Згідно з типовими навчальними планами загальноосвітніх навчальних закладів, у середній школі України поновлено ви­вчення астрономії як обов'язкового предмета інваріантної час­тини навчальних планів

164

модинамічній рівновазі з речовиною, яка поглинає все ви­промінювання, що падає на неї (абсолютно чорне тіло), то інтенсивність випромінювання такою речовиною (кількість енергії, що її випромінює одиниця поверхні в одиничному тілесному куті та одиничному інтервалі довжин хвиль за одиницю часу) залежить тільки від температури поверхні та визначається законом (або функцією) Планка:

де h — стала Планка, с — швидкість світла, k — стала Боль-цмана (це множник переходу від температури до енергетич­них одиниць), є = 2,718 —основа натуральних логарифмів. Якщо підсумувати випромінювання на всіх довжинах хвиль (тобто проінтегрувати функцію Планка від 0 до не­скінченності за X), то одержимо повну кількість енергії, що випромінюється з одиниці поверхні в одиницю тілесно­го кута за одиницю часу, яка визначається законом Стефа-на — Больцмана:

де о — стала Стефана — Больцмана, вона дорівнює:

1,81-10--^.

м К

Повна ж потужність випромінювання з одиничної пло­щадки дорівнює кВ(Т).

У функції Планка є один максимум. Його положення та значення залежать від температури: чим вищою є тем­пература, тим на коротшій хвилі буде розташований цей максимум (X_mT = b — закон зміщення Віна, Ь = 0,29см) і тим більше значення він матиме. Якщо температура поверхні настільки мала, що у видимому оком діапазоні спектра випромінюється дуже мало енергії, то поверхня буде справді здаватися чорною. Якщо ж максимум випро­мінювання потрапляє у видимий діапазон довжин хвиль, то поверхня буде яскравою, колір її визначатиметься тим, у яку частину спектра (синю, жовту і т. д.) потрапляє цей максимум.

У наступних задачах будемо вважати, що умови застосу­вання вищенаведених законів виконуються.

165

10. По-перпіе, з'ясуймо, що означають слова «у спекотний мі­сячний полудень». Місячна поверхня нагрівається тією часткою сонячного випромінювання, яку вона поглинає і яку сама потім випромінює згідно із законами теплового випромінювання. Для того щоб знайти енергію, що її погли­нає одиниця поверхні Місяця, треба знати сонячну сталу Е (кількість енергії, що приходить до одиничної площад­ки, яка є перпендикулярною до напрямку на Сонце, за оди­ницю часу на середній відстані Землі та Місяця від Сонця,

£ = 1,36——). Тоді повна кількість сонячної енергії, що

м²

її перехоплює Місяць, дорівнює пЛ² Е , де R — радіус Мі­сяця, а випромінюється частка цієї енергії, яка дорівнює 1 -А, де А — відбивна здатність місячної поверхні. З друго­го боку, повна кількість енергії, яка випромінюється згід­но із законом Стефана — Больцмана, дорівнює 2кКпВ(Т). Зрівнюючи ці кількості енергії, знайдемо з одержаного рів­няння температуру поверхні. Матимемо, що температура

Множник 2 у знаменнику підкореневого виразу з'яв­ляється тому, що площа півсфери Місяця, яка освітлюєть­ся Сонцем, удвічі більша від поперечного розрізу Місяця. Зауважимо, що температура, яку знаходять таким чином, має назву ефективної. Обчислення ефективної темпера­тури місячної поверхні, освітленої Сонцем, дає значення Т = 388 К. Справді спекотно — більш ніж +100 °С . Що ж відбудеться з температурою залитої білилами залізної по­верхні? її відбивна здатність є близькою до 1, і з одержаної формули видно, що температура поверхні знизиться. Нехай (для визначеності) відбивна здатність білил дорівнює 99 % . Тоді температура поверхні становитиме всього 123 К, або -150°С,— довго на ній встояти справді буде важкувато. Мають виникнути питання: чому йдеться саме про заліз­ну поверхню й чому можна знехтувати її нагрівання від мі­сячного ґрунту? Мала теплоємність заліза приведе до того, що поверхня швидко остигне, мала теплопровідність дуже пористого місячного ґрунту заважатиме передачі тепла від ґрунту до більш холодної залізної поверхні.

166

g-BANOHL

Додаткові матеріали для поглибленого вивчення астрономії

Нарешті, слід зауважити, що під час розв'язання цієї задачі ми не враховували ще такої обставини. Певна час­тина сонячного випромінювання (довгохвильовий «хвіст» його спектра) лежить в інфрачервоній частині, де відбив­на здатність білил зменшується. Тому температура залізної поверхні, залитої білилами, буде насправді дещо вищою.

Стосовно доцільності побудови астрономічної обсервато­рії на Місяці, то вона пов'язана насамперед із відсутністю на ньому атмосфери. Земна атмосфера взагалі пропускає ви­промінювання небесних тіл лише в оптичному діапазоні та певній частині радіодіапазону. В оптичному діапазоні вона спотворює спектральний склад випромінювання, а головне, обмежує роздільну здатність телескопів. Відсутність розсі­яного атмосферою світла дозволяє вести спостереження на Місяці не тільки вночі, але й удень, а мала швидкість добо­вого обертання Місяця спрощує проблему гідування під час спостережень.

