2. Стокс формуласы
жүктеу/скачать 14.48 Kb.
|
|
2.Стокс формуласы. Грин формулсы тек жазық жағдайда ғана емес, сондай-ақ үш өлшемді кеңістік үшін де дұрыс.Оны Стокс формуласы деп атайды.Теорема.Стокс формуласы. D - бұл бейнелеуі кезіндегі жазық дөңес D жиынының бейнесі,әрі оның координаттары екі рет үзіліссіз дифференциалданатын функция болатын , тегі тегіс өзгешеленбеген кеңістік болсын.L қисығы жиынының бөліктік тегіс ᴧ шекаралары болатын D бетінің бөліктік- тегіс шекарасы болсын.L шекараларын бағдарлау параметрлеуге жауапты. Сондай- ақ P,Q,R – D – дағы тегіс функциялар.Сонда мына формула дұрыс: . Дәлелденуі. Беттік интегралдың сызықтығына байланысты интегралы жағдайын қарастыру жеткілікті, яғни формуласын дәлелдейік. - D бетін параметрлеуі болсын, әрі . Бұдан басқа, облысының ᴧ шекарасында бөліктік – тегіс параметрлеуі берілген, бұл L қисығындағы параметрлеуін анықтайды.Қисықсызықты интегралдың өрнегі туралы теоремаға байланысты анықталған интеграл арқылы мынаны аламыз: . Сол теорема бойынша соңғы интеграл мынаған тең: .Грин формуласын K интегралға қолданамыз.Осы үшін бірінші диференциалдың инварианттылық формаларын және функциясының екінші дербес туындысын қолданамыз.Мынаны аламыз: . Олай болса: . Мұнда жазық облысының жоғарғы жағы бойынша, екінші текті беттік интеграл ретінде қарастырылады.Бірақ параметрлеу кезінде S және екі интеграл да бір және сол өрнекті береді.Осыған көз жеткізу үшін және өрнегіндегі жақшаны ашу жеткілікті, тек мұнда есептейміз. Түпкілікті мынаны аламыз, яғни S және бір және сол қос интегралға келтіріледі. мұндағы . Сонымен, K=S теңдігі дәлелденді. Дәлелденді. жүктеу/скачать 14.48 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|