1. Модель атома Бора

Примеры решения задач

1. Найти длину волны де Бройля пули массой 9 г, летящей со скоростью 100 м/с.

2. Кинетическая энергия протона в четыре раза меньше его энергии покоя. Вычислить дебройлевскую длину волны протона.

2. Какой кинетической энергией должен обладать электрон, чтобы дебройлевская длина волны была равна его комптоновской длине волны?

3. Чему должна быть равна кинетическая энергия протона, чтобы дебройлевская длина волны совпадала с его комптоновской длиной волны?

4. При каком значении скорости дебройлевская длина волны частицы равна ее комптоновской длине волны?

5. Кинетическая энергия электрона в три раза меньше его энергии покоя. Чему равна дебройлевская длина волны электрона?

6. Масса движущегося электрона в два раза больше его массы покоя. Вычислить дебройлевскую длину волны электрона.

7. Чему равна дебройлевская длина волны протона, движущегося со скоростью 0,6с (с – скорость света в вакууме)?

8. Вычислить дебройлевскую длину волны электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов 511 кВ.

9. Вычислить дебройлевскую длину волны протона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов 120 кВ.

10. Чему равна дебройлевская длина волны теплового нейтрона, обладающего энергией, равной средней энергии теплового движения при температуре 300 К?

11. Средняя кинетическая энергия электрона в невозбужденном атоме водорода, равна 13,6 эВ. Вычислить дебройлевскую длину волны электрона.

12. Кинетическая энергия нейтрона равна его энергии покоя. Определить дебройлевскую длину волны нейтрона.

13. Найти дебройлевскую длину волны молекул водорода, соответствующую их наиболее вероятной скорости при комнатной температуре.

14. Найти дебройлевскую длину волны молекул СО₂, соответствующую их средней скорости при комнатной температуре.

15. Найти дебройлевскую длину волны молекул азота, соответствующую их наиболее вероятной скорости при температуре 77 К.

16. Найти дебройлевскую длину волны молекул кислорода, соответствующую их средней скорости при температуре –70 єС.

17. Найти дебройлевскую длину волны молекул воды, соответствующую их средней скорости при комнатной температуре.

18. Вычислить дебройлевскую длину волны электрона, имеющего кинетическую энергию 100 эВ.

19. Вычислить дебройлевскую длину волны протона, имеющего кинетическую энергию 200 эВ.
Рис.2.1
20. Вычислить дебройлевскую длину волны атома урана, имеющего кинетическую энергию 100 эВ.

21. Частица движется слева направо в одномерном потенциальном поле, показанном на рис.2.1. Левее барьера, высота которого U = 15 эВ, полная энергия частицы равна 20 эВ. Как изменится дебройлевская длина волны частицы при переходе через барьер?

22. Частица движется справа налево в одномерном потенциальном поле, показанном на рис.2.1. Правее барьера, высота которого U = 15 эВ, кинетическая энергия частицы равна 5 эВ. Как изменится дебройлевская длина волны частицы при переходе через барьер?

23. Какую энергию необходимо дополнительно сообщить электрону, чтобы его дебройлевская длина волны уменьшилась со 100 до 50 пм?

24. Как нужно изменить энергию нейтрона, чтобы его дебройлевская длина волны увеличилась с 50 до 100 пм?

25. Как изменится дебройлевская длина волны частицы, если ее кинетическая энергия уменьшится в 3 раза?

где Δx и Δp_x – неопределенность координаты и проекции импульса частицы, ћ = h/2π; h – постоянная Планка. Соотношение неопределенностей для энергии E и времени t имеет вид

2. Среднее время жизни возбужденных состояний атома составляет 10 нс. Вычислить естественную ширину спектральной линии ( = 0,7 мкм), соответствующую переходу между возбужденными уровнями атома.

2. Используя соотношение неопределенностей, показать, что в ядре не могут находиться электроны. Линейные размеры ядра принять равными 5,810^–15 м.

3. Чему равна неопределенность координаты покоящегося электрона?

4. Вычислить неопределенность координаты покоящегося протона?

5. Кинетическая энергия протона равна его энергии покоя. Чему равна при этом минимальная неопределенность координаты протона?

6. Масса движущегося электрона в два раза больше его массы покоя. Вычислить минимальную неопределенность координаты электрона.

7. Чему равна минимальная неопределенность координаты фотона, соответствующего видимому излучению с длиной волны 0,55 мкм.

8. Среднее время жизни эта-мезона составляет 2,410^–19 с, а его энергия покоя равна 549 МэВ. Вычислить минимальную неопределенность массы частицы.

