1 Математическое моделирование ОиЛзЭС
жүктеу/скачать 100.76 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 1.2.1. Математическая модель ( ММ )
- 1.2.2. Проблемы математической теории ОиЛзЭС
1.2. Математическое моделирование ОиЛзЭСВажнейшим видом концептуально-знакового моделирования является математическое моделирование, осуществляемое средствами языка математики и логики и основанное на построении математической модели (ММ). Универсальная приложимость математических конструкций к изучению реально существующих ОиЛзЭС связана, прежде всего, с ограниченностью числа математических схем, возникающих при описании самых разнообразных ППС в технических приложениях. По гениальному определению В.И.Ленина «Единство природы обнаруживается «в поразительной аналогичности» дифференциальных уравнений, относящихся к разным областям явлений». Разве можно перечислить количество «внематематических» технических процессов и объектов, для описания которых оказываются удобными интегральные операции свертки или фурье-преобразования. Эта возможность многократной приложимости одного и того же математического понятия к анализу самых различных прикладных задач делает чрезвычайно ценной обобщенную трактовку ОиЛзЭС путем построения ее ММ [6,27,34-36]. 1.2.1. Математическая модель (ММ)Определение ММ тесно связано с фундаментальным понятием современной математики – математической структурой (иногда ее называют математической системой). Понятие структуры часто употребляется в современной науке и технике, однако далеко не всегда оно определяется однозначно. В то же время трудно переоценить его важность, так как нет ни одной области, где в той или иной форме не используется представление о структуре. При этом следует четко различать два основных варианта использования структуры на практике, соответственно в узком математическом смысле (математическая структура, или организованная математическая система) и широком прикладном значении (структура, или структура, системы) [28-30]. Идея математической структуры, наиболее широко развиваемая А.Н.Колмогоровым и группой математиков, выступающих под коллективным псевдонимом Никола Бурбаки, неотделима от таких понятий, как множество, элемент, отношение, отображение [4,16,43]. Общее определение математической структуры громоздко. В то же время на практике для построения ММ ОиЛзЭС вполне достаточно определения математической структуры первого порядка, называемой просто математической структурой. Математическая структура MSt (в узком смысле) – это набор объектов  , (1.1)
обозначаемый двойными угловыми скобками и состоящий: 1) из нескольких основных множеств 2) из заданных на этих множествах унарных (одноместных), бинарных (двуместных), тернарных (трехместных) и более высокой арности (местности) отношений  ;
3) из конечного запаса отображений  .
Унарное отношение – это какое-либо подмножество  (si) Si, где si Si. Бинарное отношение  (si, sj) связывает различные упорядоченные пары (si, sj) элементов, где sj Sj. Оно задается указанием некоторого подмножества (si, sj) в множестве всех упорядоченных пар. Последнее называется декартовым произведением (прямоугольником) множеств Si и Sj и обозначается   (si, sj). Заметим, что одномерная функция s(x) является частным случаем бинарного отношения (x, s(x)). Тернарное отношение   связывает упорядоченные тройки элементов из Si, Sj, Sк соответственно. Оно определяется подмножеством Si Sj Sк , где Si Sj Sк – так называемый декартов параллелепипед, т.е. совокупность всевозможных упорядоченных троек. Частным случаем тернарного отношения (x, y, s(x,y)) служит двумерная функция s(x,y).
В общем случае m-арное отношение Основные свойства отношений и отображений задаются аксиомами, которые должны быть включены в полное описание математической структуры. Содержание связанной со структурой MSt теории составляет изучение дальнейших свойств отношений R и отображений P, которые можно вывести из аксиом. В широком смысле на практике под структурой реальной ОиЛзЭС понимают способ организации её элементов и характер всевозможных связей в ОиЛзЭС. При этом из определения математической структуры (в узком смысле) выделяется только строение системы, т. е. не обращается внимание на элементы, составляющие систему, а рассматривается лишь число, направление и вид согласующих связей между элементами и их преобразующие свойства. Тогда структура системы (в широком смысле) представляет собой совокупность отношений и отображений, задающих упорядоченные связи в ОиЛзЭС. Одним из наиболее ярких применений понятия математической структуры при теоретическом анализе ППС является описание ММ ОиЛзЭС. Если объекты математической структуры трактуются как идеализированные реальные элементы (или понятия), а абстрактные отношения и отображения между этими объектами соответствуют конкретным связям между элементами и сигналами какой-то реальной системы (устройства) или процесса (явления), то говорят, что построенная структура st (в узком смысле) есть математическая модель (ММ) данной системы (устройства), процесса (явления). Таким образом, математическое моделирование предполагает установление взаимно однозначного соответствия (изоморфизма) между объектами математической структуры MSt и объектами (сигналами, элементами, параметрами, связями) реальной системы, процесса, явления на определенном, идеализированном уровне описания. Идея математической структуры дает возможность перейти от расплывчатого понимания ММ как приближенного описания системы (процесса), выраженного с помощью математической символики, к строгой формулировке понятия ММ, которая отражает моделируемые свойства технического объекта.
