3. 2 Дәрістер материалдарын оқуға методикалық жетекшілік 1-Тақырып. Метрикалық кеңістіктер

әдістемелік жетекшілік ФМО ПГУ 7 18 207

математика кафедрасы

1. (тепе-теңдік аксиомасы);

2. (симметрия аксиомасы);

3. Х жиынының кез келген x, y, z элементтерінде теңсіздігі орындалады (үшбұрыш аксиомасы),

осы элементтердің арасындағы қашықтық деп аталады.

Анықтама 2. Элементтерінің арасындағы қашықтық анықталған Х жиыны метрикалық кеңістік деп аталады.

Сонымен, метрикалық кеңістік – жиын мен осы жиында анықталған қашықтықтан тұратын қосақ: .

Метрикалық кеңістіктерде үшбұрыш аксиомасының орындалатынын тексергенде жиі қолданылатын теңсіздіктер:

1. Коши-Буняковский теңсіздігі:

.

және оның салдары:

2. Гельдер теңсіздігі:

3. Минковский теңсіздігі:

Осы теңсіздіктердің дәлелдеуін білу керек (1, 62-65 беттер).

Метрикалық кеңістіктердің негізгі типтері:

* толық метрикалық кеңістік,

* сепарабельді метрикалық кеңістік.

Осы тақырып бойынша студенттер білуі керек:

- метрикалық кеңістік және осындай кеңістіктегі тополгиялық ұғымдарды (шар, нүктенің маңайы, олардың жиі қолданылатын метрикалық кеңістіктердегі мысалдары)

- жиынның ішкі, сыртқы, шектік, оңаша нүктеледің анықтамаларын.

- метрикалық кеңістіктегі ашық, тұйық жиындарды, мысалдарын;

- жиынның тұйықтамын;

- метрикалық кеңістіктегі ашық және тұйық жиындар туралы теоремаларды;

- берілген жиында тығыз және барлық жерде тығыз жиындар туралы ұғым;

- толық және және сепарабельді кеңістіктер және олардың мысалдары.

Бұл теорема бірінің ішінде бірі орналасқан сегменттер туралы лемманың кез келген тұйық кеңістіктегі жалпылануы болып табылады.

теңсіздігін қанағаттандыратын саны табылса, бұл бейнелеу қысылу деп аталады.

Бұл принципті, әдетте, польша математигінің атымен Банах теоремасы деп атайды.

(1, стр., 67-97 беттер).

кеңістіктері толық метрикалық кеңістіктің мысалдары болып табылады. Рационал сандар кеңістігі Q және кеңістіктері толық болмайтын метрикалық кеңістіктердің мысалдарына жатады.

Толық емес метрикалық кеңістіктің толықтамасы. Толық емес Q кеңістігін толық кеңістігіне дейін толықтау процесін игеру. Осы процессті толық емес кез келген кеңістіктің толықтамасын құруға пайдалануға болатынын көрсету. Осы әдісті кеңістігінің толықтамасын құруға пайдалану. Толықтаманың нүтесі ретінде толвқталатын кеңістіктің фундаменталды тізбегі алыналатынына көңіл аударылуы керек. Бұл факт осы әдістің шешуші элементі екеніне назар аудару керек.

Изометрлі метрлік кеңістіктер.

Анықтама 2. Егер метірлік кеңістіктерінің өзара бірмәді және үзіліссіз бейнеленуі бар болса, онда бұл бейнелеу гомеоморфизм деп, ал кеңістіктер гомеоморфты деп аталады.

Анықтама 3. Егер кеңістігінің кез келген нүктелерінде теңдігін қанағаттандыратын кеңістігін кеңістігіне өзара бірмәнді f бейнелеуі бар болса, онда бұл кеңістіктер изометрлі деп аталады.

* Толық емес метрикалық кеңістікті толықтау. Метрикалық кеіңстікті толықтау теоремасының дәлелдеуін игеру.

* Бірінің ішңнде бірі орналасқан шарлар туралы теорема.
Осы дәріс бойынша игерілуі тиіс тұжырымдар мен теоремалар:

* определение Фундаменталды тізбектің анықтамасы;

* толық метрикалық кеңістіктің анықтамасы;

* бірінің ішінде бірі орналасқан шарлар туралы теорема;

* қысылу бейнелеудің анықтамасы;

* қысылған бейнелер принципі (Банах теоремасы);

* толық емес метрикалық кеңістіктің толықтамасы;

* толық және толық емес метрикалық кеңістіктердің мысалдары;

* изометрлі метрлік кеңістіктер, мысалдары;

* толық емес метрикалық кеңістікті толықтау процесі.

