1 Сызы›ты› алгебра жЩне аналитикалы› геометрия элементтері Екінші жЩне Їшінші ретті аны›тауыштар Аныктама 1 Екінші ретті аны›тауыш

аталады.

М±нда“ы - аны›тауыштыЈ элементтері. элементініЈ бірінші і индексі аны›тауыштыЈ жаты› жолыныЈ, ал екінші j индексі тік жолыныЈ нймері. Мысалы - 1-жаты› 2 – тік жолыныЈ ›иылысуында“ы элемент. КестеніЈ жЩне элементтері ар›ылы йтетін «тЇзу» аны›тауыштыЈ негізгі диагоналы, ал жЩне элементтері ар›ылы йтетін «тЇзу» ›осал›ы диагоналы деп аталады.

Аны›тама бойынша, екінші ретті аны›тауыш йзін белгілейтін кестеніЈ негізгі диагоналында“ы элементтерініЈ кйбейтіндісі мен ›осал›ы диагоналында“ы элементтері кйбейтіндісініЈ айырымына теЈ. Демек,

Аны›тама 2 ®шінші ретті аны›тауыш деп

санын айтамыз. Б±л сан Їш тік жЩне Їш жаты› жолдардан т±ратын

кестесі ретінде белгіленеді жЩне б±л кесте де аны›тауыш деп аталады. М±нда“ы - аны›тауыштыЈ элементтері, і – жаты›, ал j – тік жолдарыныЈ нймірі.

®шінші ретті аны›тауыш йзін белгілейтін кесте элементтерінен Їшб±рыш немесе Саррюс ережесі бойынша есептеледі. Б±л ереже бойынша плюс таЈбасымен алын“ан Їш ›осыл“ыш тйменде келтірілген «+» с±лба, ал минус таЈбасымен алын“ан Їш ›осыл“ыш «-» с±лба бойынша есептеледі:

«+» с±лба «-» с±лба


Саррюс ережесініЈ екінші тЇрі:.®шінші ретті аны›тауышты есептеу Їшін оныЈ барлы› тік жолдарына осы аны›тауыштыЈ бірінші жЩне екінші тік жолдарын жал“астырып кесте к±рамыз ( тймендегі кесте). Осы кестеніЈ негізгі диагоналы жЩне о“ан параллель тЇзулердіЈ бойында жат›ан элементтердіЈ кйбейтіндісі «+» таЈбасымен, ал косал›ы диагоналы жЩне о“ан параллель тЇзулердіЈ бойында жат›ан элементтердіЈ кйбейтіндісі «-» таЈбасымен алынады. Сонда, Їшінші ретті аны›тауыш, аны›тама бойынша, осы с±лбада кйрсетілген таЈбаларымен алын“ан алты санныЈ ›осындысына теЈ болады.
=

- - - + + +

1.2 Екі белгісізді екі жЩне Їш белгісізді Їш теЈдеулер жЇйесі
Аны›тама 1 Екі белгісізді екі теЈдеулер жЇйесі деп


(1)

сызы›ты теЈдеулер жЇйесін айтамыз.

М±нда“ы белгісіз шамалар, - і нймірлі теЈдеудегі j нймірлі белгісіздіЈ коэффициенті , і нймірлі теЈдеудіЈ бос мЇшесі.

Мысалы, - екінші теЈдеудегі - діЈ коэффициенті, - осы теЈдеудегі бос мЇше.

Аны›тама 2 Егер белгісіздердіЈ мЩндері жЇйесіндегі екі теЈдеуді де ›ана“аттандырса, онда осы сандар жЇйеніЈ шешімі деп аталады жЩне деп белгіленеді.

Аны›тама 3 Егер сызы›ты теЈдеулер жЇйесініЈ еЈ кемінде бір шешімі бар болса, онда б±л жЇйе Їйлесімді, ал бірде бір шешімі болмаса Їйлесімсіз деп аталады. Егер Їйлесімді жЇйеніЈ тек ›ана бір шешімі бар болса, онда б±л жЇйе аны›тал“ан, ал кемінде екі шешімі бар болса, онда аны›талма“ан деп аталады.
, ,
деп алайы›. берілген теЈдеулер жЇйесініЈ аны›тауышы деп аталады. -осы аны›тауыштыЈ бірінші тік жолын, ал -екінші тік жолын бос мЇшелермен алмастыру ар›ылы жасал“ан аны›тауыштар.
Негізгі т±жырымдар: 1) Егер болса, онда берілген жЇйе Їйлесімді аны›тал“ан, ал болып мен -ніЈ еЈ кемінде біреуі нйлге теЈ болмаса, онда б±л жЇйе Їйлесімсіз болады; 2) Егер коэффициенттерініЈ еЈ кемінде біреуі нйлге теЈ болмай болса, онда берілген жЇйе аны›талма“ан Їйлесімді жЇйе. М±ндай жЇйеніЈ бір параметрден тЩуелді шексіз кйп шешімі бар болады.

