13 тарау жарты кеўістік ®шін дирихле жшне нейман есептері
жүктеу/скачать 0.81 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 13 .1. Нейман ж Щ не Дирихле есептері шешімдеріні Ј жал “ ыз болуы туралы теорема .
- 13.1.1- теорема .
- 13.1.2- теорема .
- 13 .2. Дирихле ж Щ не Нейман есептеріні Ј шешімдерін ›± ру .
- Ба›ылау“а арнал“ан с±ра›тар жЩне тапсырмалар
- 14 - ТАРАУ КиЛЕМДІК, љОС ЖШНЕ ЖАЙ љАБАТТЫљ ПОТЕНЦИАЛДАРДЫў љАСИЕТТЕРІ
- 14.1. Кйлемдік потенциал.
- 14.1.1- теорема .
- 1 4 .2. Ляпунов беті .
- 1 4 .3. љ ос › абатты › потенциал .
- 14.3.1 - теорема .
- 1 4 .4. Жай › абатты › потенциал .
- 1 4 .4.1- теорема .
- 15 - ТАРАУ ДИРИХЛЕ ЖШНЕ НЕЙМАН ЕСЕПТЕРІН ИНТЕГРАЛДЫљ ТЕўДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРУ 15.1. ЕсептердіЈ ›ойылымы жЩне олардыЈ шешімдерініЈ жал“ызды“ы.
- 2. Сырт›ы Дирихле есебі
- 15.1.1- теорема .
- 1 5 .1.2- теорема .
- 1 5 .1.1 - ескерту .
- 1 5 .1.3 – теорема .
- 1 5 .2. Шектік есептер Ї шін интегралды › те Ј деулер .
- Т®СІНДІРМЕ СиЗДІК А
- Зара Наурызбай›ызы СЫЗДЫљОВА, Андрей ИБАТОВ Математикалы› физика теЈдеулері
| 13 - ТАРАУ
ЖАРТЫ КЕўІСТІК ®ШІН ДИРИХЛЕ ЖШНЕ НЕЙМАН ЕСЕПТЕРІ Лаплас теЈдеулер теориясында ›арастырылатын екі негізгі есептердіЈ, дЩлірек айт›анда, Дирихле жЩне Нейман есептерініЈ ›ойылуымен йткен тарауда таныс›ан болатынбыз. Сонда да осы есептердіЈ ›ойылымын та“ы бір рет еске тЇсіріп кетейік. КеЈістікте бетімен шенелген облысында аны›тал“ан , (13.1) теЈдеуін (13.2) шекаралы› шартын ›ана“аттандыратын функциясын табуды Дирихле есебі деп атайды. (13.1) теЈдеуініЈ (13.3) шекаралы› шартын ›ана“аттандыратын шешімін іздестіруді Нейман есебі деп атайды. 13.1. Нейман жЩне Дирихле есептері шешімдерініЈ жал“ыз болуы туралы теорема. - жарты кеЈістік болсын. Онда - беті -жазы›ты“ымен беттеседі. 13.1.1-теорема. Шенелген функциялар класында Дирихле есебініЈ шешімі жал“ыз. ДЩлелдеуі: Дирихле есебініЈ бір-біріне теЈ емес жЩне деген екі шешімі бар болсын. Онда осы екі шешімніЈ айырымынан т±ратын - бетінде жататын нЇктелерде нйлге айналатын функциясы - облысында гармониялы› функция болады. –тіЈ теріс мЩндерінде - функциясыныЈ мЩнін теЈдігі ар›ылы аны›тайы›. Енді осылай аны›тал“ан - функциясыныЈ - кеЈістігініЈ барлы› нЇктелерінде гармониялы› функция болатынды“ын дЩлелдейік. Ол Їшін центрі жазы›ты“ында жататын радиусы кез-келген болатын сферасын ›±рамыз жЩне осы сферасымен шенелген шардыЈ ішінде гармониялы›, ал сфераныЈ бетінде жататын нЇктелердегі мЩні функциясыныЈ мЩніне теЈ болатын функциясын аны›таймыз. функциясыныЈ нЇктесіндегі мЩні нйлге теЈ болатынды“ын оЈай кйрсетуге болады. ШыныЈда да, функциясы ›±рыл“ан шардыЈ ішінде гармониялы›, ал бетіндегі нЇктелерде мЩні нйлге теЈ болатынды›тан . Олай болса, жазы›ты“ы шарды екі жарты шар“а бйледі. функциясы осы жарты шарлардыЈ шекарасында функциясымен беттеседі. Сонды›тан . Демек, функциясыныЈ шардыЈ ішіндегі нЇктелерде барлы› туындылары бар, я“ни гармониялы› функция. ШардыЈ центрініЈ орналасуы бекітіліп алынба“анды›тан кеЈістіктіЈ барлы› нЇктелерінде гармониялы› функция болады. Онда 11.6.2 -лемма бойынша функциясыныЈ мЩні ›андайда бір т±ра›ты“а тепе-теЈ болу керек. Б±л т±ра›тыныЈ мЩні тек нйл болуы мЇмкін. ийткені бол“анда . Демек, , я“ни Дирихле есебініЈ шешімі жал“ыз болуы керек. 13.1.2-теорема. Нейман есебініЈ нЇктесі шексіздікке ±мтыл“ан кезде нйлге ±мтылатын шешімі жал“ыз. ДЩлелдеуі: Нейман есебініЈ бір-біріне теЈ емес, шексіздікке ±мтыл“ан кезде нйлге ±мтылатын жЩне деген екі шешімі бар болсын. Онда функциясы , теЈдеуін жЩне шекаралы› шартын ›ана“аттандыратын болады. –тіЈ теріс мЩндерінде функциясыныЈ мЩнін теЈдігі ар›ылы аны›тайы›. Енді осылай аны›тал“ан функциясыныЈ - кеЈістігініЈ барлы› нЇктелерінде гармониялы› функция болатынды“ын дЩлелдейік. Ол Їшін функциясын ›арастырамыз. Б±л функция , теЈдіктерін ›ана“аттандырады жЩне жо“ар“ы, тйменгі жарты кеЈістіктерде гармониялы› функция болады. Сонды›тан 9.1.1-теореманыЈ дЩлелдемесінде дЩлелденген сия›ты кеЈістіктіЈ барлы› нЇктелерінде гармониялы› функция болады. Сонымен ›атар функциясыныЈ – кеЈістігініЈ барлы› нЇктелерінде гармониялы› болатынды“ын дифференциалдау ар›ылы оЈай кйрсетуге болады. Б±дан –тіЈ - кеЈістігініЈ барлы› нЇктелерінде гармониялы› функция болатынды“ы шы“ады. - функциясы - кеЈістігініЈ барлы› нЇктелерінде шенелген бол“анды›тан Лиувилль теоремасы бойынша болу керек. Б±л т±ра›тыныЈ мЩні тек нйл болуы мЇмкін, ййткені нЇктесі шексіздікке ±мтыл“ан кезде нйлге ±мтылады. Демек, , я“ни Нейман есебініЈ шешімі жал“ыз болу керек. 