1. Сызықты кеңістіктің анықтамасы.

Элементті санға көбейту мына аксиомаларды мына аксиомларды қанағаттандыруы керек:

Егер СК нақты санға көбейту амалы анықталса, онда СК нақты, ал кешен санға көбейту амалы анықталса кешен СК деп аталады

2. СК мысалдары:

1.

3. Изоморфты СК анықтамасы.

және СК изоморфты деп аталады, егер осы кеңістіктердің элементтері арасында қосу және санға көбейту амалдарының мәндерін сақтайтын өзара бірмәнді бейнелеу бар болса.

4. Изоморфты СК мысалдары. Мұндай СК қарапайым мысалдарына және әрежесі -ден артық болмайтын көпмүшеліктер кеңістігі жатады.

5. СК сызықты тәуелді элементтер жүйесі.

6. СК сызықты тәуелсіз элементтер жүйесі.

7. СК кеңістіктің өдшемділігі.

8. СК базисі.

9. СК ішкеңістігі.

10. Меншікті ішкеңістік.

11. Меншікті ішкеңістіктің мысалдары.

12. элементтер жүйесінен туындайтын меншікті ішкеңістік. Сызықтық қабықша.

13. Фактор-кеңістік.

14. Сызықты функционал.

15. Сызықты функционалдың геометриялық мағынасы.

Әдебиет (1, Гл. 111,п.1, стр.159-161)

Осы тақырыл бойынша суденттер білуі керек.

- нормаланған СК ұғымын;

- элементтің нормасын;

- НСК-тегі элементтер тізбегі жинақтылығынын;

- ішкеңістік және оның өлшемділігін;

- Банах кеңістігін;

- Гельдера және Минковский теңсіздіктерін;

- Банах кеңістігінің мысалдарын;

- Лебегтің кеңістіктерін;

- Лебегтің қосындыланатын функциялар кеңістігі , үзіліссіз функциялар кеңістігінің кеңістігіндегі норма бойынша толықтамасы болатындығын;

- Евклид кеңістігін;

- Гильберт кеңістігін;

- вектор ұзындығын;

- векторлар арасындағы бұрыштың анықтамасын және Банах кеңістігінде ортогонал дерлік элементтер жүйесінің бар болатындығын.
6-дәріс. Гильберт кеңістігі. Изоморфизм туралы теорема

Дәріс мазмұны. Гильберт кеңістігінің анықтамасы, мысалдары. Изоморфизм туралы теорема. Ішкеңістік, ортогонал толықтауыш, тура қосынды. Понятия о комплексных Кешен Евклид кеңістігі туралы ұғым (әдебиет 1, 111 т., 6 – 9 пп, стр.180 – 190 беттер).

Анықтама. Шексіз өлшемді толық евклид кеңістігі Гильберт кеңістігі деп аталады.

Толығырақ, жиыны гильберт кеңістігіне айналады, егер бұл жиын скалярлық көбейтінді анықталған, шексіз өлшемді толық кеңістік болса. Изоморфты гильберт кеңістіктері тепе-тең кеңістіктер деп қарастырылады. Гильберт кеңістіктерінің изоморфтылығы бойынша, барлық гиьберт кеістіктері өзара изоморфты болады. бұл теорема барлық гильберт кеңістіктері кеңістігіне изоморфты екендігін көрсету арқылы дәлелденеді. (изоморфизм туралы теорема 1, 181,182 беттер). Бұл теорема толық евклид кеңістігінде орындалатын Рисса-Фишера теоремасына сүйеніп дәелденеді. Гильберт кеңістігіндегі маңызды ұғымдарға ішкеңістік және оның ортогонал толықтауышы жатады. Осы ұғым арқылы гиьберт кеңістігінің кез келген векторы өзара ортогонал ішкеңістіктерде жатқан векторларға жіктеледі. (Бұл теоеманың толық мәтінін оқулықтың 183-187 беттерінен табасыздар). Евклид кеңістігінің сипаттамасы 8-теоремадан (187-191 беттер) табасыздар.

* Гильберт кеңістігінің анықтамасын;

* Гильберт кеңістігінің мысалдарын;

* Гильберт кеңістіктерінің изоморфтылығы туралы теореманы;

* Гильберт кеңістігінің сепарабельді болатындығы туралы теореманы;

* ішкеңістік және оның ортогонал толықтауышын;

* Гильберт кеңістігінің ортонормаланған ішкеңістіктер жүйесін

* Гильберт кеңістігін ортонормаланған ішкеңістіктердің қосындысы ретінде өрнектеу;

* Евклид кеңістігінің сипаттаыш қасиеті.

