважали за можливе й навіть потрібне зберегти мову оригіналу у використаних уривках із худож­ніх творів, бо їхніми авторами є найвидатніиіі майстри слова.

6. Час досягнення Південного полюса снарядом-супутником Землі визначається як половина періоду його обертання на­вколо Землі. Щоб знайти цей час, треба довжину півкола tlR₃ (R₃ — радіус Землі) поділити на першу космічну швид­кість:

Одержимо, що час

GM_Z

Зауважимо, що формулу для першої космічної швидко­сті нескладно отримати, якщо дорівняти прискорення віль­ного падіння, яке визначається згідно із законом всесвіт-

нього тяжіння як y~ , доцентровому прискоренню —— .

R₃ R_z

Час руху снаряда в шахті визначити складніше. Річ у тому, що в кожний момент він притягується лише тією

160

Додаткові матеріали для поглибленого вивчення астрономії

частиною маси Землі, яка міститься всередині сфери, що проходить через миттєве положення снаряда. Тому першу половину свого шляху снаряд проходить, рухаючись при­скорено, але величина прискорення зменшується до нуля в центрі Землі. Закон цього зменшення залежить від змінен-ня величини маси, яка притягує снаряд, а остання, у свою чергу, залежить від закону зміни густини Землі вздовж її радіуса. Але можна відповісти на питання задачі, якщо роз­глянути прості граничні випадки розподілу густини в пла­неті, поміж якими знаходиться цей розподіл для реальної Землі.

Випадок 1. Однорідна планета (модель Ньютона) — гус­тина р не залежить від відстані до її центра. Тоді на відстані г від центра маса, що притягує снаряд, дорівнює

З ^{Р 3}

а прискорення снаряда дорівнює відповідно

GM(r) GM_zr

а--

Знак « - » указує на те, що радіус-вектор і вектор приско­рення протилежно спрямовані. Але вираз для прискорення показує, що воно за величиною є пропорційним відстані до центра, тобто ми маємо тут справу з таким же законом для сили, як у випадку пружних коливань. Це значить, що пів-період коливання (час, який нам і треба визначити), можна знайти за аналогією до формули для півперіоду малих коли­вань маятника:



8

де L — довжина маятника, a g — прискорення вільного па­діння на поверхні Землі. Прискорення ж маятника

а = г,

де і відхилення маятника від положення рівноваги в го­

ризонтальному напрямку. Порівнюючи вирази для приско­
рень маятника та нашого снаряда, одержимо, що час руху
останнього

Ї6І

GM₃

Цікаво, що цей час збігається з часом руху супутника по півколу.

Випадок 2. Уся маса планети зосереджена в її центрі (ду­же мале важке ядро й дуже легка оболонка, модель Гюй-генса). У цьому разі потрібний час можна знайти двома шляхами. Перший — це інтегрувати від 0 до Л₃ рівняння

трібен кисень, тому в повітрі, яке безпосередньо оточує полум'я свічки, його вміст швидко зменшиться. Але це ж полум'я нагріває повітря. Нагріте повітря розширюється, стає легшим і піднімається вгору. На його місце надходе хо­лодніше повітря, збагачене киснем, що в цьому разі є най­важливішим. І свічка продовжує горіти. Явище піднімання нагрітого повітря вгору зветься конвекцією. Вона виникає тоді, коли випітовхувальна сила Архімеда стає більшою від ваги нагрітого повітря. А на орбітальній станції в умовах не­вагомості конвекція не виникатиме, і свічка швидко згасне. Узагалі, відсутність конвекції в газі або рідині в нева­гомості — це суттєва особливість умов на борту космічного апарата.

8. Молярна маса — це маса атома чи молекули в атомних оди­ницях маси, практично в частках маси протона. Тому зда­ється, що вона не може бути меншою від 1, бо такою во­на є в найлегшого атома — атома Гідрогену. Але речовина Сонця нагріта до дуже високих температур — від 6000 К біля поверхні до 15 млн К у центрі. Тому вона вся (за ви­нятком дуже тонкого поверхневого шару) повністю йоні-зована. Більшу частину речовини Сонця становить Гідро­ген (приблизно 70 % за масою). Під час йонізації Гідрогену одержуємо дві частинки — протон та електрон. Маса елек­трона дуже мала (у 2 тис. разів менша від маси протона). Тому молярна маса суміші протонів та електронів практич­но дорівнює 0,5. Решту, майже ЗО % маси Сонця, становить Гелій, частка більш важких елементів не перевищує 2 %. Молярна маса Гелію дорівнює 4, але за повної його йоніза­ції утворюється два електрони, тобто всього три частинки, тому молярна маса повністю йонізованого Гелію дорівнює 4/3. Як тепер знайти молярну масу суміші йонізованих Гід­рогену та Гелію? Слід скористатися рівнянням стану іде­ального газу:

ц

де р — тиск, R — універсальна газова стала, р — густина, аї¹ — температура. Однак такому ж рівнянню стану під­коряється не тільки суміш газів, але й кожний газ окремо, тобто маємо:

163

g-BANOHL

g-BANOHL

Розділ III

Ft Ft

Але повний тиск створюється сумою тисків окремих га­зів, а їхні густини дорівнюють 0,7 і 0,3 від повної густини суміші. Складаючи праві частини останніх двох рівнянь із відповідними масами й дорівнюючи отриману суму правій частині попереднього рівняння, одержимо, що

1 0,7 0,3

Підставляючи значення молярних мас йонізованих Гід­рогену та Гелію, одержимо, нарешті, значення молярної ма­си речовини Сонця, яке дорівнює приблизно 0,6.

Щоб знайти тепер повну кількість частинок, які утворю­ють Сонце, треба лише поділити його масу на добуток \іт_р:

9 1 П³⁰

= 210⁵⁷,

0,61,710 де т_р — маса протона.

Тепер, за бажанням, можна оцінити повне число нукло­нів у Всесвіті, згадавши, що в Галактиці приблизно 400 млрд зір, а в Метагалактиці — близько 1 млрд галактик. Матиме­мо таку оцінку за порядком величини: N_n ~ 10⁸⁰.

9. Яскравість не самосвітної, а відбивної поверхні (а саме та­кою є поверхня Місяця) пропорційна її освітленості та від­бивній здатності. А освітленість від точкового (або сферично симетричного джерела, яким і є Сонце) змінюється оберне­но пропорційно квадрату відстані до нього, тому відношен­ня середніх яскравостей дисків Місяця та Сонця

де А — відбивна здатність поверхні Місяця, R — радіус

Б_@ 660000

Перш ніж перейти до наступних задач, нагадаємо не­обхідні відомості про закони теплового випромінювання. Якщо електромагнітне випромінювання перебуває в тер-