13.2. Дирихле жЩне Нейман есептерініЈ шешімдерін ›±ру. љарастырылып отыр“ан гармониялы› функциясы (13.2.1) теЈсіздіктерін ›ана“аттандыратын болсын деп ±й“арайы›. М±нда“ы , ал Ай›ын шешім ›±рыл“аннан кейін б±л ±й“арымныЈ керегі болмай ›алады. - кйлемі ретінде центрі бас нЇктеде орналас›ан радиусы - санына теЈ болатын жарты шарды алып, болатынын ескеріп, функциясына ГринніЈ интегралды› формуласын ›олданса› (13.2.2) теЈдігін аламыз. М±нда“ы . - беті жазы›ты“ыныЈ - бйлігімен жЩне радиусы болатын жарты сферасынан т±ратынын ескеріп, (13.2.2) – формуласын (13.2.3) тЇрінде жазу“а болады. (13.2.3) – формуласыныЈ оЈ жа“ында т±р“ан екінші интегралды (13.2.1) – теЈсіздіктерін пайдаланып, ба“алайы›: ; м±нда“ы . Б±дан Сонды›тан (13.2.4) Енді нЇктесімен ›атар та“ы бір нЇктесін ›арастырайы›. ЖЩне болсын. Жо“ар“ы жарты жазы›ты›та функциясы функциясы сия›ты гармониялы› функция болатынды›тан Сонды›тан ГринніЈ екінші формуласы бойынша (13.2.3) – формуласын ›орытып шы“ар“ан кезде пайдалан“ан ба“алауларды ескеріп, соЈ“ы теЈдіктіЈ екі жа“ынан –ны шексіздікке ±мтылдырып, шекке кйшсек теЈдігіне келеміз. жазы›ты“ында теЈдіктері орындал“анды›тан ( жЩне радиус-векторлары жазы›ты“ына ›ара“анда симметриялы) (13.2.5) теЈдігі орындалатын болады. (13.2.4) пен (13.2.5)-ті ›осу ар›ылы (13.2.6) теЈдігін, ал (13.2.5)-тен (13.2.4)-ті алу ар›ылы (13.2.7) теЈдігін аламыз. (13.2.6) жЩне (13.2.7) формулаларын екенін ескекріп, (13.2.8) жЩне (13.2.9) теЈдіктері тЇрінде ›айта жазамыз. жЩне - Їзіліссіз функциялары , , теЈсіздіктерін ›ана“аттандыратын бол“ан кезде (13.2.8) формуласымен аны›талатын функция Нейман есебініЈ шексіздікте нйлге ±мтылатын шешімін, ал (13.2.9) формуласымен аны›талатын функция Дирихле есебініЈ шенелген шешімін беретінін кйрсетуге болады. Ба›ылау“а арнал“ан с±ра›тар жЩне тапсырмалар 1.Жарты кеЈістік Їшін Дирихле жЩне Нейман есептерініЈ ›ойылуын келтіріЈіздер. 2. Дирихле жЩне Нейман есептері шешімдерініЈ жал“ыз болуы туралы теорема т±жырымын келтіріЈіздер. 3.Нейман есебініЈ шешімі шексіздікте нйлге ±мтылатынын дЩлелдеЈіздер 4. функциясы Дирихле есебініЈ шенелген шешімі болатынын дЩлелдеЈіздер. 5. Дирихле есебініЈ шешімін табыЈыздар. М±нда“ы: а) ; Щ)
Дирихле есебініЈ шешімін табыЈыздар. М±нда“ы: а) Щ) , б) 14 - ТАРАУ КиЛЕМДІК, љОС ЖШНЕ ЖАЙ љАБАТТЫљ ПОТЕНЦИАЛДАРДЫў љАСИЕТТЕРІ Дирихле жЩне Нейман есептерін шар жЩне жартылай кеЈістіктен бас›а облыстарда ›арастыру Їшін интегралдарын бйлек – бйлек ›арастыру керек. жЩне интегралдарын сЩйкесінше кйлемдік, ›ос ›абатты›, жай ›абатты› потенциалдар деп, ал жЩне функцияларын олардыЈ ты“ызды›тары деп атайтынды“ын йткен дЩрісте айт›ан болатынбыз. 14.1. Кйлемдік потенциал. (14.1.1) кйлемдік потенциалын ›арастырайы›, м±нда“ы - а›ырлы облыс. - функциясы облысында шенелген жЩне интегралданатын болсын деп ±й“арайы›. Егер нЇктесі облысында жатпаса, онда (14.1.1) – интегралы меншікті интегралды аны›тайды. Б±л жа“дайда функциясы Їзіліссіз жЩне оныЈ барлы› ретті дербес туындылары болады. Б±л туындыларды интеграл белгісі астынан дифференциалдау ар›ылы табу“а болады. Осылармен ›атар функциясы кеЈістіктіЈ облысыныЈ нЇктелерінен бас›а нЇктелерінде - Лаплас теЈдеуін ›ана“аттандырады. Енді нЇктесі шексіздікке кез-келген ба“ыт бойынша ±мтыл“ан кезде, функциясы нйлге ±мтылатынды“ын, я“ни теЈсіздігін ›ана“аттандыратынды“ын кйрсетейік. Декартты› координаталар жЇйесініЈ бас нЇктесі - облысында жатсын. Онда немесе теЈсіздігі орындалады. - облысыныЈ диаметрін - деп белгілейік. Онда болады. - нЇктесі бас нЇктеден болатындай йте алыс орналас›ан деп ±й“арайы›. Б±л жа“дайда немесе теЈсіздігі орындалады. Осы теЈсіздікті ескеріп, теЈсіздігін аламыз. М±нда“ы Сонымен, - кйлемдік потенциал кеЈістіктіЈ - облысыныЈ сыртында гармониялы› функция. Енді нЇктесі облысыныЈ ішінде жатсын. Онда (14.1.1) интегралы меншікті емес интегралды