12-дәріс. Коэффициенттері тұрақты сызықты дифференциалдық теңдеулер жүйесі Дәріс жоспары
жүктеу/скачать 22.13 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 12.2. Теңдеулер жүйесінің нөлден ерекше шешімін Эйлер тәсілі бойынша табу. 12.1. Біртекті теңдеулер жүйесі. Сипаттаушы теңдеу.
- Мысал.
|
12-дәріс. Коэффициенттері тұрақты сызықты дифференциалдық теңдеулер жүйесі Дәріс жоспары: 12.1. Біртекті теңдеулер жүйесі анықтамасы. Сипаттаушы теңдеу. 12.2. Теңдеулер жүйесінің нөлден ерекше шешімін Эйлер тәсілі бойынша табу. 12.1. Біртекті теңдеулер жүйесі. Сипаттаушы теңдеу. Коэффициенттері – тұрақты нақты сандар болатын, теңдіктер, коэффициенттері тұрақты қалыпты сызықты біртекті дифференциалдық теңдеулер жүйесі деп аталады. Егер матрицаларын енгізсек, (12.1) теңдеулер жүйесін матрица векторлық түрге келтіруге болады. Берілген (12.1) теңдеулер жүйесінің нөлден ерекше шешімін Эйлер тәсілі бойынша: түрде іздейміз. Мұндағы – әзірге белгісіз, кейіннен анықталған сандар. Бұл шешімдер векторлық түрде түрін қабылдайды. Мұндағы Демек, шешімнің туындысы болғандықтан, мәндерін берілген теңдеудегі (матрицалық түрдегі) орындарына қойсақ, шамасына қысқартқаннан кейін, белгісіздері бойынша сызықты біртекті алгебралық теңдеулер жүйесін аламыз. Мұндағы – бірлік матрица. Алынған бұл теңдеулер жүйесінің нөлден ерекше шешімінің болуы үшін, сәйкес анықтауыштық нөлге тең, яғни болуы қажетті және жеткілікті шарт болып табылады. Бұл (12.5) теңдік (12.1) теңдеулер жүйесіне сәйкес сипаттаушы теңдеу, ал алынған – сипаттаушы көп мүшелік деп аталады. Бұл теңдеуді шешу арқылы матрицасының меншік мәндерін аламыз. Табылған меншік мәндерді (12.4) теңдеулер жүйесіне қойып, ашып жазсақ: теңдіктерін аламыз. Осы алынған (12.6) алгебралық теңдеулер жүйесін, (12.5) сипаттаушы теңдеудің шешімдерінің әрбіреуі үшін шешсек, матрицасының сәйкес меншік векторларын аламыз. Сонымен, жоғарыдағы (12.3) функциялар, берілген (12.1) теңдеулер жүйесінің шешімдері болуы үшін, сандары матрицасының меншікті мәні болатын санына сәйкес табылған меншік векторының координаталары болуы қажетті және жеткілікті шарт болады. Жоғарыдағы сипаттаушы (12.5) теңдеудің сол жағында – ға байланысты – ші ретті сипаттаушы көпмүшеліктің әртүрлі түбірлері болады: Сипаттаушы теңдеудің әртүрлі және нақты сандар. Теңдеудің түбірлері әртүрлі және нақты сандар болса, онда меншік векторлардың – қасиеті бойынша матрицасының өзара сызықты тәуелсіз меншікті векторлары болады. Мұндағы Онда (12.1) теңдеулер жүйесінің шешімі вектор – функция түрін қабылдайды. Енді (12.7) функцияларының сызықты тәуелсіз екендігін көрсетсек, онда олардың берілген теңдеулер жүйесінің шешімдер базисін құрайтындығы белгілі. Шынында да, болғанда ерекше емес, себебі оның бағандары өзара тәуелсіз – меншікті векторларынан құралған. Ендеше, Остроградский – Лиувилль теоремасы бойынша үшін матрицасы ерекше емес. Теорема бойынша – вектор – функция өзара сызықты тәуелсіз. Сонымен, сипаттаушы (12.5) теңдеудің түбірлері әртүрлі және нақты сандар болғанда, (12.1) теңдеулер жүйесінің жалпы шешімінің векторлық түрі немесе координаттық түрде жазылады. Мысал. теңдеулер жүйесін шешейік. Шешуі. Сәйкес сипаттаушы теңдеу құрып, оның шешімдерін табамыз. Енді оларға сәйкес меншік векторларды қарастырайық. . Онда (12.6) бойынша – меншік векторларды аламыз. Егер Сонымен, (12.8) және бойынша немесе жүктеу/скачать 22.13 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|