Жаттығу сабақтарында 6-дәрістің теориялық материялдары талқыналады.

Осы тақырып бойынша студенттер білуі керек:

- шенелген және жете шенелген жиындар ұғымын;

- метрикалық кеңістіктегі жиынның компакт болу шартын (Хаусдорф теоремасын).

- шала компактылық критериін;

- жекелеген метрикалық кеңістіктегі жиынның компактылық шарттарын;

- Арцел теоремасын;

- ақырлы өлшемді кеңістіктегі жиынның компакт болу шартын.

Әдебиет: Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. Элементы функционального анализа, «НАУКА» М. 1965. (Гл. 5. пп.1, 2, стр. 228-256).
Бесінші тақырыпқа 2 дәріс және 4 жаттығу сабағы жоспарланған.

9-дәріс. Сызықты функционалдар.

Анықтама 1. Сызықты нормаланған кеңістікте анықталған функционалы сызықты деп аталады, егер бұл функционал

1) аддитивті ,

2) біртекті болса.

Функционалдың геометриялық мағынасы (1, стр. 147).

Сызықты функционалдың ядросы. Сызықты функционалы шартын қанағаттандыратын сызықты L кеңістігінің барлық нүктелер жиыны осы функционалдың ядросы деп аталады да, деп белгіленеді.

Тапсырма 1. -тің L кеңістігінің ішкеңістігі болатынын көрсетіңіздер.

2. Покажите, что-тің коөлшемі 1-ге тең болатынын көрсетіңіздер.

Сонымен, , барлық нүктелерінде.

Егер гипержазықтығының координат басынан қашықтығы d болса, онда , болатынын дәлелдеңіздер. сызықты функционал -тің нормасы d қашықтығына кері сан. (1, стр. 204-208).

Сызықты функционалдың үзіліссіздігі мен шенеулілігі өзара эквиваленті ұғымдар.

Теорема 1. Егер сызықты функционал сызықты L кеңістігінің қандайда болмасын бір нүктесінде үзіліссіз болса, онда бұл функционал осы кеңістікте үзіліссіз болады.

Теорема 2. Әрбір үзіліссіз функционал шенеулі және шенеулі функционал үзіліссіз болады

Хан–Банах теоремасы. Нақты нормаланған сызықты E кеңістігінің сызықты L ішкеңістігінде анықталған шенеулі сызықты функционалының Е кеңістігне дейінгі сызықты созындысын, нормасын өзгертпей анықтакға блады. Демек, егер бұл созынды болса, онда барлық нүктелерде теңдігі орындалады және болады.

СӨЖ тапсырма:

* сызықты функционалдың анықтамасы;

* сызықты функционалдың ядросы;

* сзықты функционалдың геометриялық мағынасы;

* -тің коөлшемі;

* сызықты функционал үзіліссіздігінің анықтамасы;

* шенелгендік және үзіліссіздік;

* сызықты функционалдың нормасы және оның геометриялық мағынасы;

* Берілген сызықты кеңістіктің сызықты ішкеңістігінен берілген кеңістікке дейінгі сызықты функционалдың жалғасы туралы Хан – Банах теремасы.
Шешуге ұсынылатын есептер. И.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С.Соболева, Задачи и упражнения по функциональному анализу.

№ 11.2, 11.3, 11.4, 11,5.

Сонымен, , мұндғы – Е кеңістігінде анықталған сызықты функционал.

Түйіндес кеңістіктегі норма: немесе . Сонымен, түйіндес кеңістіктік – нормаланған сызықты кеңістік.

Түйіндес кеңістіктегі әлді топология – осы кеңістіктегі топология бойынша жинақтылық.

1-6 мысалдарды игеру керек.

Екінші түйіндес кеңістік. Өзіне түйіндес және рефлексивті кеңістіктер. Осындай кеңістіктердің мысалдары.

СӨЖ тапсырма:

* -ның толық сызықты кеңістік болатынын дәлклдеу;

* -дегі әлді жинақтылық;

* тұйіндес кеңістіктің мысалдары (1-6-шы мысалдар);

* екінші түйіндес кеңістік;

* өзіне түйіндес және рефлексивті кеңістіктер, мысалдары.

Сызықты функционалдың анықтамасы бойынша, .

теңдіктері орындалатынын ескеріп, функционалын

түріне келтіремізде оның нормасын анықтаймыз. Осы мақсатпен, үшін

теңсіздігінен төмендегі сұлбаға келеміз:

Осымен қатар, элементі

Сонымен біз -ге түйіндес кеңістігіне келеміз. Яғни, өлшемді евклид кецістігіне түйіндес кеңістік өлшемді евклид кецістігі болады.