аны›тайды. ты“ызды“ы шенелген бол“анды›тан, (14.1.1) меншікті емес интегралыныЈ жина›талатынды“ы шы“ады, ййткені . Сонымен ›атар, потенциалы жЩне оныЈ бірінші ретті дербес туындылары кеЈістіктіЈ барлы› нЇктелерінде Їзіліссіз жЩне оларды интеграл белгісініЈ астынан дифференциалдау ар›ылы табу“а болатынды“ын кйрсетуге болады. Кйлемдік потенциалдыЈ екінші ретті дербес туындылары бар болу Їшін оныЈ ты“ызды“ына ›осымша шарттар ›ою ›ажет. 14.1.1-теорема. Егер ты“ызды“ы - т±йы› облысында Їзіліссіз жЩне - облысыныЈ ішкі нЇктелерінде оныЈ Їзіліссіз бірінші ретті дербес туындылары бар болса, онда (14.1.1) кйлемдік потенциалыныЈ облысыныЈ ішкі нЇктелерінде Їзіліссіз екінші ретті дербес туындылары бар болады жЩне ол Пуассон теЈдеуін ›ана“аттандырады. Сонымен, егер болса, онда кйлемдік потенциалы Пуассон теЈдеуініЈ дербес шешімін аны›тайды. 14.2. Ляпунов беті. Жай жЩне ›ос ›абатты› потенциалдардыЈ ›асиеттерін ›атаЈ аны›тау Їшін осы ›абаттар орналас›ан беттер ›андай да бір шарттарды ›ана“аттандыруы ›ажет. Т±йы› беті тймендегідей Їш шартты ›ана“аттандыратын болсын: 1. - бетініЈ кез-келген нЇктесінде жанама жазы›ты› жЇргізуге болады; 2. - бетініЈ кез-келген нЇктесініЈ маЈайына радиусы нЇктесіне байланысты емес, ішіне бетініЈ тек нЇктесі ар›ылы йтетін - нормаль векторына паралелль болатын тЇзулердіЈ саны бірден арты› болмайтын бйлігі жататын, сырттай шар ›±ру“а болады; 3. Егер - бетініЈ нЇктелері ар›ылы жЇргізілген нормалдардыЈ арасында“ы сЇйір б±рыш, ал - осы нЇктелердіЈ ара-›ашы›ты“ы болса, онда теЈсіздігі орындалатын болады; М±ндай бетін Ляпунов беті деп атайды. - Ляпунов бетініЈ кез-келген нЇктесі болсын. Бірінші шарт - нЇктесін бас нЇктеніЈ орнына осы нЇкте ар›ылы йтетін жанама жазы›ты› ретінде жазы›ты“ын, ал нормаль тЇзуді йсі ретінде алып, Ляпунов бетініЈ - нЇктесінде - декартты› координаталар жЇйесін ›±ру“а мЇмкіндік береді. Екінші шарт Ляпунов бетініЈ центрі нЇктесінде, радиусы - санына теЈ болатын сферасыныЈ ішінде жататын бйлігініЈ жо“арыда аны›тал“ан декартты› координаталар жЇйесінде аны›талатын теЈдеуін айнымалысы бойынша шешуге, я“ни тЇрінде жазу“а болатынды“ын кйрсетеді. ®шінші шарттан жЩне дербес туындыларыныЈ аргументтері бойынша Їзіліссіз болатынды“ы шы“ады. 14.3. љос ›абатты› потенциал. Ляпунов бетінде берілген ты“ызды“ы Їзіліссіз болатын (14.3.1) ›ос ›абатты› потенциалын ›арастырайы›. љос ›абатты› потенциалдыЈ бетінде жатпайтын нЇктелерде барлы› ретті туындылары бар болады жЩне ол Лаплас теЈдеуін ›ана“аттандырады. Шексіздікте ›ос ›абатты› потенциалдыЈ нйлге ±мтылатынды“ын кйрсетейік. Ол Їшін бас нЇктені бетімен шенелген облысыныЈ ішінен алайы›. Онда немесе
теЈсіздігі орындалады. Бас нЇктеден бетінде жататын нЇктелерге дейінгі ара-›ашы›ты›тардыЈ еЈ Їлкенін деп белгілейік. Онда болады. - нЇктесі бас нЇктеден болатындай йте алыс орналас›ан деп ±й“арайы›. Б±л жа“дайда немесе теЈсіздігі орындалады. векторымен бетініЈ нЇктесіне сырттай жЇргізілген векторыныЈ арасында“ы б±рышты деп белгілейік. Онда (14.3.1) формуласын теЈдігі тЇрінде жазу“а болады. Осыдан теЈсіздігін аламыз. М±нда“ы Сонды›тан ›ос ›абатты› потенциал шексіздікте сия›ты нйлге ±мтылады. Ілгеріде біз ›ос ›абатты потенциалдыЈ ›асиеттерін дЩлелдеусіз келтіреміз. нЇктесі бетінде жататын болсын. Онда йрнегініЈ мЩні мен беттескен кезде нйлге айналады. Б±л жа“дайда (14.3.1) интегралы жина›талатын меншіксіз интеграл болатынды“ын кйрсетуге болады. Сонымен ›ос ›абатты› потенциал кеЈістіктіЈ барлы› нЇктелерінде аны›талады. Егер нЇктесі бетінде жатса, онда (14.3.1) интегралыныЈ нЇктесіндегі мЩнін ›ос ›абатты› потенциалдыЈ тура мЩні деп атайды. - бетінде жататын нЇктесіне жа›ындайтын, біра› бетіне жатпайтын нЇкте болсын. Егер жа›ындасу ›ос ›абатты› потенциалдыЈ ›андайда бір а›ырлы шекке ±мтылуын ›амтамасыз ететін болса, онда біз ›ос ›абатты› потенциал нЇктесінде шектік мЩнін ›абылдайды дейміз. љос ›абатты› потенциалдыЈ тура мЩнімен шектік мЩні жалпы жа“дайда бір-бірімен беттеспейді. Шлбетте, нЇктесініЈ бетіне іштей немесе сырттай жа›ындауына байланысты ›ос ›абатты› потенциалдыЈ шектік мЩндері ЩртЇрлі болады жЩне олар оныЈ тура мЩнімен беттеспейді. На›тыра› айт›анда тймендегідей т±жырым орындалады.