Крамер Щдісі: Аны›тал“ан жЇйеніЈ шешімі

формулалары ар›ылы аны›талады

Аны›тама 4 ®ш белгісізді Їш теЈдеулер жЇйесі деп
(2)
сызы›ты› теЈдеулер жЇйесін айтамыз.
М±нда“ы белгісіз шамалар, -нймерлі теЈдеудегі нймерлі белгісіздіЈ коэффициенті , - нймірлі теЈдеудіЈ бос мЇшесі. Б±л жЇйе Їйлесімді немесі Їйлесімсіз болуы мЇмкін. ®йлесімді жЇйе аны›тал“ан немесе аны›талма“ан болады.
, ,
,
деп алайы›, м±нда“ы -берілген жЇйеніЈ аны›тауышы, -осы аны›тауыштыЈ k-нймірлі тік жолын бос мЇшелермен алмастыру ар›ылы жасал“ан аны›тауыштар.

Негізгі т±жырымдар: 1) Егер болса, онда Їйлесімді аны›тал“ан жЇйе, ал болып аны›тауыштарыныЈ еЈ кемінде біреуі нйлге теЈ болмаса, онда Їйлесімсіз жЇйе;

2) Егер болып, аны›тауышыныЈ элементтерінен тік жЩне жаты› жолдарыныЈ реттерін са›тап жасал“ан, нйлге теЈ болмайтын екінші ретті аны›тауыш бар болса, онда Їйлесімді аны›талма“ан жЇйе. М±ндай жЇйеніЈ бір параметрден тЩуелді шексіз кйп шешімі бар болады; 3) Егер коэффициентерініЈ еЈ кемінде біреуі нйлге теЈ болмаса, аны›тауышыныЈ элементтері мен бос мЇшелерінен тік жЩне жаты› жолдарыныЈ реттерін са›тап, жасал“ан барлы› екінші ретті аны›тауыштар нйлге теЈ болса, онда Їйлесімді аны›талма“ан жЇйе. Б±л жЇйеніЈ екі параметрге тЩуелді шексіз кйп шешімдері бар болады.

Крамер Щдісі: Аны›тал“ан жЇйеніЈ шешімі


формулалары ар›ылы аны›талады. Б±л формулалар Крамер формулалары деп аталады.
1.3 Координаттар жЇйесі

ОЈ ба“ыты аны›тал“ан тЇзЇді йс деп атаймыз (суретте оЈ ба“ыт стрелка ар›ылы кйрсетіледі). Сызы›ты› бірлік ретінде таЈдалып алын“ан кесіндіні масштаб, ал йстіЈ белгіленіп алын“ан О нЇктесін координат басы дейміз. Координат басы, сызы›ты› бірлігі (масштабы) аны›тал“ан йсті сандар йсі дейміз.

Егер сандар йсіндегі кесіндініЈ А бастап›ы нЇктесі мен В соЈ“ы нЇктесі ›йрсетілсе, онда б±л кесінді ба“ыттал“ан деп аталады да деп белгіленеді. Ба“ыттал“ан кесіндісі йспен ба“ыттас бол“анда «+» таЈбасымен, ал йске кері ба“ыттал“анда «-» таЈбасымен алын“ан осы кесіндініЈ ±зынды“ы оныЈ шамасы деп аталады. кесіндісініЈ шамасы АВ деп белгіленеді. Шлбетте, жЩне -ныЈ ±зынды“ы йз шамасыныЈ модуліне теЈ, демек, -“а.

Сандар йсінініЈ кез келген А,В,С нЇктелері Їшін АВ+ВС=АС жЩне б±л теЈдік осы нЇктелердіЈ сандар йсінде орналасу ретінен тЩуелсіз.

Сандар йсіндегі М нЇктесініЈ координаты деп кесіндісініЈ шамасын айтамыз. Егер болса, онда б±л нЇктені деп белгілейміз. Сонымен, сандар йсіндегі кез келген М нЇктесі х санын, ал кез келген х саны осы йстегі М нЇктесін аны›тайды.

Сандар йсіндегі жЩне нЇктелері Їшін ал осы нЇктелердіЈ ара ›ашы›ты“ы санына теЈ.

Ескерту: жЩне модульдері йзара теЈ бол“анды›тан деп те алу“а болады.

Егер жазы›ты›та“ы кез келген нЇктеніЈ орнын сандар ар›ылы белгілеу тЩсілі берілсе, онда жазы›ты›та координаттар жЇйесі аны›талды деп айтылады.

