Лаплас түрлендірулерінің негізгі теоремалары

Егер түпнұсқада t айнымалысы масштабын өзгертсек, яғни , мұнда: а - кез келген сан, онда

Осыны дәлелдейік.

Келесідей белгілейміз  бұдан .

 (18)

міне, осыны дәлелдеу талап етілген еді.

 

 (19)

Дәлел үшін келесі белгілеулерді орнатамыз , сонда , .

Екі f₁(t) және f₂(t) түпнұсқалардың жинағы келесі интеграл

және келесідей белгіленеді 

Осыны дәлелдейік.

міне, осыны дәлелдеу талап етілген.

 

 (24)

Дәлелдеу.

Туынды функцияны Лаплас бойынша түрлендіру үшін келесі теңдеуді қолданамыз.

р→0 жағдайындағы шектерді қарастырайық:

Алынған теңдеуді қолдана отырып келесіні аламыз:

 

 (28)

Дәлелдеу.

Алдын көрсетілгендей, туынды функцияны Лаплас бойынша түрлендіру үшін келесені қолданамыз.

Ыңғайлы түрде жазамыз:

р→∞ жағдайында теңдеудің оң және сол жағындағы шектерді қарастырайық.

1. 
   Көпмүшелік теориясының негіздері
   
2. 
   Көбейткіштерге жіктеу
   
3. 
   Жиындар және оларға жүргізілетін операциялар
   

Бір айнымалылы көпмүшелік, полином деп математикада келесі функцияны айтады

мұндағы тұрақты коэффициенттер, ал — айнымалы. Көпмүшеліктер элементар функциялардың маңызды табы болып табылады.

«Классикалық алгебраның» негізгі мақсаты осындай көпмүшеліктерді және олардың теңдеулерін шешу болып табылған. Осыған байланысты математикадағы негізіг өзгерістер пайда болған: нөлді енгізу, теріс сан, ал сосын комплекс санның пайда болуы, т.б..

мұндағы теріс емес бүтін сандар жиыны (мультииндекс деп аталатын), — тек мультииндекс I-ға тәуелді («көпмүшелік коэффициенті деп аталатын») сан.

Жекеше түрі, бір айнымалылы көпмүшелік келесі шекті қосынды болып табылады

Көпмүшелік коэффициенттері әдетте белгілі бір коммутативті сақинасынан (көбінесе өрістен, мысалы, нақты сандар немесе комплекс сандар өрісінен) алынады. Бұл жағдайда қосу мен көбейту операцияларына қатысты көпмүшеліктер

деп белгіленетін сақина (оның үстіне сақинасында нөл бөлгіштерінсіз ассоциативті-коммутативті сақинадағы алгебраны) құрайды.

• 
  Егер үлкен коэффициенті бірге тең болса көпмүшелік унитарлы немесе келтірілген деп аталады.
  
• 
  түріндегі көпмүшеліктерді бірмүшелік немесе моном деп атайды
  
  • 
    мультииндексіне сәйкес келетін бірмүшелікті бос мүше деп атайды.
    
• 
  Көпмүшелік екі нөл емес мүшесі болса оны екімүшелік немесе бином дейді,
  
• 
  Көпмүшелік үш нөл емес мүшесі болса оны үшмүшелік деп атайды.
  
• 
  (нөл емес) бірмүшеліктің толық дәрежесі деп мына бүтін санды айтады .
  
  • 
    Көпмүшелік дәрежесі деп оның бірмүшеліктерінің ең максималды дәрежесін айтады, нөлдің дәрежесі болмайды
    
• 
  Коэффициенттері нөл болмайтындай мультииндекстер жиынын көпмүшелік игерушісі, ал оның дөңес қабығын - Ньютон көпжағы дейді.
  

1. 
   ортақ көбейткіштерді жақшаның сыртына шығару, мысалы, 2a3b–3ab2 ==ab(2a2–3b),
   
2. 
   Қысқаша көбейту және бөлу формулаларын қолдану, мысалы, 4x2–4xy+y2==(2x–y)2, 8a3–b3==(2a–b)(4a2+2ab+b2);
   
3. 
   қосылғыштарды топтастыру, мысалы, 2ac–4ad+3bc–6bd==2a(c–2d)+3b(c–2d)==(2a+3b)(c–2d).
   
4. 
   Қосылғыштарды бөлшектеу, мысалы, a2+3a+2=a2+2a+a+2= =a(a+2)+(a+2)=(a+1)(a+2).
   

Негізгі теориялық көпше заңдарды баяндаған кезде бір-бірімен тығыз байланысты үш бастапқы түсінікті қолданамыз: жиындар, пікірлер және предикаттар.

Егер а жиыны А жиынының элементі болса, онда бұл фактты келесі түрде жазады: (сәйкесінше кері тұжырым үшін). Атап айтқанда, элементтердің жиынтығы жиынның барлығын анықтайды, сондықтан да оларды белгілеген кезде жиындар мен оның элементтерін әртүрлі бейнелейді, мысалы, жиындарды – бас әріппен, ал элементтерді – кіші әріптермен, немесе жиындарды үстіне жұлдыз қойып белгілейміз. Мәнмәтіннен әрқашанда қай белгілеу тәсілі қолданғаны анық болады.