11. Знайти сонячну сталу для Венери нескладно. Для цього треба сонячну сталу для Землі поділити на квадрат вели­кої півосі орбіти Венери, виражену в астрономічних одини­цях. Потім можна знайти ефективну температуру Венери за формулою попередньої задачі, для чого треба знати відбив­ну здатність Венери. її поверхня вкрита суцільним шаром хмар. Хмари досить світлі, можна прийняти їхню відбивну здатність рівною 0,7 (зверніть увагу на те, що, обчислюю­чи ефективну температуру, доводиться видобувати корінь четвертого степеня, а тому результат є малочутливим до ви­хідних даних, якщо відбивна здатність не зовсім близька до одиниці). Ефективна температура Венери виявляється рів­ною 290 К. Здавалося б, температура цілком придатна для життя. Але Венера — це не Місяць, вона має потужну ат­мосферу («знатну атмосферу», за висловом М. В. Ломоно-сова, який відкрив її 1761 p.). Складається ця атмосфера переважно з вуглекислого газу, який ефективно поглинає інфрачервоне випромінювання. Саме в цій частині спектра лежить максимум планківського випромінювання за роз­глядуваних температур (Т^ЮО К). Атмосфера поглинає, а потім перевипромінює випромінювання поверхні планети частково в космос, а частково назад до поверхні. Унаслідок

167

цього температура поверхні та нижньої атмосфери підви­щується. Таке явище має назву парникового ефекту. На Ве-нері це підвищення температури вельми значне. Температу­ра поверхні Венери сягає 750 К, що підтверджено вимірами за допомогою радянських автоматичних станцій. Зрозумі­ло, що про жодні форми життя за таких умов не може бути й мови.

Заради справедливості треба зауважити, що тоді, коли М. Гумільов писав свого вірша, про все це ще не було відо­мо. Пробачимо поетові й те, що планету Венеру він назвав зорею.

12. Ця задача може видатися дуже простою. Усякий, хто бачив схід і захід Сонця, скаже, що воно в цей час має червоний колір. А зумовлюється це тією ж причиною, яка викликає почервоніння Місяця поблизу горизонту. Але слід згадати сказане наприкінці вступу до задач 10—14 про колір само­світних тіл. Спробуємо з'ясувати, де лежить максимум пря­мого сонячного випромінювання, що пройшло крізь земну атмосферу. Це вже задача непроста. Розіб'ємо її розв'язан­ня на чотири етапи. По-перше, з'ясуємо, якою була б висота земної атмосфери, якби вона була однорідною, тобто якби її густина не змінювалася з висотою. По-друге, знайдемо до­вжину піляху світлового променя в цій атмосфері для світи­ла, яке спостерігається на горизонті. По-третє, з'ясуємо, як ослаблюється під час проходження атмосфери світло з різ­ною довжиною хвилі. І, нарешті, знайдемо положення мак­симуму в спектрі сонячного випромінювання, яке пройшло крізь атмосферу.

1) Висота однорідної атмосфери Н має бути такою, щоб ва­
га її одиничного стовпа дорівнювала атмосферному тис­
ку біля поверхні, тобто

р₀ = p_ogH.

Підставляючи сюди р₀ = 10^а Па та р₀ =1,3 кг/м³ , зна­йдемо, що Н = 8 км.

2) Довжина променя світла знаходиться з відповідного
трикутника за теоремою Піфагора й дорівнює:

s = л/f Іх^ + Н) — R_s = -J2R₃H =40 км. Тут ми знехтували відносно дуже малу величину Н².

168

3) Якщо світло проходить достатньо малу відстань ds, то його інтенсивність / зменшиться на малу величину dl, пропорційну пройденій відстані, тобто dl = -aids,

Інтегруючи, а потім потенціюючи останній вираз, мати­мемо:

Зауважимо, що отримана формула має назву закону Бу-гера.

4) Тепер можна записати вираз для спектрального скла­ду сонячного випромінювання, що пройшло крізь земну атмосферу:

_„_Шя 2hc* є ^у '

-1

he ,XkT

Липіилося знайти, за якого значення довжини хвилі X функція /(А,) має максимум. Якщо підійти формально, то для цього слід знайти похідну функції та дорівняти її нулю. Але розв'язати одержане таким чином рівнян­ня можна лише якимось числовим методом. Тому про­стіше обчислити таблицю значень функції /(А,). Почати обчислення можна зі значення А = 0,6 мкм, бо відшуку­ваний максимум лежить принаймні в червоній частині спектра, та обчислювати значення функції, збільшуючи значення довжини хвилі кожного разу на 0,1 мкм доти, доки значення функції не почнуть зменшуватися. Тем­пература сонячної фотосфери дорівнює 5800 К, а коефі­цієнт а (коефіцієнт ослаблення, або екстинкції) можна прийняти, як показують астрономічні спостереження, рівним 0,1 для довжини хвилі Х = 0,6 мкм, а потім він зменшується обернено пропорційно четвертому степеню довжини хвилі світла. Результатом обчислень буде така таблиця (у відносних одиницях, без урахування постій­ного множника 2hc²):