9. Среднее время жизни возбужденного состояния атома равно 12 нс. Вычислить минимальную неопределенность длины волны λ = 0,12 мкм излучения при переходе атома в основное состояние.

10. Естественная ширина спектральной линии λ = 0,55 мкм, соответствующей переходу атома в основное состояние, равна 0,01 пм. Определить среднее время жизни возбужденного состояния атома.

11. Ширина следа электрона (обладающего кинетической энергией 1,5 кэВ) на фотопластинке, полученного с помощью камеры Вильсона, составляет Δх = 1 мкм. Определите, можно ли по данному следу обнаружить отклонение в движении электрона от законов классической механики.

12. Электронный пучок ускоряется в электронно-лучевой трубке разностью потенциалов U = 1 кВ. Известно, что неопределенность скорости составляет 0,1 % от ее числового значения. Определите неопределенность координаты электрона. Являются ли электроны в данных условиях квантовой или классической частицей?

13. Определите отношение неопределенностей скорости электрона, если его координата установлена с точностью до 10^–5 м, и пылинки массой m = 10^–12 кг, если ее координата установлена с такой же точностью.

14. Электронный пучок ускоряется разностью потенциалов U = 200 В. Определить, можно ли одновременно измерить траекторию электрона с точностью до 100 пм (с точностью порядка диаметра атома) и его скорость с точностью до 10 %.

15. Электрон движется в атоме водорода по первой боровской орбите. Принимая, что допускаемая неопределенность скорости составляет 10 % от ее числового значения, определите неопределенность координаты электрона. Применимо ли в данном случае для электрона понятие траектории?

16. Используя соотношение неопределенностей в форме (3.1), оцените минимально возможную полную энергию электрона в атоме водорода. Примите неопределенность координаты равной радиусу атома.

17. Оцените размытость энергетического уровня в атоме водорода: а) для основного состояния; б) для возбужденного состояния (время его жизни равно 10^–8 с).

18. Длина волны λ излучаемого атомом фотона составляет 0,6 мкм. Принимая время жизни возбужденного состояния Δt = 10^–8 с, определите отношение естественной ширины энергетического уровня, на который был возбужден электрон, к энергии, излученной атомом.

19. Принимая, что электрон находится внутри атома диаметром 0,3 нм, определите (в электронвольтах) неопределенность энергии данного электрона.

20. При движении вдоль оси х скорость оказывается определенной с точностью Δv_x = 1 см/с. Оценить неопределенность координаты Δx: а) для электрона, б) для броуновской частицы массы m = 10^–13 г, в) для дробинки массы m = 0,1 г.

21. Электрон с кинетической энергией Е = 4 эВ локализован в области размером L = 1 мкм. Оценить относительную неопределенность его скорости.

22. Оценить наименьшие ошибки, с которыми можно определить скорость электрона, протона и шарика массы 1 мг, если координаты частиц и центра шарика установлены с неопределенностью 1 мкм.

23. Свободный электрон в момент времени t = 0 локализован в области Δx₀ = 0,1 нм. Оценить ширину области локализации этого электрона спустя t = 1 с.

24. След пучка электронов на экране электронно-лучевой трубки имеет диаметр d = 0,5 мм. Расстояние от электронной пушки до экрана L = 20 см, ускоряющее напряжение U = 10 кВ. Оценить неопределенность координаты электрона на экране.

25. Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимальную кинетическую энергию электрона, локализованного в области размером L = 0,20 нм.

4. Введение в квантовую механику.

Уравнение Шредингера
Поведение частицы в микромире описывается волновой функцией ψ, которая в общем случае является комплексной величиной. Квадрат модуля этой функции определяет вероятность того, что частица находится в бесконечно малом объеме dV вблизи рассматриваемой точки с координатами x,y,z:

(4.1)

где ψ^* – комплексно сопряженная величина. Вероятность найти частицу в конечном объеме V равна

Волновая функция однозначна, непрерывна, ограничена и на бесконечности стремится к нулю.Так как вероятность найти частицу во всем пространстве равна 1, то имеет место условие нормировки

где интегрирование ведется по всему пространству.

Каждой физической величине q, характеризующей состояние частицы с волновой функцией ψ, ставится в соответствие оператор такой, что среднее значение q вычисляется по формуле

. (4.4)

Оператор координаты (и оператор любой функции, зависящей только от координат) совпадает с самой координатой х (функцией). Действие оператора импульса (i – мнимая единица) сводится к дифференцированию. Действие оператора полной энергии

на волновую функцию дает энергию частицы Е и т.д.