Барлық жиындар алдын-ала берілген Е жиынтығының элементтерінен тұрады деп санайық, бұл жиынтық өз кезегінде ауқымды жиын деп аталады. Әр нақты жағдайда ауқымды жиындар әртүрлі болуы мүмкін, мысалы, жазықтық нүктелерінің, бүтын сандардың, нақты немесе комплексті функциялардың жиыны және т.с.с.

Кей нәрселер жөнінде баяндалатын және олар жөнінде ақиқат немесе жалған деп айтуға болатын хабарлы сөйлемдерді пікір деп айтамыз. Е ауқымды жиынының кейбір элементіне қатысты сөйлем жиынның қай элементі қарастырылып жатқанына байланысты ақиқат немесе жалған болуы мүмкін. Айнымалы ретінде кейбір жиындардың элементтерінен тұратын мұндай сөйлемдерді предикат деп атайды.

Аксиома 1 (бөлінулер): әртүрлі Е ауқымды жиыны және Е-нің барлық элементтері үшін мағынасы бар әр Р (х) предикаты үшін жалғыз жиыны бар болады, ол Е-нің Р (х) ақиқат болатын элементтерінен тұрады.

Егер Х - Р (х) предикат ақиқатының жиыны болса, онда оны келесі тірде жазылады: . Әр Р (х) предикаты үшін кем дегенде бір элементіне ақиқат екенін білу қажетті. Бұл факт түрінде жазылады. символы тіршіліктің кванторы деп аталады, ал келтірілген жазу былай оқылады: «E ауқымды жиын элементтерінің арасында кем дегенде Р (х) ақиқат болатындай бір элемент бар болады». Біз ары қарай еркін қолданамыз, мысалы, келсі түрде . Мұнда x элементінің тек қана E–де емес, сонымен қатар X жиынында бар екені тұжырымдалады. Мәнмәтіннен әрқашанда кванторы бар қай белгілеу тәсілі қолданғаны анық болады.

Тіршіліктің кванторымен қатар тұтастық кванторы кеңінен қолданылады. жазуы Р (х) пікірі Е ауқымды жиынының барлық элементтері үшін ақиқат болып келеді.

Екі пікірді қосатын белгілердің келесі атауы бар: & - конъюнкция (көбейту), V - дизъюнкция (логикалық қосу), - эквиваленттілік, - нәтиже (импликация). А пікірін мойындамау арқылы белгіленеді, сонымен қатар .

Логика алгебрасының кейбір қарапайым тавтологияларын келтірейік , оларды біз кейін кеңінен қолданамыз:

1) – шығарып тасталған үштің заңы;

2) – қайшылықты мойындамаудың заңы;

–екі еселі мойындамаудың заңы;

–идемпотенттілік заңы;

- коммутативтілік заңдары;

- ассосация заңдары;

- дистрибутивтілік заңдары;

-де-Морган заңдары;

- контрпозиция заңы;

- тізбекті нәтиженің ережесі;

- рефлексивтілік заңы;

- симметрия заңы;

- транзитивтілік заңы;

- импликация мен конъюнкция арқылы эквиваленттілікті білдіру;

- дизъюнкция мен мойындамау арқылы импликацияны білдіру.

- кванторлар үшін де-Морган заңдары.

А н ы қ т а м а 1. А жиыны В жиынының жиыншасы деп аталады (белгіленуі ), егер А кез келген элементі В элементі болып табылады, яғни егер ].

3…5 аксиомалардың мағынасы элементтерінен бірігу, жиын дәрежелер құрастыруға болатын көлемді жиындардың бар екенін бекіту. Бұл ұғымдардың пайда болу себебі, «барлық жиындар жиыны» деген ұғымды қолдана алмауымызда.

А н ы қ т а м а 2. Элементтері жоқ жиынды бос жиын деп атайды және деп белгілейді.

1 теорема. Бос жиын тек жалғыз болады және кез келген Х жиынының ішкі жиыншасы болып табылады.

белгілейік. барлық анықталған және барлық жалған х үшін коллективизирлеуші ұғым болатыны түсінікті. барлық х үшін жалған болғандықтан, онда , ал осыдан .

Бірігу және қиылысу үшін арналған заңдар:

Толықтыру үшін арналған заңдар:

Жиындардың айырымдары үшін арналған заңдар:

1. 
   Функция экстремум табудың негізгі ұғымдары
   
2. 
   Тиімді басқару әдістерінің аталуы
   

1.Функция экстремум табудың негізгі ұғымдары

Кез-келген математикалық тиімді есептер функция экстремумі іздеп табу мақсатына жиі тіреледі немесе эквиваленттік немесе көптегендердің - өзгергіштігі. Осындай үйлесімді мақсаттардың шешіміне арналған, сондықтан экстремум іздеу әртүрлі әдістері қолдануға болады.