Анализ обычно начинают с проблемы описания используемых в ММ основных множеств Sк, элементы которых оказывают влияние на поведение ОиЛзЭС. По существу, это проблема описания множеств входных S = {s} и выходных ∑ = { Далее ставится задача определения взаимосвязей между входными и выходными сигналами с учетом связей между элементами и параметрами. Иначе говоря, возникает проблема идентификации, т. е. задача построения по результатам наблюдений некоторого запаса отношений Rl и отображений Для динамической системы решением проблемы идентификации является также множество U = {u} фазовых переменных или переменных состояния, являющееся фундаментальным понятием теории систем. Фазовые переменные возникают из-за того, что при формальном анализе характера зависимости выхода динамической системы от входа обнаруживается, что непосредственной связи между ними нет. Предысторию входов (причин) до момента времени t и выход в этот момент связывают фазовые переменные. Они характеризуют физическое или информационное состояние системы, а их изменения во времени выражают переходные процессы в динамической системе. К фазовым переменным относятся ток и напряжение в описании электронных систем, сила и скорость в описании механических систем. При анализе процесса преобразования оптических сигналов роль фазовых переменных или переменных состояния выполняют напряженность электрического поля в электромагнитной волне и поток излучения. Однако так как реальные переходные процессы в оптических ПЭ протекают со скоростью света, то эти ПЭ рассматриваются как стационарные подсистемы, динамика оптического поведения которых не имеет практического значения. Поэтому выделение оптических фазовых переменных пока самостоятельного значения не имеет, и они фактически совпадают с выходными сигналами. Таким образом, в общем случае решением проблем описания и идентификации является построение полной ММ ОиЛзЭС, в которой с необходимостью используют фазовые переменные, характеризующие состояния всех ПЭ. Соответствующая математическая структура (1.1), называемая для краткости ММ ОиЛзЭС, имеет вид  (1.2)
При этом множества S и ∑ считаются заданными в соответствующих областях определения С проблемой идентификации прежде всего тесно связана другая основная проблема – проблема представления систем, где изучаются возможные описания закономерностей поведения ПЭ или всей ОиЛзЭС. В рамках анализа ОиЛзЭС также представляет интерес задача прогноза выхода (x ,y ,t) по наблюдаемому входу s (x,y,t), называемая проблемой наблюдаемости. Следующая проблема теории систем связана с исследованием разрешимости задач формирования специального поведения, например, адаптивных ОиЛзЭС. Если проблема наблюдаемости возникает из необходимости прогнозирования будущего поведения системы, то формирование специального поведения вызывается необходимостью удовлетворения определенных требований, накладываемых ППС. Эти требования – цель, которая ставится перед системой. Для учета влияния входных сигналов на поведение системы выделяют два подмножества. Элементы одного из них не зависят от наблюдателя и называются возмущениями, а элементы другого – управлениями. Систему, цель и исходные данные, на основании которых должна решаться задача нахождения управлений, обеспечивающих достижение цели, называют проблемой управления. Чтобы сравнивать между собой по эффективности функционирования разные ОиЛзЭС, нужно иметь какой-то количественный критерий, так называемый показатель эффективности, который также называют целевой функцией. Целевая функция выбирается так, чтобы она отражала целевую направленность ОиЛзЭС. Лучшей будет считаться та ОиЛзЭС, поведение которой в максимальной степени способствует достижению поставленной цели. Другие проблемы теории ОиЛзЭС, например проблема устойчивости, являются детализацией основных сформулированных выше проблем. Многие из них возникают при синтезе систем с требуемыми свойствами. Решение этих проблем связано прежде всего с построением ММ ОиЛзЭС. жүктеу/скачать 100.76 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
математических элементов разной природы, различающихся условно приписываемыми им наименованиями;
, где m-арное (m-местное) отношение имеет вид
из декартовых произведений множеств 
в 
, т.е. отображений (операторов) вида 
(
, 
,..., sim) 
} сигналов, определенных в областях 
и 
пятимерного векторного пространства 
, которые задаются с помощью некоторых отношений RD в этом пространстве. Дополнительно в рамках концептуальной модели описываются конечные множества преобразующих элементов (звеньев) B = {b}, а также внутренних G = {g} и внешних Q = {q} параметров.
которые описывают реальную ОиЛзЭС. 
(g1,..., gm) и n-арного 
(q1,..., qn) отношений. Отношения определяются как подмножества 
и 
пятимерного векторного пространства 
, которые выделяются с помощью отношений RD, входящих в общий набор отношений. На практике выделение таких областей осуществляется в рамках ММ конкретной ОиЛзЭС. Поэтому в дальнейшем всегда будем считать, что задание множеств S и с необходимостью предполагает построение областей