Тікб±рышты декарт жЇйесі белгілі ретпен йзара перпендикуляр орналас›ан екі сандар йсі ар›ылы аны›талады (демек, ›ай йстіЈ бірінші, ›ай йстіЈ екінші екені белгілі деп есептеледі). йстердіЈ ›иылысу нЇктесі координат басы деп аталады да О деп белгіленеді, ал осы йстер координатты› йстер делінеді. йстердіЈ біріншісі – абсцисса, ал екіншісі – ордината деп аталады да абсцисса йсі Ох, ордината йсі Оу деп белгіленеді.

Суретте х, у Щріптері йздеріне сЩйкес йстердіЈ оЈ ба“ытына ›ойылады (1 – сурет).

у

х

О

1-сурет
Тік б±рышты декарт жЇйесі аны›тал“ан жазы›ты›ты декарт жазы›ты›ты“ы деп атаймыз.

М - декарт жазы›ты“ыныЈ кез келген нЇктесі, жЩне осы нЇктеден Ох жЩне Оу йстеріне тЇсірілген перпендикулярдыЈ табандары болсын. сандары М нЇктесініЈ координаттары деп аталады да деп белгіленеді. М±нда“ы - нЇктеніЈ абсциссасы, у – ординатасы.

Сонымен, декарт жазы›ты“ында“ы кез келген нЇкте реттелген ›ос санын, ал реттелген ›ос саны осы жазы›ты›та“ы М нЇктесін аны›тайды.

Декарт жазы›ты“ында“ы жЩне нЇктелері арасында“ы ›ашы›ты›

формуласы ар›ылы есептеледі.

Декарт жазы›ты“ыныЈ жЩне нЇктелері берілсін. Осы нЇктелер ар›ылы йтетін тЇзудіЈ бойында жат›ан нЇктесі Їшін болса, онда М нЇктесі кесіндісін ›атынаста бйледі деп айтады.

кесіндісін ›атынаста бйлетін нЇктесініЈ координаттары

формулалары ар›ылы аны›талады.

КеЈістікте тікб±рышты координаттар жЇйесі бір нЇктеде ›иылысатын йзара перпендикуляр Їш координаттар йсі ар›ылы беріледі.

Осы йстердіЈ ›иылысу нЇктесі О - координат басы деп аталады, ал йстердіЈ йзі координат йстері деп аталады да Ох,Оу,Оz деп белгіленеді. Шдетте, Оx – абсцисса , Оy – ордината , Оz – апликата деп аталады. СЇретте х, у, z, йстердіЈ оЈ ба“ытына ›ойылады (7 – сЇрет ).

Егер Оz йсініЈ оЈ ба“ытында“ы нЇктеден ›ара“анда Оx – тен Оy –ке дейінгі еЈ кіші айналу б±рышы са“ат тілініЈ ›оз“алу ба“ытына ›арсы болса, онда б±л жЇйе оЈ деп, ал керісінше жа“дайда сол деп аталады (7 суретте оЈ жЇйе кйрсетілген).

деп М нЇктесініЈ Ох, Оу, Оz µстеріндегі проекцияларын белгілейік. сандары М нЇктесініЈ координаттары деп аталады да деп белгіленеді жЩне координаттардыЈ орналасу реті са›талады. ,, координат жазы›ты›тары деп аталады. Суретте ,, деп - М нЇктесініЈ йздеріне сЩйкес координаттар жазы›ты“ында“ы проекциялары белгіленген. Б±л жЇйе кеЈістіктегі тікб±рышты декарт жЇйесі деп аталады
z



М

О y

x
2-сурет

КеЈістіктегі жЩне нЇктелерініЈ ара ›ашы›ты“ы

формуласы ар›ылы аны›талады.

жЩне нЇктелері ар›ылы йтетін тЇзудіЈ бойында жатып кесіндісін ›атынаста бйлетін нЇктесініЈ координаттары

формулалары ар›ылы аны›талады. М±нда“ы жЩне .


1.4 Жазы›ты›та“ы тЇзулер
Тікб±рышты декартты› жЇйеде екі айнымалыдан тЩуелді кез келген сызы›ты› теЈдеу жазы›ты›та тЇзуді аны›тайды.

тЇзудіЈ жалпы теЈдеуі деп аталады.Абсцисса йсініЈ оЈ ба“ыты мен берілген тЇзудіЈ арасында“ы б±рышы тЇзудіЈ кйлбеулік б±рышы деп аталады. Б±л б±рыш абсцисса µсініЈ оЈ ба“ытынан басталып есептелінеді жЩне б±рышты есептеу са“ат тілініЈ ›оз“алу ба“ытына ›арсы болса «+» таЈбасымен, кері жа“дайда «-» таЈбасымен алынады.

Кйлбеулік б±рыштыЈ тангенсі тЇзудіЈ б±рышты› коэффициенті деп аталады. Шдетте, б±л коэффициент деп белгіленеді.