Сонымен, - ›ос ›абатты› потенциалы Їзілісті функция. 14.4. Жай ›абатты› потенциал. Ляпунов бетінде берілген, -ты“ызды“ы Їзіліссіз болатын (14.4.1) жай ›абатты› потенциалын ›арастырайы›. Жай ›абатты› потенциалдыЈ бетінде жатпайтын нЇктелерде барлы› ретті туындылары бар болады жЩне ол Лаплас теЈдеуін ›ана“аттандырады. ДЩл 14.3-пунктінде кйрсетілгендей шексіздікте жай ›абатты› потенциалдыЈ сия›ты нйлге ±мтылатынды“ын кйрсетуге болады. Ты“ызды“ы Їзіліссіз функция болатын жай ›абатты› потенциалдыЈ кеЈістіктіЈ барлы› нЇктелерінде Їзіліссіз болатынды“ын дЩлелдеуге болады. Жай ›абатты› потенциалдыЈ нормаль ба“ыты бойынша алын“ан туындысын ›арастырайы›. бетінде жататын кез келген нЇктені , ал осы нЇкте ар›ылы йтетін сырт›ы нормальді деп белгілейік. Жай ›абатты› потенциалдыЈ бетінде жатпайтын нЇктесінде – сырт›ы нормаль бойынша алын“ан туындысы (14.4.2) формуласы ар›ылы табылады. Шлбетте, нЇктесі бетінде жататын нЇктесімен беттескен кезде де (14.4.2) интегралы йзініЈ ма“ынасын са›тайды жЩне ол нЇктесінде Їзіліссіз функция болады.
(14.4.3)-формуласынан жай ›абатты› потенциалдыЈ нормаль ба“ыты бойынша алын“ан туындысыныЈ секірмесініЈ шамасы - болатынды“ы шы“ады. Ба›ылау“а арнал“ан с±ра›тар жЩне тапсырмалар 1. Кйлемдік, ›ос жЩне жай ›абатты› потенциалдардыЈ аны›тамасын беріЈіздер. 2. Кйлемдік потенциалдыЈ ›андай ›асиеттерін білесіздер? 3. љос жЩне жай ›абатты› потенциалдардыЈ ›андай ›асиеттерін білесіздер? 4. Меншікті емес интегралдыЈ аны›тамасын беріЈіздер. 5. Меншікті емес интегралдыЈ ›андай ›асиеттерін білесіздер? 6. Ляпунов бетініЈ аны›тамасын беріЈіздер. 7. шар Їшін ты“ызды“ы теЈ болатын кйлемдік потенциалды есептеЈіздер. М±нда“ы: а) Щ) б) в) г)
а) Щ) жЩне 10. Сырт›ы нормаль бойымен ба“ыттал“ан диполь сфера бетінде ты“ызды› бойынша тарал“ан. йсінде жат›ан нЇктеде ›ос ›абатты› потенциалдыЈ мЩнін есептеЈіздер. М±нда“ы: а) Щ) б) жЩне
Алдымен есептердіЈ шешімдерін табу жолдарын емес, оларды зерттеумен айналысамыз. 15.1.1-теорема. Ішкі жЩне сырт›ы Дирихле есебініЈ шешімі жал“ыз. ДЩлелдеу: Алдымен ішкі Дирихле есебін ›арастырайы›. Дирихле есебініЈ бір-біріне теЈ емес жЩне деген екі шешімі бар болсын деп ±й“арайы›. Онда олардыЈ айырымы бетіндегі нЇктелердегі мЩні нйлге теЈ болатын, гармониялы› функция болады. Осыдан максимум принципі (белгісі) бойынша облысыныЈ барлы› нЇктелерінде функцияныЈ мЩні нйлге теЈ болады, я“ни немесе
Кері жа“дайда, функциясы йзініЈ оЈ еЈ Їлкен мЩнін немесе теріс еЈ кіші мЩнін облысыныЈ ішінде ›абылдауы керек. Ал б±л мЇмкін емес. Енді сырт›ы Дирихле есебін ›арастырайы›. Кері жориы›, я“ни сырт›ы Дирихле есебініЈ бір-біріне теЈ емес жЩне деген екі шешімі бар болсын. Онда олардыЈ айырымынан т±ратын бетіндегі нЇктелерде мЩні нйлге теЈ, нЇктесі шексіздікке ±мтыл“ан кезде нйлге ±мтылатын, я“ни ) гармониялы› функция болады. - облысыныЈ кез-келген нЇктесі болсын. бетімен нЇктесі ішінде жататындай етіп, центрі бас нЇктеде орналас›ан радиусы болатындай сферасын жЇргізейік. функциясы мен беттерімен шенелген т±йы› облыста Їзіліссіз ашы› облыста гармониялы› жЩне осы облыстыЈ шекарасында жат›ан нЇктелердегі мЩні санынан арты› емес болатынды›тан максимум принципініЈ 3-салдары бойынша мен беттерімен шенелген т±йы› облыста жат›ан барлы› нЇктелерде функциясыныЈ мЩні санынан арты› емес болады, я“ни саны кез-келген бол“анды›тан облысында жат›ан кез-келген нЇктесінде функцияныЈ мЩні нйлге теЈ болады деген ›орытынды жасаймыз. Демек, жат›ан барлы› нЇктелерде Алын“ан ›айшылы› теореманыЈ т±жырымыныЈ д±рысты“ын кйрсетеді. 15.1.2-теорема. -т±йы› облысында Їзіліссіз бірінші ретті дербес туындылары бар болатын ішкі Нейман есебініЈ шешімдерініЈ айырымы кез-келген т±ра›ты“а дейінгі дЩлдікпен аны›талады. ДЩлелдеу: Ішкі Нейман есебініЈ теЈдіктерін ›ана“аттандыратын бір-біріне теЈ емес жЩне деген екі шешімі бар болсын. Онда олардыЈ айырымынан т±ратын бетіндегі нЇктелерде сырт›ы нормаль бойынша алын“ан туындысыныЈ мЩні нйлге теЈ болатын, гармониялы› функция болады. функциясына ГринніЈ бірінші формуласын пайдаланып, теЈдігін аламыз. Б±л теЈдіктіЈ оЈ жа“ы нйлге теЈ бол“анды›тан, оныЈ сол жа“ы да нйлге теЈ болуы керек. Б±дан фукциясыныЈ облысында бірінші ретті дербес туындылары Їзіліссіз бол“анды›тан теЈдігіне келеміз. Демек, теорема дЩлелденді. 15.1.1 - ескерту. Ішкі Нейман есебініЈ Щр уа›ытта шешімі бола бермейді. Егер оныЈ шешімі бар болса, онда теЈдігініЈ орындалуы ›ажет. љажеттілік шарты гармониялы› функциялардыЈ ›асиетінен шы“ады. 15.1.3 – теорема. -т±йы› облысында Їзіліссіз бірінші ретті дербес туындылары бар болатын сырт›ы Нейман есебініЈ шешімі жал“ыз. ДЩлелдеу: Теореманы дЩлелдеу Їшін радиусы йте Їлкен сан болатын - сферасын аламыз. мен беттерімен шенелген облысты - деп белгілейік. Кері жориы›, я“ни сырт›ы Нейман есебініЈ , шарттарын ›ана“аттандыратын бір-біріне теЈ емес жЩне деген екі шешімі бар болсын. Онда олардыЈ айырымынан т±ратын облысында гармониялы› жЩне , (15.1.1) шарттарын ›ана“аттандыратын функция болады. Енді функциясына облысында ГринніЈ бірінші формуласын пайдаланып (15.1.2) теЈдігін аламыз. (15.1.1) – ді ескеріп, (15.1.2) – теЈдігінен (15.1.3) теЈдігіне келеміз. бол“анды›тан (15.1.3) теЈдігінен йте Їлкен бол“ан кезде теЈсіздігіне келеміз. Б±л теЈсіздік кез-келген Їшін орындалады тек сонда, егер теЈдігі орындал“ан кезде. Демек, шексіздікке ±мтыл“ан кезде нйлге ±мтылатын бол“анды›тан облысында жат›ан барлы› нЇктелерде функциясыныЈ мЩні нйлге теЈ болуы керек деген т±жырым“а келеміз. Олай болса, Б±л біздіЈ ±й“арымымыз“а ›айшы. Алын“ан ›айшылы› теореманыЈ т±жырымыныЈ д±рысты“ын дЩлелдейді. 15.2. Шектік есептер Їшін интегралды› теЈдеулер. иткен дЩрісте ›арастырыл“ан потенциалдардыЈ ›асиеттері Дирихле мен Нейман есептерін интегралды› теЈдеулерге келтіру ар›ылы йте тегіс беттермен шенелген кез-келген облыста шешуге кймектеседі. Ішкі Дирихле есебін ›арастырайы›. Ізделінді функциясы ты“ызды“ы Щзір белгісіз - мен берілген - ›ос ›абатты› потенциалына теЈ, я“ни (15.2.1) болсын деп ±й“арайы›. љос ›абатты› потенциал гармониялы› функция бол“анды›тан - гармониялы› функция болады. Ізделінді функциясы ішкі Дирихле есебініЈ шешімі екендігінен ›ос ›абатты› потенциалдыЈ ішкі шектік мЩні (15.2.2) теЈдігін ›ана“аттандыруы керектігі шы“ады. Екінші жа“ынан, ›арастырыл“ан 14.3.1-теоремасыныЈ т±жырымынан (15.2.3) теЈдігін аламыз. Сонымен, (15.2.1.), (15.2.2.) жЩне (15.2.3.) теЈдіктерін пайдаланып, белгісіз ты“ызды“ына байланысты (15.2.4) теЈдеуіне келеміз. М±нда“ы - бетінде жат›ан нЇктесі мен нЇктесініЈ ара ›ашы›ты“ын аны›тайтын функция. деп белгілеп, (15.2.4) теЈдеуінен (15.2.5) теЈдеуіне келеміз. (15.2.5.) - интегралды› теЈдеуін ФредгольмніЈ екінші текті интегралды› теЈдеуі деп атайды. М±ндай теЈдеулер арнаулы курстарда ›арастырылады. Ішкі Дирихле есебі сия›ты сырт›ы Дирихле есебін де ›ос ›абатты› потенциалдыЈ ›асиетін пайдаланып, ФредгольмніЈ екінші текті интегралды› теЈдеуіне келтіруге болады. Шынында да, сырт›ы Дирихле есебініЈ шешімін ›ос ›абатты› потенциал тЇрінде іздестіріп,
Ішкі жЩне сырт›ы Нейман есебін жай ›абатты› потенциал ±“ымын пайдаланып, интегралды› теЈдеуге келтіруге болатынын кйрсетейік. Ішкі Нейман есебініЈ шешімін жай ›абатты› потенциал тЇрінде іздестіріп, екенін ескеріп, 14.4.1-теоремасыныЈ т±жырымын пайдаланып, белгісіз ты“ызды“ына байланысты теЈдеуін аламыз. Осыдан (15.2.8) ФредгольмніЈ екінші текті интегралды› теЈдеуіне келеміз. М±нда“ы . ДЩл осы сия›ты сырт›ы Нейман есебініЈ шешімін жай ›абатты› потенциал тЇрінде іздестіріп, 14.4.1-теоремасыныЈ т±жырымын пайдаланып, белгісіз ты“ызды“ына байланысты немесе теЈдеуін аламыз. Осыдан (15.2.9) ФредгольмніЈ екінші текті интегралды› теЈдеуіне келеміз. М±нда“ы Егер (15.2.5), (15.2.7), (15.2.8) жЩне (15.2.9) теЈдеулерін ›ана“аттандыратын функциясын таба алса›, онда осы теЈдеулерге сЩйкес келетін математикалы› физика есептері шешілетін болады. Ба›ылау“а арнал“ан с±ра›тар жЩне тапсырмалар 1.Интегралды› теЈдеу деп ›андай теЈдеуді айтады? 2.ФредгольмніЈ бірінші текті интегралды› теЈдеуі деп ›андай теЈдеуді айтады? 