Әдебиет. Л.А.Люстерник, В.И.Соболев. Элементы функционального анализа. М. 1968, 180-196 беттер.

шартын қанағаттандыратын бейнелеуін айтамыз.

Оператордың сызықты болатынын дәлелдеу үшін (1) шартының орындалуын тексерсе жеткілікті. 1 – 7 мысалдарын шығару осы шарттың орындалуын тексеруге саяды. Оператордың үзіліссіздігі мен шенеулілігі функционалдың осындай қасиаттарінң ұқсас.

Тапсырма 1. Оператордың үзіліссіздігі мен шенеулілігінің анықтамасын жазыңыздар.

2. Сызықты кеңістіктің бір нүктесінде үзіліссіз оператор осы кеңістікте үзіліссіз болатынын дәлелдеңіздер.

3. Сызықты кеңістіктің нүктесінің қандайда болмасын бір маңайында шенеулі оператор осы нүктеле үзіліссіз болатынын және керісінше осы нүктеде үзіліссіз оператор шенеулі болатынын дәлелдеңіздер.

Операторлардың көбейтіндісі. Операторлар көбейтіндісін анықтау сұлбасы:

.

Белгілеулер : операторатормен байланысты ұғымдарды төмендегі символдармен белгілейміз.

D(A) – А операторының анықталу аймағы,

R(A) – А операторының мәндер аймағы,

Оператордың нормасы: немесе . Осы анықтамалардың эквиваленттілігін дәлелдеңіэдер.

Сызықты шенелген операторлардың негізгі қасиеттерінің айтылуын В.А Треногиннің есеп кітабынан табасыздар 51, 52 беттер.

Осы қасиеттердің дәлелдеулері А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин кітабында 251-265 беттер.

СӨЖ тапсырма 1. Операторлар арасындағы қосу, санға көбейту, және операторлпрды көбейту амалдарын білу керек..

2. Шенеулі операторлар кеңістігінің анықтамасын білу керек. осындай кеңістіктің мысыалдарын игеру керек.

3. Шенеулі операторлар кеңістігінің толық болу шартын білу керек.
13-дәріс. Кері оператор, оператордың керіленуі.

X кеңістігінен Y кеңістігіне әрекет ететін А операторы берілсін.

Теорема 1. Сызықты А операторына кері операторы сызықты болады.

Теорема 2. ( Банахатың кері оператор туралы теоремасы). Егер сызықты А операторы Е банах кеңістігін сызықты банах кеңістігіне өзара бірмәнді бейнелесе, онда онда осы операторға кері операторы бар болады. (Дәлелдеуі 1, 259-262 беттерде).

Салдар 1. (Ашық бейнелеу туралы). Е банах кеңістігін банах кеңістігіне сызықты үзіліссіз А операторы арқылы толық бейнелеу ашық болады.

Салдар 2. Е кеңістігін фактор-кеңістігіне әрбір сыбайлас класқа осы клкастың х элементін сәйкестендіретін В бейнелеуі ашық болады.

Теорема 4. Егер шенеулі кері операторы бар операторы Е-ні -ге толық бейнелесе, онда операторының да шенеулі кеті операторы бар болады.

Теорема 5. Егер Е кеңістігін өзіне бейнелейтін А операторы үшін шарты орындалса, онда шенеулі операторы бар болады. (1, 164, 265 беттер).

Тапсырма. Осы дәріс бойынша егжей-тегжейлі конспект құрыңыздар. 14-дәріс. Оператор спектрі. Резольвента

Анықтама 1. Айталық А: сызықты оператор болсын. теңдеуінің ешімі болатын саны А операторының меншікті мәні деп аталады.

Анықтама 2. А операторының барлық меншікті мәндер жиыны осы оператордың спектірі дап аталады. -ның барлық басқа мәндері регулярлы мәндер деп аталады.

Анықтама 3. мардымсыз емес шешімдері меншікті элементтер деп аталады.

Ақырлы өлшемді кеңістікте екі жағдай болуы мүмкін:

1) теңдеуінің нөлден өзгеше шешімі болуы мүмкін. Бұл жағдайда меншікті мән болады да осы шешім А операторының меншікті мәні болады. Бұл жағдай операторы бар болмағанда орындалады, демек опреаторы керіленбейтін жағдай.

2) Шенеулі операторы бар болады, демек А операторының регуляры мәні болады.

Егер А операторы ақырсыз өлшемді кеістікте әсер етсе; онда төмендегі үшінші жағдай орындалуы мүмкін.