Жалпы жағдайда тиімділеу мақсаты келесідей бейнеленеді:

R(x), extr функциясын табу, мұнда ХХ

R(x) - функциямен мақсаттық аталады немесе функциямен немесе ықшамдау белгісімен немесе оптималдаушы функциямен тиімделеді.

Х - белгісіз өзгергіш.

Белгілі қажеттілер сияқты шарттарға экстремум бар болулары толассыз R(x) функциялары талдаудан алынған бірінші туындының. Осында R(x) функциясы экстрималды мәні Х тәуелсіз айнымалысы, бірінші туындысы 0-ге тең. Графикалық 0-ге тең туынды мағынасы, R(x) қисығына жанама осы нүкте абциссаға параллель.(1-сурет )

1-сурет

Бірақ теңдік туынды нольге тағы білдірмейді, не мына нүктеде экстремум бар болады, ақырғы көзі жетеді, не қосымша зерттеулер қажетті өткізу мына нүктеде экстремум нақты бар болады, тәсілдерде келесілердің болады:

1. Функциялардың мағыналардың салыстыру тәсілі

R(x) функция мағынасын салыстырады «күдіктінің» экстремумге Хк нүктесіне екі көршілес мағынаның R(x) функциялары Х_К-ε және Х_К+ε нүктелерінде, мұнда ε - дұрыс шама.( сурет 2)

2-сурет

1. 
   туындыларды салыстыру тәсілі.
   

Если таңбасы «+» нан «-» қа өзгеретін болса, онда Х_К –нүктесінде максимум (6.3,б-сур.), егер керісінше «-» тан «+» қа өзгерсе, онда минимум болады. (6.3,а-сур.)

3. Ең жоғарғы туынды белгілерін зерттеу тәсілі.

Бұл тәсіл қашан нүктеде «күдіктінің» экстремумға туынды ең жақсы реттері, R(Х_К) функциясын бар болады тек қана өзі толассыз емес, бірақ толассыз және туынды сонымен қатар болады және оқиғаларда қолданады.

Бұл өрнекпен:

Х_К нүктесінде «күдіктінің» экстремумге, ол үшін орынды

есептелетіні екінші туындының мәні.

Егер, мыналар жанында, онда сол нүктеде Хк - барынша толық,

Егер , ол нүктеде Хк - минимум.

Практикалық есептерді шешкендегі тиімділік тек қана R(Х_К) функциясының min және max табу ғана емес, ал осы функцияның ең кіші және ең үлкен мәнін табу, глобалды экстремум деп аталады. ( Сурет 4)

4-сурет

Осы жағдайда, егер R(Х) сызықты болып келсе, ал мүмкін шешімдердің облысы сызықтық теңдіктермен және теңсіздіктермен берілсе, онда экстремумды табу есебі сызықты программалау есептерінің класына жатады.

Жалпы Х функциясының функциялар жүйесі

Дәл осылай сол уақытта ұзындық бағдарламалау мақсат математикалық орнатып қою жазуы көрінеді:

Осы жағдайда, егер немесе мақсаттық функциясы ( Х ) немесе қандай болмасын шек қоюлардан ұзындық функциямен келмейді, анау функция экстремум іздеп табу мақсаты ( Х ) мақсаттардың - бағдарламалау сыныбына жатады.

Егер Х пен өзгергіштерді ешқандай шек қоюларды салынған емес, онда сондай мақсат сөзсіз экстремумге мақсатпен аталады.

Есеп көлемінің макималды қорабы.

Бұл дайындалған материалды дәл бұрышынан бірдей төрт квадратқа бөлу, ал алынған пішінді (5,б-сурет) дәл осылай ию, жоғарғы қақпақсыз қорап болып шықты (5-сурет) үшін мына жанында кесілетін квадраттардың мөлшері қажетті дәл осылай таңдау, барынша көп көлем қорабы болып шығады.

Тиімділеу мақсаттарының орнатып қою элементтері барлық тап осы мақсат үлгісінде нақтылы мысал келтіруге болады.

Тап осы мақсатқа бағалау функциямен дайындалған қорап көлемі қызмет етеді. Проблема кесілетін квадраттардың мөлшер таңдауында болады. Нақты, егер кесілетін квадраттардың мөлшері өте азса, онда аз биік кең қорабы алынған болады, демек және көлем болады. Басқа жағынан, егер үлкен өте кесілетін квадраттардың мөлшері болса, онда биік үлкен тар қорабы алынған болады, демек, және оның көлемі сонымен қатар болады.

Нақты кесілетін квадраттардың мөлшер таңдауына уақыт ықпалын жасау негізгі дайындау мөлшер шек қоюын көрсетеді. Нақты, егер жақпен квадраттар кесіп алу, бірдей жартыға негізгі дайындау жақтары, онда мақсат мәнді жоғалтады. Кесілетін квадраттардың жағы негізгі дайындау жақтарының жартысын сонымен қатар шамадан асыра алмайды, сондықтан бұл - практикалық түсініктемелерде берілген.

Есептегі қорабтың максимал көлемінің математикалық қойылымы Есептегі математикалық қойылым үшін кейбір параметрлерді қарастырып қорабтың геометриялық мөлшерінің сипаттамасын енгізу қажет. Мына мақсатпен лайықты параметрлермен мақсат маңызды орнатып қоюын қосамыз. Бұл мақсатпен - иілгіш материал квадрат дайындауын анықтап қараймыз, жақтары ұзындықты болады (6-сурет).

а) б) в)
5-сурет

6-сурет. Тік бұрышты дайындаудың даярлау сұлбасы мен нұсқауының мөлшерлері
Есептің математикалық қойылымы үшін сәйкес параметрлердің тиімді есебін анықтау қажет, мақсатты функцияны және арнайыландырған шектеулерді беру керек. Сапасы жағынан квадраттың ұзындығын кесіп r айнымалы етип алуға болады, жалпы жағдайда, аралап шыға мақсат маңызды орнатып қоюлары, толассыз нақты мағыналар қабылдайды. Функциямен мақсаттық алынған қорап көлемі келеді . Сондықтан қорап негізгі жақ ұзындығы бірдей: L-2 r, ал қорап биігі r бірдей, онда оның көлемі формуламен орнында болады : V(r)=(-2 r)² r. физикалық түсініктерден аралап шыға, жағымсыз өзгергіш r мағыналары бола алмайды және негізгі дайындаулары , L т.с.с . 0,5 L . мөлшер жартылары мөлшерді шамадан асыру

Ескерту

Бірыңғайлау мақсатымен, өзгергіш белгілейміз х арқылы = r, не ықшамдау шешілуші мақсаттары мінез-құлыққа ықпал жасауын көрсетпейді. Мақсат математикалық орнатып қоюы сол уақытта барынша көп көлем қорабы туралы келесі түрде жазылған:

Тап осы мақсат функциясы келеді - мақсат сондықтан барынша көп мөлшер қорабы туралы немесе - ықшамдау мақсаттардың - бағдарламалау сыныбына жатады .

Үрдісті тиімділеу қаралатын функция ең жақсы жағдайлар жиынтығы табуында болады немесе үйлесімді шарттардың тап осы үрдісте өткізулері.

Ең жақсы жағдайлар жиынтығы бағалауына арналған, ықшамдау белгісі ең алдымен, қажетті таңдау. Әдеттегі, ықшамдау белгісі нақтылы шарттардан таңдайды. Мынау технологиялық белгіні бола алады (мысалы, аудару күйіндіде Сu ұстауы) немесе экономикалық белгі (өнім ең аз құны еңбек берілген өнімділігінің) және бас. ықшамдау таңдалған белгісі негізінде мақсаттық функция, оның мағынасына әсер етуші параметрдің ықшамдау белгі өзімен таныстырушы тәуелділігі құрастырылады. Функцияның мақсаттық ықшамдау мақсаты экстремум табуына апарылады. Қаралатын математикалық үлгілердің мінез - құлығының тәуелділігінде ықшамдау әртүрлі математикалық әдістері қабылданады .

Мақсатты тиімдеу жалпы барысы келесідей болады:

1. Критериді таңдау

2. Басқару модельін құрастыру

3. Жүйенің шектеулерін қойу

4. Шешімі модельі -сызықты немесе сызықсыз, шектері

Модель құрылымының тәуелділігінде тйімділеу әртүрлі әдістерде қолданылады. Оларға жатады:

1. Аналитикалық тиімділеу әдістері (аналитикалық экстремумін іздеу, Лагранж көбейткіштерінің әдісі, вариациялы әдістер)

2. Математикалық бағдарламалау (сызықты бағдарламалау, динамикалық бағдарламалау)

3. Градиентті әдістер.

4. Статистикалық әдістер (регресстік талдау)

Сызықты бағдарламалау. Сызықты бағдарламалау есебінде тиімделу критериін мына түрде ұсынамыз : мұнда -берілген тұрақты коэфициент, -есептің айнымалысы.

Қайда - берілген тұрақты коэффициенттер

- өзгергіш мақсаттың

Сызықты теңдеу өзімен үлгі теңдеулері ұсынады (полиномдар), шек қоюдың теңдік түрінде тепе-теңдікті немесе тепе-теңсіздіктің теңдеуінің түрі. .(6.2)

7-суреттегі геометриялық интерпретация Х₁ және Х₂ типті теңдіктер айнымалыларының қойылған шектері бойынша келесі түрдегі критериімен сипатталады .

7-сурет

8-сурет

l-кезең. Барлық тәуелсіз айнымалылар мәнінің жеке туындыларын табады, қарастырылатын нүктеде градиент бағытын анықтайды.

Тұрақты мағынаны болады бойлай сызықтары үйлесімді шешім нүктесінде, т. болады. Мақсат шешімдері ұзындық бағдарламалау ықшамдаулары симплекс - әдісті келеді мына нүктеде белгі әдістерден біреумен ғанамен max . болады .