3.ФредгольмніЈ екінші текті интегралды› теЈдеуі деп ›андай теЈдеуді айтады? 4.ФредгольмніЈ екінші текті интегралды› теЈдеуініЈ шешімін табудыЈ ›андай Щдістерін білесіздер? 5.љандай есептерді интегралды› теЈдеулерге келтіруге болады? 6.љандай потенциал ±“ымын пайдаланып ішкі Дирихле есебін интегралды› теЈдеуге келтіруге болады? 7.љандай потенциал ±“ымын пайдаланып ішкі жЩне сырт›ы Нейман есебін интегралды› теЈдеуге келтіруге болады? 8. интегралды› теЈдеуін параметрлерініЈ барлы› мЇмкін болатын мЩндерінде шешіЈіздер. ШДЕБИЕТ 1. Абдыманапов С.А., Есенбаева Г.А., Косманова М.Т. Уравнения математической физики. -Алматы.: Рауан, 2001. -161 с. 2. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1982. -356 с. 3. Будак Б.М. Самарский А.А.,Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. -М.: Наука, 1980. -688 с. 4. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. -4-е изд. -М.: Наука, 1981. -512 с. 5. Владимиров В.С. Что такое математическая физика? // Известия РАН: Серия математическая. – 2006, № 4 – с.133-151. 6. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений, Физматгиз, 1958. 7. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обощенные функции, вып. 1: Обобщенные функции и действия над ними, Физматгиз, 1959. 8. Годунов С.К. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1971. -416 с. 9. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б.,Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики . -М.: Высшая школа, 1970. -712 с. 10. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. -М.: Наука, 1973. -408 с. 11. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. -М.: Наука, 1983. -424 с. 12. Михлин С.Г. Курс математической физики. -М.: Наука, 1968. -576 с. 13. Очан Ю.С. Методы математической физики. -М.: Высшая школа, 1965. - 384 с. 14.Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными, Физматгиз, 1961. 15. Сахаев Ш., Тулегенова М.Б. Математикалы› физика теЈдеулеріне есептер шы“ару практикумы. -Алматы «љаза› университеті», 2001.- 98 б. 16. Соболев С.Л. Некоторые приложения функционального анализа в математической физике, ЛГУ,1950. 17. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1966. -444 с. 18. Сабитов К.Б. Уравнения математической физики. -М.:Высшая школа, 2003. –255 с. 19. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1980. -736 с. 20. То›ыбетов Ж.и., Хайруллин Е.М. Математикалы› физика теЈдеулері. - Алматы, 1995. -297 б. 21. Трикоми Ф. Интегральные уравнения, перев. с англ., ИЛ, 1959. 22. Трикоми Ф. О линейных уравнениях смешанного типа, перев. с итал., Гостехиздат, 1947. 23. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными, перев. с англ., «Мир», 1965.
АРАЛАС ТИПТІ ТЕўДЕУ - аны›талу облысыныЈ ЩртЇрлі нЇктесінде Щр тЇрлі типті болатын дербес туындылы дифференциалды› теЈдеу Б БАСТАПљЫ ШАРТТАР - дербес туындылы дифференциалды› теЈдеудіЈ шешімі уа›ыттыЈ бастап›ы моментіндегі ›ана“аттандыратын ›осымша шарттар БІРІНШІ ШЕКАРАЛЫљ ШАРТ - шекарасында“ы тЇріндегі шарт, я“ни ізделінді функциясыныЈ облысыныЈ шекарасында“ы мЩні БІРТЕКТІ ЕКІНШІ РЕТТІ СЫЗЫљТЫ ДЕРБЕС ТУЫНДЫЛЫ ТЕўДЕУ оЈ жа“ында“ы т±р“ан функциясы нйлге теЈ болатын екінші ретті сызы›ты дербес туындылы теЈдеу БІРТЕКТІ ЕМЕС ЕКІНШІ РЕТТІ СЫЗЫљТЫ ДЕРБЕС ТУЫНДЫЛЫ ТЕўДЕУ оЈ жа“ында“ы т±р“ан функциясы нйлге тепе-теЈ болмайтын екінші ретті сызы›ты дербес туындылы теЈдеу БІРТЕКТІ ШЕКАРАЛЫљ ЕСЕП - біртекті шекаралы› шарты бар біртекті дифференциалды› теЈдеу Їшін шекаралы› есеп БІРТЕКТІ ШЕКАРАЛЫљ ШАРТТАР - оЈ жа“ы нйлге тепе- теЈ болатын бірінші, екінші, Їшінші шекаралы› шарттар Г ГИПЕРБОЛАЛЫљ ТЕўДЕУІ - ( нЇктедегі) – теЈдік ар›ылы аны›талатын екінші ретті сызы›ты дербес туындылы теЈдеу, егер болса. М±нда“ы – жЩне функцияларыныЈ сЩйкес нЇктесіндегі мЩндері ГИПЕРБОЛАЛЫљ ТЕўДЕУІ - ( облыста) - облыста“ы Щрбір нЇктедегі гиперболалы› типті теЈдеу ГИПЕРБАЛОЛЫљ ТИПТІ ТЕўДЕУДІў КАНОНДЫљ Т®РІ – немесе тЇріндегі теЈдеу Д ДЕРБЕС ТУЫНДЫЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫљ ТЕўДЕУ ®ШІН ШЕКАРАЛЫљ ЕСЕБІ – дербес туындылы дифференциалды› теЈдеудіЈ шекаралы› жЩне бастап›ы шарттарын ›ана“аттандыратын (кей жа“дайда бір шарт болмауы мЇмкін ) шешімін іздестіру есебі ДЕРБЕС ТУЫНДЫЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫљ ТЕўДЕУДІў РЕТТІ дербес туындылы дифференциалды› теЈдеуге ›атысатын ізделінді функцияныЈ дербес туындыларыныЈ еЈ Їлкен реті ДЕРБЕС ТУЫНДЫЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫљ ТЕўДЕУДІў ШЕШІМІ – дербес туындылы дифференциалды› теЈдеуге ›атысатын ізделінді функция мен оныЈ дербес туындыларыныЈ орнына апарып ›ой“ан кезде теЈдеуді тепе-теЈдікке айналдыратын Rn кеЈістігініЈ облысында аны›тал“ан х1,х2,...,хn айнымалыларына тЩуелді функция ДЕРБЕС ТУЫНДЫЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫљ ТЕўДЕУ тЩуелсіз айнымылылар , ізделінді функция жЩне осы функцияныЈ дербес туындыларын байланыстыратын теЈдеу я“ни Е ЕКІ ТШУЕЛСІЗ АЙНЫМАЛЫ БІРІНШІ РЕТТІ СЫЗЫљТЫ ДЕРБЕС ТУЫНДЫЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫљ ТЕўДЕУДІў ЖАЛПЫ Т®РІ – , м±нда“ы коэффиценттері мен теЈдеудіЈ оЈ жа“ында“ы белгілі функциялар ЕКІ ТШУЕЛСІЗ АЙНЫМАЛЫ ЕКІНШІ РЕТТІ СЫЗЫљТЫ ДЕРБЕС ТУЫНДЫЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫљ ТЕўДЕУДІў КАНОНДЫљ Т®РІ – 1) 2) 3) 4)
ЕРКІН ТЕРБЕЛІС ТЕўДЕУІ – сырт›ы кЇш Щсер етпеген кезде ішек тербелісін жазатын тол›ынды› теЈдеуі. М±нда“ы уа›ыттыЈ моментіндегі ішектіЈ нЇктесініЈ тепе-теЈдік жа“дайында“ы ауыт›уы, ал - физикалы› т±ра›ты Ж ЖАЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫљ ТЕўДЕУ– тЩуелсіз айнымалысы х ізделінді функция жЩне осы функцияныЈ туындыларын байланыстыратын функциясына байланысты теЈдеу, я“ни ЖАЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫљ ТЕўДЕУ ®ШІН ШЕКАРАЛЫљ ЕСЕП – интервалында ›арастырыл“ан дифференциалды› теЈдеудіЈ осы интервалдыЈ бір шеткі немесе екі шеткі нЇктелерінде ›осымша шарттарды ›ана“аттардыратын шешімін іздестіру есебі ЖО’АР’Ы РЕТТІ СЫЗЫљТЫ ЖАЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫљ ТЕўДЕУДІў ЖАЛПЫ Т®РІ , м±нда“ы коэффициенттері мен теЈдеудіЈ оЈ жа“ында“ы белгілі функциялар ЖО’АР’Ы РЕТТІ СЫЗЫљТЫ ЖАЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫљ ТЕўДЕУ ®ШІН КОШИ ЕСЕБІ – теЈдеуініЈ бастап›ы шарттарды ›ана“аттандыратын шешімін іздестіру есебі ЖЫЛУиТКІЗГІШТІК ТЕўДЕУІ – -тЇзу бойында“ы (бір йлшемді), - жазы›ты›та“ы (екі йлшемді), - кеЈістікдегі (Їш йлшемді) екінші ретті дербес туындылы дифференциалды› теЈдеу, м±нда“ы ізделінді функция, -т±ра›ты ЖЫЛУиТКІЗГІШТІК ТЕўДЕУІ ®ШІН БАСТАПљЫ ШАРТ - тЇрдегі шарт. М±нда“ы белгілі функция ЖЫЛУиТКІЗКІШТІК ТЕўДЕУІ ®ШІН БАСТАПљЫ – БІРІНШІ ШЕКАРАЛЫљ ЕСЕП - теЈдеуініЈ бастап›ы шартты, бірінші шекаралы› шарттарды ›ана“аттандыратын шешімін іздестіру есебі ЖЫЛУиТКІЗКІШТІК ТЕўДЕУІ ®ШІН БАСТАПљЫ – ЕКІНШІ ШЕКАРАЛЫљ ЕСЕП - теЈдеуініЈ бастап›ы шартты, екінші шекаралы› шарттарды ›ана“аттандыратын шешімін іздестіру есебі ЖЫЛУиТКІЗКІШТІК ТЕўДЕУІ ®ШІН КОШИ ЕСЕБІ - , , теЈдеуініЈ бастап›ы шартты ›ана“аттандыратын жылу йткізгіштік теЈдеуініЈ шешімін іздестіру есебі Л ЛАПЛАС ОПЕРАТОРЫ- ізделінді функциясыныЈ екінші ретті дербес туындыларынан т±ратын йрнегі. Егер болса, онда ЛАПЛАС ТЕўДЕУІ - - біртекті екінші ретті сызы›ты дербес туындылы теЈдеу ЛАПЛАС (ПУАССОН ) ТЕўДЕУІ ®ШІН ДИРИХЛЕ ЕСЕБІ (БІРІНШІ ШЕКАРАЛЫљ ЕСЕП) - облыстыЈ шекарасында Дирихле шартын ›ана“аттындыратын Лаплас (Пуассон) теЈдеуініЈ шешімін іздестіру ЛАПЛАС (ПУАССОН ) ТЕўДЕУІ ®ШІН НЕЙМАН ЕСЕБІ (ЕКІНШІ ШЕКАРАЛЫљ ЕСЕП - облыстыЈ шекарасында Нейман шартын ›ана“аттындыратын Лаплас (Пуассон) теЈдеуініЈ шешімін іздестіру О ОРТОГОНАЛЬДІ ФУНКЦИЯЛАР - интервалында аны›тал“ан , , шарттарын ›ана“аттандыратын пен функциялары П ПАРАБОЛАЛЫљ ТЕўДЕУІ ( нЇктедегі) – теЈдік ар›ылы аны›талатын екінші ретті сызы›ты дербес туындылы теЈдеу, егер болса. М±нда“ы – функцияларыныЈ сЩйкес нЇктесіндегі мЩндері ПАРАБОЛАЛЫљ ТЕўДЕУ ( облыста) - облыста“ы Щрбір нЇктедегі параболалы› типті теЈдеу ПАРАБОЛАЛЫљ ТИПТІ ТЕўДЕУДІў КАНОНДЫљ Т®РІ – тЇріндегі теЈдеу ПОЛЯРЛЫљ КООРДИНАТАЛАР АРљЫЛЫ иРНЕКТЕЛГЕН ЛАПЛАС ОПЕРАТОРЫ - ізделінді функциясыныЈ бірінші жЩне екінші ретті дербес туындыларын ›амтитын йрнегі, м±нда“ы жазы›ты›та“ы нЇктеніЈ полярлы› координатасы ПУАССОН ТЕўДЕУІ - - біртекті емес екінші ретті сызы›ты дербес туындылы теЈдеу. М±нда“ы - Лаплас операторы, ал функциясы нйлге теЈ емес белгілі функция С СТАЦИОНАР ЕМЕС ТЕўДЕУ - ›андай да бір тЩуелсіз айнымалысы уа›ыт болатын дербес туындылы дифференциалды› теЈдеу СТЕКЛОВ ТЕОРЕМАСЫ - кесіндісінде Їзіліссіз екінші ретті туындысы бар, жЩне біртекті шекаралы› шарттарды ›ана“аттандыратын кез келген функциясы осы кесіндіде - Штурм – Лиувилль есебініЈ йзіндік функциялар жЇйесі бойынша жина›талатын Фурье ›атарына жіктеледі, я“ни . М±нда“ы Фурье ›атарыныЈ коэффициенттері формуласы ар›ылы табылады. СЫЗЫљТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫљ ТЕўДЕУ – коэффициенттері тек тЩуелсіз айнымалы“а байланысты болатын жЩне ізделінді функция мен оныЈ туындыларыныЈ бірінші дЩрежесі ›атысатын теЈдеу СЫРТљЫ ДИРИХЛЕ ЕСЕБІ - облыстыЈ шекарасында Дирихле шартын жЩне шексіздікте (жазы›ты›та –шенелген, кеЈістікте бір›алыпты нйлге ±мтылатын) шартты ›ана“аттандыратын Г шекарасыныЈ сыртында орналас›ан облыста Лаплас теЈдеуініЈ шешімін іздестіру есебі Т ТЕМПЕРАТУРАНЫў СТАЦИОНАРЛЫ ТАРАЛУЫ - температураныЈ физикалы› денеде уа›ыт›а байланыссыз таралуы ТОЛљЫНДЫљ ТЕўДЕУ -тЇзу бойында“ы (бір йлшемді), - жазы›ты›та“ы (екі йлшемді), - кеЈістікдегі (Їш йлшемді) екінші ретті дербес туындылы дифференциалды› теЈдеу, м±нда“ы ізделінді функция, -т±ра›ты ТОЛљЫНДЫљ ТЕўДЕУ ®ШІН БАСТАПљЫ ШАРТТАР - , тЇріндегі шарттар, м±нда“ы белгілі функциялар ТОЛљЫНДЫљ ТЕўДЕУ ®ШІН БАСТАПљЫ –БІРІНШІ ШЕАРАЛЫљ ЕСЕП - , теЈдеуініЈ , бастап›ы, бірінші шекаралы› шарттарды ›ана“аттандыратын шешімін іздестіру есебі ТОЛљЫНДЫљ ТЕўДЕУ ®ШІН БАСТАПљЫ –ЕКІНШІ ШЕКАРАЛЫљ ЕСЕП - теЈдеуініЈ , бастап›ы шартты, , екінші шекаралы› шарттарды ›ана“аттандыратын шешімін іздестіру есебі ® ®ШІНШІ ШЕКАРАЛЫљ ШАРТ - тЇріндегі шарт. М±нда“ы т±ра›ты Ф ФУРЬЕ КОЭФФИЦИЕНТТЕРІ - Фурье ›атарыныЈ формуласы ар›ылы аны›талатын коэффициенттері ФУНКЦИЯЛАРДЫў ОРТОГОНАЛДЫљ Ж®ЙЕСІ - интервалында ›ос-›остан ортогональ болатын функциялар тізбегі ФУНКЦИЯЛАРДЫў СЫЗЫљТЫ ТШУЕЛСІЗ Ж®ЙЕСІ - сызы›ты комбинациясы интервалында барлы› нйлге теЈ бол“анда тек сонда тек сонда “ана нйлге тепе-теЈ болатын функциялар тобы Ц ЦИЛИНДРЛІК КООРДИНАТАЛАР АРљЫЛЫ иРНЕКТЕЛГЕН ЛАПЛАС ОПЕРАТОРЫ-ізделінді функциясыныЈ бірінші жЩне екінші ретті дербес туындыларынан т±ратын йрне“і, м±нда“ы кеЈістіктегі нЇктеніЈ цилиндрлік координатасы Ш ШЕКАРАЛЫљ ШАРТТАР - ›арастырылып отыр“ан облыстыЈ шекарасында дифференциалды› теЈдеудіЈ шешімін ›ана“аттандыратын ›осымша шарттар ШТУРМ-ЛИУВИЛЛЬ ЕСЕБІНІў МЕНШІКТІ МШНДЕРІ - теЈдеуініЈ , шекаралы› шарттарды ›ана“аттандыратын нйлге теЈ емес шешімдері болатын -параметрініЈ мЩндері ШТУРМ-ЛИУВИЛЛЬ ЕСЕБІНІў иЗІНДІК ФУНКЦИЯЛАРЫ - Штурм-Лиувилль есебініЈ меншікті мЩндеріне сЩйкес келетін нйлге теЈ емес шешімдері Э ЭЛЛИПТИКАЛЫљ ТЕўДЕУІ ( нЇктедегі) – теЈдік ар›ылы аны›талатын екінші ретті сызы›ты дербес туындылы теЈдеу, егер болса. М±нда“ы – функцияларыныЈ сЩйкес нЇктесіндегі мЩндері ЭЛЛИПТИКАЛЫљ ТЕўДЕУ ( облыста) - облыста“ы Щрбір нЇктедегі эллиптикалы› типті теЈдеу ЭЛЛИПТИКАЛЫљ ТИПТІ ТЕўДЕУДІў КАНОНДЫљ Т®РІ - тЇріндегі теЈдеу ЭЛЛИПТИКАЛЫљ ТЕўДЕУ ®ШІН ДИРИХЛЕ ШАРТЫ - тЇріндегі бірінші шекаралы› шарт. М±нда“ы Г - облыстыЈ шекарасы. ЭЛЛИПТИКАЛЫљ ТЕўДЕУ ®ШІН НЕЙМАН ШАРТЫ - тЇріндегі шарт. М±нда“ы Г -облыстыЈ шекарасы, -нормаль вектор, -ізделінді функциясыныЈ -нормаль– вектор ба“ыты бойынша алын“ан туынды Зара Наурызбай›ызы СЫЗДЫљОВА, Андрей ИБАТОВ Математикалы› физика теЈдеулері О›улы›
М±›аба дизайнері Басу“а 03.11.2010 ж. ›ол ›ойылды. Пішімі 60х84 1/16 Кйшірме басылым. Баспа таба“ы 19,7. Таралымы 500 дана. Тапсырыс №238. Л.Н.Гумилев атында“ы Е°У баспасы Астана ›., љажым±›ан к.,13 жүктеу/скачать 0.81 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|