X (мкм)	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0	ІД
І(Х)	33	157	312	401	418	398

169

Із цієї таблиці видно, що шуканий максимум лежить по­близу 1 мкм, тобто досить далеко в інфрачервоній час­тині спектра. Таким чином, відповідь на питання задачі буде такою: Сонце під час сходу та заходу є інфрачер­воним, а те, що ми бачимо,— це червоний короткохви­льовий «хвіст» прямого сонячного світла, яке пройшло крізь земну атмосферу.

13. Енергія кожного фотона дорівнює E-hv . Тому й формулу Планка в цій задачі зручніше використати у вигляді залеж­ності інтенсивності випромінювання від частоти:

- ' ftv V^і

Щоб знайти середню енергію фотонів, які випроміню­ються за даної температури, треба обчислити кількість ці­єї енергії в одиниці об'єму (густину енергії випромінюван­ня) і поділити її на кількість фотонів в одиниці об'єму (їхню концентрацію). Формула Планка дає енергію, що випромі­нюється в одиничний тілесний кут. Це значить, що треба величину B_V[T) помножити на 4л —величину повного ті­лесного кута. Одиничну відстань фотони проходять за час, що дорівнює 1/с, де с — швидкість світла. Таким чином, повна густина енергії випромінювання на всіх частотах до­рівнює:

^С 0

Для того щоб визначити концентрацію фотонів, слід спочатку знайти число фотонов із даною частотою v , поді­ливши їхню повну енергію B_v (Т) на енергію одного фото­на hv , потім скласти всі ці числа (проінтегрувати за часто­тою). У результаті концентрація фотонів є такою:

ставити його вираз і замінити в них на х, то, ураховую-

Ї70

¹ '

(hcf ie'-l

_I

²e ^x
x²e ^xdx

З цим і пов'язане зроблене в умові задачі твердження про Сонце як джерело життя на Землі.

14. Для того щоб відповісти на поставлене питання, слід зна­йти середні концентрації нуклонів і фотонів у Всесвіті. Кон­центрація нуклонів знаходиться діленням середньої густи­ни речовини (а це р ~ 8 • 10~³⁰ г/см³) на масу одного нуклона:

п =—— = 510~⁵нуклонів/см³.

^тп

Для визначення концентрації фотонів треба скориста­тися результатами попередньої задачі, з яких випливає, що ця концентрація, що дорівнює повній густині енергії випро­мінювання, поділеній на середню енергію одного фотона, становить:

Але яке ж значення температури треба взяти? Відомо, що весь Всесвіт рівномірно заповнений так званим релік­товим випромінюванням — фотонами, що залишилися від минулих епох еволюції Всесвіту. Що ж до випромінювання зір, то його густина спадає обернено пропорційно відстані від зорі, і тому його внесок в середню густину випроміню­вання нехтовно малий. Температура реліктового випромі­нювання зараз дуже невелика — усього 2,7 К. Це значення температури дає концентрацію фотонів, яка дорівнює при­близно 400 фотонам у кубічних сантиметрах. Таким чином, виявляється, що число фотонів у Всесвіті приблизно в сто мільйонів разів більше від числа нуклонів.

Результат може видатися несподіваним і дивним. Але дивним насправді є те, що у Всесвіті взагалі існує така від­носно мала кількість нуклонів. Річ у тому, що, розширюю­чись, наш Всесвіт остигає. Коли в минулому температура Всесвіту була значно більшою від енергії спокою нуклонів (1,3 ГеВ), то нуклони й антинуклони перебували в стані тер­модинамічної рівноваги та існували в однакових кількос­тях. Коли ж температура стала меншою від енергії спокою нуклонів, то мала відбутися анігіляція нуклонів та анти-нуклонів. Чому ж певна кількість нуклонів збереглася? Це питання баріонної асиметрії Всесвіту. Одну з можливих відповідей на це питання дав академік А. Д. Сахаров. Ви-

172

g-BANOHL

Додаткові матеріали для поглибленого вивчення астрономії

являється, що швидкості реакцій перетворення пари «ну­клон — антинуклон» на два гамма-кванти та оберненої ре­акції утворення такої пари з двох гамма-квантів трохи різні. І цього « трохи » вистачило для того, щоб залишилася та кіль­кість нуклонів, із яких складаємося і ми самі, і весь навко­лишній світ. Згідно із законом збереження електричного за­ряду, під час анігіляції електронів і позитронів залишилася й кількість електронів, що дорівнює кількості протонів.

КРОСВОРДИ ТА ЧАЙНВОРДИ

Кросворд № 1

Слова, які треба вгадати, розташовані вертикально, зверху вниз, а у виділеній горизонталі зашифровано прізвище видат­ного українського астронома.

173