- Бағдарламалау. Мақсаттар - бағдарламалау математикалық орнатып қоюы келесіде болады: функция мақсаттық экстремумі табу, түзусіздік түрі болады.

- өзгергіштер теңдіктердің үлгі әртүрлі шек қоюлары салынады немесе -

Мақсаттардың - бағдарламалау шешіміне арналған осы шақ әдістердің разы үлкен саны қолданылады.

1) Градиентті әдістер (градиент әдіс, өте тез түсіру әдіс, бейнелердің әдіс, Розенброк әдісі және д т . .)

2) Градиентсіз әдістер (Гаус - Зейдель әдісі, сканерлеу әдісі).

Градиент әдісін қарап шығамыз. Мына әдісте функция мақсаттық градиенті қолданылады . Функцияның мақсаттық градиент әдісінде адымдар өте тез азаю бағытында іске асырылады .( Сурет 8)

Ең жақсы жағдайлар жиынтығы іздеуі екі кезеңге шығарылады:

1- кезең:- жеке туынды мағыналарды тауып алады бәріне - өзгергіштерге, қаралатын нүктеге градиент бағытын анықтайды.

2- кезең :- градиент бағытына кері бағытта адым жүзеге асады, өте тез кему бағытында е. т. мақсаттық функцияның .

Градиентті әдіс алгоритмы мүмкін жазылған келесі бейнемен:

Ең жақсы жағдайлар жиынтығына қозғалыс мінез-құлығы өте тез түсіру әдісімен келесіде болады (6.9), Көрсетілген нүктеге оның өте тез кемуінің бағыт айқын ең функциялар және анамен бастапқы нүктеде оптимизируемой градиент табылғанды соң, тап осы бағытта түсіру адымы істеледі. Егер функция мағынасы мына адым нәтижесінде азайса, онда томға кезек адым шығарылады ғой бағытта, және дәл осылай соған дейін, мына бағытта минимум табылған болып жатқанда, кейін ненің градиент қайтадан есептеледі және функцияның мақсаттық өте тез кему жаңа бағыты анықталады .

Градиентсіз экстремум іздеуі әдістеріне жатады:

1. Алтын қима әдісі

2. Фибоний әдісі

3. Гаус - Зейдель әдісі (өзгергіш өзгерту алу әдісі)

4. Сканерлеу әдісі және д . т .

1 Динамикалық бағдарламау әдісі туралы ортақ мәліметтер.

2 Үзіліссіз жүйелерге арналған басқару есептерін ДБӘ негізінде шығару.

3 Дискретті басқару жүйелеріне арналған ДБӘ.

4 ДБӘ кемшіліктері.

1 Динамикалық бағдарламау әдісі туралы ортақ мәліметтер

Динамикалық бағдарламау әдісі америкалық математик Беллман және оның мектебімен жасалған. ДБӘ вариациялық есептерді сандық есептегіш машиналарды қолдануымен шығару процестерінде дамыған. Динамикалық бағдарламау есептерінің қойылымы Понтрягин максимум принципі сияқты. ДБӘ Беллман тиімділік принципінде құрылған «кез келген тиімді траекторияның кесіндісі тиімді траектория болып келеді», процестің болашақ тәртібі оның бұрынғы тарихынан тәуелсіз, басқаша айтқанда жүйенің болашақ тәртібі қазіргі уақыт мезетіндегі нысанның күйімен анықталады.

 аралық нүктені алайық. Беллман тиімділік принципіне сәйкес біз -ден -ға дейінгі (2) екінші бөлікті аламыз, ол тиімді траектория болып келеді..

Осылайша Беллман тиімділік принципіне сәйкес екінші траектория болады.

Тиімділік критерисі келесі түрде берілген.

Басқару векторы (2) функционалына минимальді мән береді. I функционал минималь мәнін арқылы белгілейік I функционал минимумы бастапқы шарттарға және

басқару түріне тәуелді. (2) интегралының минимум мәнін беретін бар деп ойлап, (2) түріндегі интегралды 2 интегралға бөлейік.

. (3)

Б
еллман тиімділік принципіне сәйкес егер басқаруы минимум интеграл берсе, ендеше осы басқару минимум интеграл жеткізеді, сондықтан (3) өрнегін есептей отырып, жазайық

ондағы бұл функция бастапқы күйінен  уақыт мезетіне тең, ендеше  кішкентай шама деп есептейміз.  уақыт кез келген траектория нүктесінде алуға болады.

U басқару вектор бойынша минимумды алу үшін (8) өрнегін дифференциалдайық

(8) және (9) өрнектірінде және жүреді. Беллман тиімділік принципіне сәйкес бұл векторларды , ауыстыруға болады жеке туындыларда.

(10) жүйесінде теңдеу сызықты емес дифференциалды теңдеу болып келеді, сондықтан бұл тәсілді қолдану кейбір жағдайларда күрделі есептеуді қажет етеді және осы түрде шығару кейде мүмкін емес, (10) теңдеулер қатарында бір теңдеуге келеді, ол үшін жүйеден жеке туындыны шығару керек:

Алынған (12) түріндегі теңдеуді динамикалық бағдарламау әдісімен шығарылған тиімді есептерге қолдануға болады.

Тиімділік критерийсіне арналған Беллман теңдеуін құрастырайық

 минимальді уақыт кезінде t=0 болғанда жүйені х₁=0, х₂=х_2n күйінен х₁=0, х₂=0 күйіне ауыстыратын тиімді басқарудың алгоритмін табу қажет.Мына шектеулер болғанда

Тиімділік критерисі үшін Беллман теңдеуін құрайық.

ондағы интеграл ішіндегі функция өрнегін анықталады

Беллман теңдеулер жүйесін жазайық.

Функционал түрін белгілейік

Жаңа координатаны есептеп, (1) теңдеулер жүйесін келесі түрде жазайық:

(8), (9) және (10) теңдеулер жүйесін есептесек, Беллман теңдеуі мына түрде болады

U скаляр бойынша (11) теңдеуінің жеке туындысын алған соң, (12) өрнегі шықты, (12) өрнегінен U басқаруын білдіруге болады.

U тиімді басқару үшін шыққан (13) өрнегі (8) жүйесінің бірінші өрнегіне қойылады.

Динамикалық бағдарламау әдісінің қиындығы – жеке туындыларды іздеу. Бұл қиындықты болдырмау үшін, бірнеше тәсілдер қолданылады. (14) теңдеуінің шешімін ортақ түрде жазуға болады.

х₁, х₂, х₃ бойынша (15) жеке туындыларын іздейік.

Шыққан жеке туындыларды (14) қоямыз

(19) өрнегінен a₁, а₂, а₃ анықтайық

а₃=1 коэффициентімен берейік

Табылған жеке туындылардың мәндерін (13) қойсақ, келесі тиімді басқарудың алгоритмін аламыз

ондағы с₁ және с₂ коэффициенттері келесі түрде болады:

Дискретті формада Беллман теңдеуін алу үшін нысан қозғалысын келесі түрде жазайық:

ондағы x(t)– n өлшемді вектор күйі

U(t)- m өлшемді басқару векторы

(2)

T-жоғарғы интеграл шегі, соңғы уақыт мезетін тұрақтайды

Беллман теңдеуін дискретті түрде жазу үшін Т –ны N интервалдарға бөлейік

(1) түріндегі дифференциалды теңдеудің N соңғы айнымалары түрінде жазайық.

(3)

Шыққан (3) өрнегін басқа түрде көрсетуге болады.

(4)

2 түріндегі функционалды дискретті формада көрсетейік:

(5)

(5*)

(6)

(4) өрнегімен сәйкес (6) өрнегінің соңғы жіктеуін мына түрде көрсетуге болады:

(6*)

(6*) -ны (6)-ға қояық

(6**)

Соңғы бөлшектегі функционал N-1 бөлшегіндегі вектор күй функциясы сияқты

I_N-1 функционалы N-1 қадамындағы жүйе күйіне және соңғы қадамдағы U басқаруына тәуелді.

функционалына min беретіндей, I_N-1 басқаруын таңдайық

Келесіні жазуға болады

(7) өрнегі U^*(N-1) тиімді басқаруы бар соңғы бөлшектегі жүйенің элементарлы тиімді қозғалысын сипаттайды

I^*_N-1 функционалына min жеткізеді

Соңғы қадамның алдындағы қадамға көшейік, соңғы және соңғының алдыңдағы қадамдардың қосылмасын айырайық.

I^*_N-1 функционалы – бұрында минирленген.

(9)

I^*_N-2 min мәнін және U^*_N-2 тиімді басқаруын зердеде сақтап, ал I^*_N-1 мәнін машинанын зердесінен жоюға болады.

Үшінші қадамға өтейік

Келесі өрнекті аламыз:

(11)
I^*_N-3 және U^*_N-3 сақтап, ал I^*_N-2 зердеден жоымыз, өйткені ол (11) кіреді, ұқсас пайымдауларды жалғастырып, келесі түрде рекуррентті формуланы алуға болады.

(12)
Беллман теңдеуінің рекурренті формуласы дискретті формада көрсетілген.

Рекуррентті динамикалық процесстерді жалғастырсақ, есептеулерді бастапқы нүктеге дейін жеткізе аламыз, нәтижесінде динамикалық жүйенің тиімді траектория қозғалысын және тиімді басқаруды аламыз.

Сондықтан осы әдіс ДБӘ атауын алған.

ДБӘ кемшіліктері дискретті формада көрсетілген: «қарғыс өлшемділігі»

«Қарғыс өлшемдіктері» – динамикалық жүйелердің өлшемділіктерінің артуымен геометриялық прогресс бойынша есетеулердің қиындықтары өседі.

Тиімді басқарудың синтез есептерін шығарғанға, аса жоғары емес ретті (5-10) жүйелері үшін де, зердесі үлкен ЭЕМ қажет.

Бұл қатынаста үзіліссіз жүйеге арналған ДБӘ-нің үлкен артықшылығы бар.

10-дәріс. Бүтінсандық программалау.
Дәріс сабағының құрылымы:

1. Бүтін санды программалаудың есебінің экономикалық және геометриялық интерпритациясы

2. Тиімділік әдістерінің анықтамасы, бүтінсанды программалаудың тапсырмалары

1. 
   Бүтін санды программалаудың есебінің экономикалық және геометриялық интерпритациясы
   

Егер кәсіпорын көрсетілген мөлшерде құрылғыны алса, онда өнім шығарылымы мынаны құрайды

Осылайша келесі математикалық есепке көшеміз: (1),(2) және (4)

шарттары орындалғанда сызықтық (2) функцияның максималды мәнін тап. Белгісіздер бүтін сандар ғана бола алатындықтан (1)-(4) есептер программалаудың бүтін сандар болып табылады. Белгісіздер саны екеу болғандықтан геометриялық интерпритацияны қолданып берілген есептің жауабын табуға болады. Ол үшін ең алдымен көпбұрыш есебінің шешімін қарастырып өту керек, (1)(3) ның шартын орындағанда (2) сызықтық функцияның максимум мәнін анықтаудан тұратын. Құрылған ОАЕВС көпбұрышының кординаттары (1)-ші сызықтық теңсіздік жүйесін және (3)- шы теріс емес айнымалылардың шартын қанағаттандырады. Ал (4)-нің шартын яғни бүтін санды айнымалылардың шартын 6.1. суретте көрсетілгн 12 нүктенің кординаттары ғана қанағаттандырады. Бастапқы есептің шешімін анықтайтын кординатаны табу үшін, ОАВС көпбұрышын OKEMNF қөпбұрышына ауыстырайық, бүтін санды нүктелерінің кординатталары қолайлы болғанда, әрбір төбесінің кординаталары бүтін сан болып табылады.

Сурет 6.1

Бұл үшін OKEMNF қөпбұрышынан өтетін векторын және 2х₁+4х₂=12 түзуін қарастырайық (12 саны кездейсоқалынды). Құрылған түзу берілген қөпбұрышпен соңғы нүктеден өткенше дейін векторына қарай созамыз. Осы нүктенің кординатасы тірек жоспарын анықтайды, ал мақсаттық функцияның мәні оның максимумы болып табылады.

Мақсаттық функция мәнін F_max =14 максимум болатын Е(1;3) нүктесі ізделінеді. Е нүктесінің кординатасы (1)-(4) есебінің тірек жоспарын анықтайды. Осы жоспарға сәйкес кәсіп орын I-ші түрдің бір комплектін және II-ші түрдің үш комплектін алуы керек. Бұл кәсіпорынға өндірістегі шектеулі ауданы мен ақша мүмкіндіктерінен, өндірісті максимум 14 бірлікке арттырады.
2. Тиімділік әдістерінің анықтамасы, бүтінсанды программалаудың тапсырмалары

Мақсатты функция сияқты шектелген жүйеде функциялар сызықтық болғандықтан, бүтінсанды программалаудың тапсырмаларын қарастырамыз. Осыған орай, айнымалылары тек қана бүтін сан бола алатын, сызықтық программалаудың негізгі тапсырмаларын құрастырамыз. Бұл тапсырманы толық түрінде былай жазуға б олады: функцияның максимумын табу керек

шарттары

x_j – бүтін . (8)

Егер (5)-(8) есептердің шығарылуын симплекс әдісімен табатын болсақ, онда ол бүтінсанды болып табылуы мүмкін немесе болмауы да мүмкін. Сызықтық программалаудың негізгі есебіне, есептің шешуі әрқашан бүтінсан болатын жүк тасымалы туралы есеп, мысал бола алады. Толық жағдайда (5)-(8) есептің тиімді жоспарын анықтау үшін арнайы әдістерді қолдану керек. Қазіргі уақытта мұндай әдістердің бірнешеуі кездеседі, яғни, жоғарыда көрсетілгендей симплекс әдісінің негізінде жатқан олар, көбіне белгілі Гомори әдісі деген атпен белгілі.

Г о м о р и ә д і с і. Бүтінсанды программалаудың негізгі есептерінің шешімін Гомори әдісімен тапқанда, айнымалылардың бүтінсандылығының есебінсіз тиімділік әдістің (5) – (8) есебін симплекс әдіспен анықтаудан бастайды. Бұл жоспар табылғаннан кейін, оның компоненттерін қарастырады. Егер компоненттердің арасында бөлшек сан болмаса, онда табылған жоспар бүтінсанды программалау (5)-(7) есебінің ең тиімді жоспары болып табылады. Егер де (5)-(7) есептің тиімді жоспарында x_j айнымалысы бөлшек сан болса, онда теңдеу жүйесіне (6) теңсіздік қосады

(9)

осыдан кейін (5)-(7), (9) есебінің шешімін табады.

Теңсіздікте мен - мәндері соңғы симплекс кестеден алынған, түрлендірілген бастапқы a_ij мен b_i шамалар, ал мен - сандардың бөлшек бөліктері. Егер (5)-(7) есептің ең тиімді жоспарында бөлшек мәндері бірнеше айнымалылар қабылдаса, онда қосымша теңсіздік (9) ең үлкен бөлшек бөлігімен анықталады.

Егер (5)-(7), (9) есептің табылған жоспарында айнымалылар бөлшек мәндер қабылдаса, онда тағы да қосымша шектеулік қосылады да, есептеу процесін қайталайды. Итерацияның соңғы санын қоя отырып, не бүтінсанды программалау есебінің (5)-(8) ең тиімді жоспарын табады, не оның шешімінің жоқтығы шығады.

Егер бүтінсандылықтың (8) қажеттілігі тек кейбір айнымалыларға қатысты болса, онда ондай есептер жартылай бүтінсандылар деп аталады. Олардың шешімін, әрбіреуі қосымша шектеулерді енгізудің көмегімен алдыңғылардан алынатын, есептердің жүйелі шешімімен табады. Бұндай жағдайда ондай шектеулер белгілі бір түрге ие болады, яғни

, (10)

мұндағы, келесі арақатынастардан анықталады:

1. 
   бүтінсанды емес мәндерді қабылдай алатын, x_j үшін,
   

2. 
   тек бүтінсанды мәндерді қабылдай алатын, x_j үшін,
   

Жоғарыда көрсетілгендерден ескеретініміз, Гомори әдісімен бүтінсанды программалаудың негізгі есептерінің ең тиімді жоспарын анықтау процесі келесі этаптарда көрінеді:

1. 
   Симплекс әдісін қолдана отырып, айнымалылардың бүтінсандылығының қажеттілік есебінсіз (5)-(7) есептің шешімін табады.
   
2. 
   Айнымалы үшін, (5)-(7) есептің ең тиімді жоспарында максималды бөлшектік мән болып, ал (5)-(8) есептің ең тиімді жоспарында бүтінсанды болатын, қосымша шектеулер құрады.
   
3. 
   Екіншілік симплекс әдісін қолдана отырып, қосымша шектеулердің қосылуының нәтижесінде (5)-(7) есептен алынған, есептің шешімін табады.
   
4. 
   Қажеттілік жағдайында тағы да бір қосымша шекаралар құрылады және итерациялық процесті (5)-(8) есептің ең тиімді жоспары алынғанша немесе оның шешімінің жоқтығы шыққанша жалғастырады.
   

1. 
   Бүтін санды программалаудың есебі дегеніміз не?
   
2. 
   Бүтін санды программалаудың есебінің экономикалық интерпритациясын анықтымасын беріңіз?
   
3. 
   Бүтін санды программалаудың есебінің геометриялық интерпритациясын анықтымасын беріңіз?
   
4. 
   Тиімділік әдістер анықтымасын беріңіз?
   

3. ПРАКТИКАЛЫҚ сабақтар

№ 1 Практикалық жұмыс.

№ 2 Практикалық жұмыс Тақырыбы: Қарапайым арифметикалық есептеулер

№ 4 Практикалық жұмыс Тақырыбы: Қарапайым функцияларды Тейлор қатарына қою.

№7 Практикалық жұмыс.

№ 8 Практикалық жұмыс.

1. 
   Фурье қатары және олардың сипаттамалары.
   
2. 
   Фурье қатары және олардың сипаттамалары.
   
3. 
   Сызықтық программалаудың негізгі мәліметтер.
   
4. 
   Басқару жүйелерінің сигналдары.Сигналдардың сипаттамасы.
   
5. 
   Динамикалық программалаудың негізгі мәліметтер.
   
6. 
   Стационарлық кездейсоқ сигналдар. Стационарлық кездейсоқ сигналдардың қасиеті.
   
7. 
   Бүтін сандарды программалау тапсырмаларын шешу әдістері.
   
8. 
   Алгебралық, тарнсцендеттік теңдеулер жүйесінін есептік әдісін шешу. Жалпы мәліметтер.
   
9. 
   Оптимумды анықтаудың градиенттік әдісі.
   
10. 
    Дифференцияалдық теңдеулерді шешу әдістері. Жалпы мәліметтер.
    
11. 
    Функционалдың экстремумы, қажетті және жеткілікті шарттары.
    
12. 
    Фурье қатарлары. Гармоникалық анализ.
    
13. 
    Mathcad жүйесінде жұмыс істеудің негіздері.
    
14. 
    Қарапайым арифметикалық есептеулер
    
15. 
    Функцияның тригонометриялық қатарға жіктеуі.
    
16. 
    Матрица. Матрица дәрежесін есептеу
    
17. 
    Фурьенің тура және қайтымды түрлендіруі.
    
18. 
    Қозғалған, қысылған және созылған функциялардың спектрлік сипаттамалары
    
19. 
    Көпмүшелік теориясының негіздері. Жалпы терминология.
    
20. 
    Лаплас түрлендіруі. Негізгі түсініктемелер.