3) оператор бар болады,демек теңдеуінің тек қана нөлдік шешімі бар болады, бірақта А операторы анықталмаған немесе шенелмеген Е кеңістігінің ішжиыны бар болады.

Очевидно, число cаны регулярлы болады, егер А оператораторы Е кеңістігінде анықталып шенеулі болса А. Бұл жағдайда -ның басқа мәндері осы оператордың спекторын құрайды.

Оператордың спектірі нүктелік немесе үзіліссіз болуы мүмкін.

Егер теңдеуінің нөлдік емес шешімі болса, онда спектр нүктелік болады. Үшінші жағдайда спектр үзіліссіз болуы мүмкін.

Мысал 1. В пространстве кеңістігінде анықталған . операторының спектрін табыңыздар.

Мысал 2. кеңістігінде А операторы төмендегі бейнелеу прқылы анықталған

.

Осы бейнелеуді талдаңыздар.

(Әдебиет, гл. 111, $$ 5, стр. 161-164, гл. У11, $$ 1-5)

Тоғызыншы тақырыпқа 1 дәріс және 1 жаттығу сабағы жоспарланған

14-дәріс. Жалпыланған функция

1. Функция туралы ұғымды кеңейту проблемасы. Бізді қоршаған әлемнің құбылыстары әдеттегі функция ақылы спаттал бермейді. Мысалы, егер түзу бойында үлестірілген масса бір нүктеде шоғырланса, онда материяның осы нүктедегі тығыздығын әдеттегі функция арқылы сипаттау мүмкін емес. Математиканың өзінде берілген нүктеде немесе функцияның анықталу жиынында туындысы болмайтын функциялар кездеседі. Осындай жағдайлар функцияға деген көзқарасты өзгертуді талап етеді. Функция туралы ұғымды кеңейту оның қолдану аясын кеңейтеді. Бұл өз кезегінде функция туралы ұғымды түбегейлі өзгертуді талап етеді..

Жалпыланған функцияны анықтау жолдары. Сандар өсінде анықталған жане кез келген ақырлы интервалда интегралданатын белгіленген функциясы қарастырылады. Осымен қатар, қандайда болмасын бір интервалдың сыртында нөлге айналатын, үзіліссіз функциялар жиыны қарастырылады. Мұндай функциялар финитты деп аталады. Финитті функциялар жиыны сызықты кеңістік құрайтыны көрсетіледі.

Бұл кеңістік негізгі функциялар кеңістігі деп аталып К әріпімен белгілену қалыптасқан. Әрбір кеңістік осы кеңістіктегі жинақтылық арқылы сипатталады, Ал жинақтылық нүктенің маңайы арқылы (осы маңай арқылы анықталған топология арқылы) анықталады (1, 237 бет). Кеңістіктегі топология финитті функциялар кеңістігіне қойылатын талаптарға сүйенеді. Финитті функциялар шексіз дифференциалданады деген талап қалыптасқан. Кейін бұл қатаң талап жалпыланған функциялар класын тарылтпайтыны айқындалған.

Сонымен әрбір финитті функциясына функциясы арқыты санын сәйкестендіруге болады, демек бұл функция сызықты функционал ретінде анықталады.

Анықтама 1. Обобщенной функцией, заданной на түзуінде анықталған жалпыланған фукнция деп негізгі К кеңістігінде анықталған функционалын айтады.

Сонымен, шенеулі интервалда интегрелданатын кез келген функциясы арқылы жалпыланған функция анықталады. Мысалы мұндай функция финитті функциялар кеңістігінде (К кеңістігінде) мына теңдік арқылы анықталуы мүмкін:

.

Осылай анықталған жалпыланған функция регулярлы деп, ал барлық басқаша анықталған жалпыланған функция сингулярлы деп аталады.

Сингулярлы жалпыланған функцияның мысалдары:.

1. «функция»: . .

2. «Жылжытылған функция».

3. «функцияның туындысы». Әрбір функциясына саны сәйкестендіріледі де функцияняң туындысы деп қабылданады.

4. жалпыланған функция интегралы арқылы анықталады. Әлбетте бұл функция К кеңістігінің әрбір функциясына санды сәйкестендіреді. Бұл сан

,

теңдігі арқылы бірмәнді анықталады.

1. Шекке көшу Жинақтылық осылай анықталған жлпыланған функциялар кеңістігі символымен балгіленеді.

2. Жалпыланған функцияларды көбейту. Жалпыланған функцияның ақырсыз дифференциалданатын функциясына көбейиіндісі мыны теңдік ақылы

анықталады.

Анықтама 2. Жалпыланған Т функцияның туындысыф деп

теңдігі арқылы анықталған жалпыланған функцияны айтады.