Для самостоятельного решения

Разрезания – 2 (теорема Пифагора)

1. 
   Разрежьте 5-клеточный крест на части и сложите из них квадрат.
   
2. 
   Можно ли разрезать квадрат 88 на части, из которых складывается прямоугольник 513?
   
3. 
   Разрежьте квадрат 77 на
   
4. 
   а) квадраты 44, квадрат 33 и 4 равных прямоугольных треугольника;
   
5. 
   б) один квадрат и 4 прямоугольных треугольника, равных треугольникам из (а);
   
6. 
   в) Найдите размер квадрата в (б).
   
7. 
   Даны 4 прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой c. Докажите, что добавив к ним а) один квадрат со стороной c; б) два квадрата со сторонами a и b, можно будет составить квадрат со стороной a+b.
   
8. 
   (Теорема Пифагора) .
   
9. 
   Существует ли треугольник, у которого все стороны и все высоты измеряются целым числом сантиметров?
   
10. 
    Разрежьте квадрат а) на равные квадраты; б) на равные треугольники, из которых составьте два различных квадрата.
    

11. 
    Перекроите квадрат в 8 равных квадратов.
    
12. 
    Перекроите квадрат а) в три квадрата; б) в три различных квадрата.
    
13. 
    Разрежьте прямоугольник 15 на 5 частей, из которых сложите квадрат.
    
14. 
    Перекроите квадрат в 5 равных квадратов.
    
15. 
    * Разрежьте квадрат на равные части, из которых сложите три различных квадрата.
    

Для самостоятельного решения

1. 
   Пусть каждая спичка имеет длину 1 дюйм. Пользуясь лишь угольником, сложите из 12 таких спичек одну фигуру площади 4 кв. дюйма.
   
2. 
   Перекроите квадрат в три равных меньших квадрата.
   
3. 
   Пусть . Перекроите квадрат со стороной c в два квадрата со сторонами a и b (число частей не должно зависеть от a и b).
   
4. 
   Перекроите квадрат в правильный треугольник.
   

Самостоятельная работа – 1

С1) Как изменятся частное и остаток, если делимое и делитель увеличить в 3 раза?

С2) Про семь чисел известно, что сумма любых шести из них делится на 5. Докажите, что каждое из чисел делится на 5.

С3) Обозначим s(x) сумму цифр числа x. Пусть a=9999, b=s(a), c=s(b), d=s(c). Чему равно d?

С4) Пусть a и b – целые числа, и делится на 11. Докажите, что тоже делится на 11.

С5) Существует ли число вида 11…1, которое делится на 1999?

Графы – 2: определения, лемма о рукопожатиях, связность.

Определение 1. Скажем, что задан граф, если задано множество его вершин и про любую пару вершин сказано, связаны они ребром или нет (будем рассматривать только пары из двух различных вершин). Граф конечный, если число вершин в нем конечно.

Примеры. а) Граф знакомств: вершины – школьники, ребра – знакомства. б) Карта: вершины – страны, ребра – пары стран с общим участком границы. в) города и дороги; г) граф короля (коня, ладьи, ферзя…): вершины – клетки, ребра – пары клеток, связанных ходом короля (коня, ладьи, ферзя…).

Упр1. Сколько всего ребер в графе ладьи?

Упр2. Каково наибольшее возможное число ребер в графе с n вершинами?

Определение 2. Степень вершины – это число выходящих из нее ребер.

Упр3. Какова наибольшая степень вершины в графах а) коня; б) ферзя?

Зад4. Сколько всего ребер в графе короля?

Лемма 5. Сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу ребер.

Лемма 6 (о рукопожатиях). В конечном графе число вершин нечетной степени – четно.

Зад7. Верна ли лемма о рукопожатиях для бесконечного графа?

Упр8. Можно ли расположить на столе 7 монет так, чтобы каждая касалась ровно трех других?

Определение 3. Граф называется связным, если между любыми двумя его вершинами есть путь по ребрам (как по дорогам).

Упр9. При каких n граф коня на доске nn не связный?

Зад10. В стране Оз 15 городов, каждый из которых соединен авиалиниями не менее, чем с 7 другими. Докажите, что из любого города можно самолетом добраться до любого другого (возможно, с пересадками).

Определение 4. Подграф, состоящий из всех вершин, связанных с данной маршрутом, и всех ребер, входящих в такие маршруты, называется компонентой связности.

Упр11. На сколько компонент связности распадается граф слона?

Зад12. Турист приехал на вокзал и отправился гулять по улицам Москвы. Докажите, что он в любой момент может вернуться на вокзал, проходя только по тем участкам улиц, по которым он уже проходил нечетное число раз.

Зад13. В Зазеркалье из Котельнича выходит 2001 дорога, из деревни Вишкиль – одна, а из всех остальных городов по 1000 дорог. Докажите, что из Котельнича по дорогам можно попасть в деревню Вишкиль.

Зад14. В связном графе степень каждой вершины четна. Одно ребро удалили (оставив, однако, вершины на его концах). Докажите, что граф остался связным.

жүктеу/скачать 471 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: