1сандық ҚҰрылғылардың математикалық негіздері 2 1 Санау жүйесі 2

1САНДЫҚ ҚҰРЫЛҒЫЛАРДЫҢ МАТЕМАТИКАЛЫҚ НЕГІЗДЕРІ

1.1 Санау жүйесі

Символдардың шектеулі жинақтау көмегімен сандар жазу ережелер жиынтығы санау жүйесі деп аталады. Санау жуйелері позиционды және позиционды емес болып болінеді. Позиционды емес жүйеге римдіктер санды белгілеу үшін қолданған жүйе мысал бола алады.

Позиционды санау жүйесінде қолданылатын символдар саны жүйе негізіне тең. Әр символдың салмағы (маңыздылығы) жүйе негізіне бөлінеді және жазылған санда берілген символдың алынатын позициясына тәуелді. Символ позициясының нөмірін разряд деп атайды.

Позиционды санау жүйесі түрлі арифметикалық операцияларды (қосу, азайту, көбейту, бөлу) орындауға ыңғайлы, сондықтан ол сандық және есептеу техникасында негіз болып табылады.

Жалпы жағдайда n-разрядті жағымды N саныпозиционды санау жүйесінде негізімен мына өрнекпен көрсетіледі
(1.1)
мұнда a_k – қолданылатын жүйенің символдарының бірі, оның мәндері натурал қатарлы мүшелерге 0ден (р – 1)ге дейін диапазонда тең, р – санақ жүйесінің негізі, k – сандағы символ позициясының нөмірі, 0ден бастап, p ^k – салмақтық коэффициент.

Өндіріс электрониканың, микропроцессорлы техниканың және автоматиканың сандық құрылғыларында жиі позиционды санау жүйелерімен 2, 10, 16 негізінде жұмыс істейді.

Ақпаратты сандық және микропроцессорлі құрылғыларда өңдеу позиционды екілік санау жүйесінде (2 негізінде) жүргізіледі.

Екілік санды басқа санау жүйесінде көрсетілген сандардан айыру үшін , оны оң жақтан В (Binaire) жұрнағымен толықтырады, немесе 2 индексімен қамтамасыз етеді.

Екілік санды шағынырақ күйде көрсету үшін жиі оналтылық позиционды санау жүйесі қолданылады.Бұл жүйеде бірінші он натурал қатардағы 0ден 9ға дейін мүшелері, және бірінші алты латын әріптер Адан Fқа дейін (A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15) қолданылады. Оналтылық санды басқа санау жүйесінде көрсетілген сандардан айыру үшін , оны оң жақтан Н (Hexadecima) жұрнағымен толықтырады, немесе 16 индексімен қамтамасыз етеді.

Әртүрлі санақ жүйелерінің сандар сәйкестігі 1.1 кестесінде көрсетілген

1.1 кесте - Әртүрлі санақ жүйелерінің сандар сәйкестігі

Ондық сан	Оналтылық сан	Екілік сан
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F	0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Позиционды санақ жүйелерінде толық сандарды жүйеден қандай да негізбен ондық жүйеге аудару (1.1) формула бойынша орындалады. Мысалы 101011₂ екілік санын ондық санға түрлендіру 1.1 формуласына формальді мән енгізгенде болады
101011₂ = 1·2 ⁵ + 0·2 ⁴ + 1·2 ³ + 0·2 ² + 1·2 ¹ + 1·2 ⁰ =

=1·32 + 0·16 + 1·8 +0·4 + 1·2 + 1·1 = 32 + 8 + 2 + 1 = 43₁₀

Екілік санды ондыққа аударғанда, мәні 1-ге тең разрядтарда салмақтық коэффициент қалыптасады. Мысалы, 101011₂ екілік санын ондыққа аударғанда, екілік сандардың разрядтарына сай ондық салмақтық коэффициентін қойғанда мұндай нәтиже аламыз:

32 16 8 4 2 1

1 0 1 0 1 1

Аударманы жеңілдету үшін жатқа 2ⁿ n = 0ден n = 14ке дейінсандарының ондық мәндерін білу қажет. Бұл мәндер 1.2 кестесінде көрсетілген.

Сандарды ондық жүйеден басқа позиционды жүйеге аудару ондық санды осы жүйенің негізіне келесіретті бөлу жолымен іске асырылады.Аударым нәтижесі бөлу процессінде алынған және ең соңғысынан бастап жазылған қалдықтар болады.Алынған санның үлкен разряды соңғы болү нәтижесі болады.

43 ондық санын екілікке аудару мысалы:

43 |_2__

1 _20 10 |_2__

1 _10_ 5 |_2__

0 _ 4_ 2 |_2_

1 _2_ 1

0
Аударма нәтижесі: 43 ₁₀ = 101011 ₂

43 ондық санын оналтылыққа аудару мысалы:

43 |_16_

_32_ 2

11

Аударма нәтижесі:43 ₁₀ = 2В ₁₆ ,өйткені 11₁₀ = В₁₆,

Аударымда екілік санды кіші разрядтан бастап тетрадтарға (4 разрядтардан тұратын топтар) бөледі. Үлкен топты керегінше екілік сан алдына нөл жазып тетрадаға дейін толтырады. Алынған тетрадаларды он алтылық сандарының разрядтарын көрсетеді, сондықтан аударымда екілік тетрада он алтылық санымен ауыстырылады (0000 ₂ 0_16ға сай, … 1111 ₂ F_16ғасай). Екілік тетрадалармен он алтылық сандардың сәйкестігі 1.1 кестесінде көрсетілген.

Екілік санды он алтылыққа аудару мысалы:
101011 ₂ = 0010 1011 ₂ = 2В _16.

2 ₁₆ В ₁₆.

Қайта өту аналогті түрде іске асады – он алтылық санның әр бір разряды оған эквивалентті екілік тетрадамен ауыстырылады.

Позиционды санау жүйелерімен қатар өндіріс электрониканың, микропроцессорлі техниканың, және автоматиканың сандық құрылғыларында позиционды емес жүйемен кодтар қолданылады.Жиі екілі- ондық және унитарлы жүйе көп қолданылады.

Екілі-ондық санау жүйесінде сан төрт разрядты екілік комбинацияның (тетрадалардың) келесіретін көрсетеді, оның саны эквивалентті ондық санының разряд санына тең. Әрбір екілік тетрада ондық санының бір разрядыныңекілік эквиваленті болып табылады. Екілік тетрада мен ондық сандардың сәйкестігі 1.1 кестесінде көрсетілген.Тетраданың сандық мәні 9дан (ондық эквивалентте) көп бола алмайтынын айта кету керек. Егер екілі- ондық санды тетрадалар арасында қалдырады, ал толмаған үлкен тетраданы нөлдермен толтырады.

Екілі-ондық санды басқа санау жүйедегі саннан айыру үшін оны оң жағынан BD (Binary Decimals) жұрнағымен толықтырады, немесе 2-10 индексімен қамтамасыз етеді.

Екілік санды ондыққа аудару мысалые:

2 ₁₀ 9 ₁₀.

Қайта өту аналогті түрде іске асады – ондық санның әр бір разряды оған эквивалентті екілік тетрадамен ауыстырылады.

Унитарлы жүйеде 1символы үнемі тек бір позицияда болады, ал қалған позицияларда 0 болады. 1 саны бар позиция нөмері (0ден бастап унитарлы санының ондық эквиваленті болып табылады. Нөлінші нөмір оң жақтағы шеткі.

Унитарлы (сегіз разряд үшін) және ондық санау жүйелерінің сан сәйкестігі 1.3кестесінде көрсетілген.

Ондық сан	Унитарлы сан
0 1 2 3 4 5 6 7	00000001 00000010 00000100 00001000 00010000 00100000 01000000 10000000