Волновая функция удовлетворяет временнуму уравнению Шредингера – аналогу второго закона Ньютона

. (4.6)

Здесь m – масса частицы, U – функция координат и времени, градиент которой, взятый с обратным знаком, равен силе, действующей на частицу. Если U не зависит явно от времени, то она имеет смысл потенциальной энергии. В этом случае волновая функция может быть представлена в виде произведения двух множителей, один из которых зависит только от координат, а второй – от времени:

где Е – полная энергия частицы. Временнуе уравнение Шредингера (4.3) при этом переходит в стационарное

Решение уравнения Шредингера означает отыскание собственных функций ψ_i (i – нумерует собственные функции) оператора и их собственных значений E_i. Если движение частицы ограничено в пространстве, то решения уравнения существуют лишь при дискретных значениях энергии Е. В случае отсутствия пространственных ограничений уравнение имеет решения, соответствующие любым значениям Е.

Пусть ψ₁, ψ₂, …, ψ_i,…, ψ_n есть набор собственных функций частицы. В каждом из этих состояний ψ_i физическая величина q имеет определенное значение q_i. Однако частица может находиться и в состоянии , где C_i – не зависящие от координат числа. Число слагаемых в сумме равно числу различных собственных функций. Величина q в этом состоянии не имеет определенного значения – при измерениях будет получаться одно из значений q_i. Вероятность получить результат q_i равна , сумма всех таких вероятностей равна единице: . Зная вероятности различных значений величины q, можно найти среднее значение этой величины в состоянии ψ: . Это есть выражение принципа суперпозиции в квантовой механике.

Примеры решения задач
1. Записать уравнение Шредингера для гармонического осциллятора.

Решение. Гармоническим осциллятором называют частицу, совершающую одномерное движение под действием квазиупругой силы F = –kx. Потенциальная энергия такой частицы равна (рис.4.1) U = kx²/2. Собственная частота классического гармонического осциллятора равна , где m – масса частицы. Выразив k через m и ω, получим U = mω²x²/2. В одномерном случае . Поэтому уравнение Шредингера для осциллятора имеет вид

.

Можно показать, что собственные значения этого уравнения суть , где _кол – собственная частота колебаний. Энергия при n = 0 называется энергией нулевых колебаний. Как видно на рис.4.1, спектр собственных энергий эквидистантный, т.е. расстояния между соседними уровнями не зависят от n. Волновая функция основного состояния

где . Она также приведена на рис.4.1. Как видно, в отличие от классического случая, существует конечная вероятность обнаружения частицы за пределами дозволенной области, показанной пунктиром на рис.4.1.

Рис.4.1

Отметим, что волновая функция сферически симметрична, т.е. не зависит от углов. Поэтому элементарный объем равен . Подставляя выражения для объема и волновой функции в условие нормировки, получим

Интеграл равен

Тогда . Отсюда .

б) Вероятность найти электрон на расстоянии от r до r + dr от ядра . Плотность вероятности нахождения электрона на расстоянии r от ядра

.

в) Наиболее вероятное расстояние электрона от ядра соответствует максимуму функции w(r): . Беря производную, получим

Отсюда r_вер = a.

г) Среднее расстояние электрона от ядра равно . Подставим выражения для объема и волновой функции

.

Используя интегрирование по частям

получим для среднего расстояния электрона от ядра r = 3a/2.

д) Используем полученное значение константы А для нахождения вероятности того, что электрон расположен от ядра на расстоянии большем, чем ηa:

.

Беря интеграл, получим .

Рис.4.2

а) Внутри ямы волновая функция не равна нулю: ψ(0 x < L) ≠ 0. В силу непрерывности волновой функции на границах должны выполняться соотношения ψ(0) = ψ(L) = 0. Подставим выражение для волновой функции ψ(L) = Asin(kL) = 0. Это возможно в том случае, если аргумент синуса . Отсюда k = πn/L, и собственные волновые функции равны ψ_n(x) = Asin(πnx/L).

б) Запишем условие нормировки . Подставляя собственные волновые функции, получим

.

Отсюда .

4. Состояние частицы, находящейся в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме шириной L, задано волновой функцией . Обладает или нет определенной энергией частица в этом состоянии? В случае отрицательного ответа сформулировать общее выражение для: а) вероятности найти при измерении энергию частицы Е равной энергии собственного состояния с номером n ; б) средней энергии частицы .

Решение. Так как эта функция не является собственной функцией уравнения Шредингера для частицы в яме, то частица не имеет определенной энергии в этом состоянии. Это состояние является суперпозицией нескольких собственных состояний .

а) Вероятность получить при измерении энергию частицы, равной E_n,

Используя собственные функции , получим

б) Средняя энергия частицы находится как взвешенное среднее .